УМФ Тихонов (965259), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Пусть дано уравнение (7). Будем искать его приближенное решение иэт~ при 1 = 1ч ы последовательно (при а = 1, 2....., р) решая одномерные уравнения теплопроводности ди(а) = Б„и~„~ +,Го, $1 < 1 < суч ы ~ ( = 7', а = 1, 2,..., р, я=1 (18) с условиями и~ = и~ Н, а = 2, ..., р, .и~ = иэ и естественными краезе1 выми условиями. Решением этой задачи, которую мы условно запишем в виде 7з — э Хз — э... -э Дю является изз ~ = и~ . Зная ие = ме(х), нае1, уз-1 ходим иэ Каждое из уравнений номера а заменим двухслойной шеститочечэ-~-г з ной схемой с весом и (при этом ди~„1/дс - (и~~ — и~„)(т„Ь Ли, ~р,„) вида э 1 ~(~) ~оо ~ 3 г1 3 = Ла ~ааи~ ~ + (1 аа) и~ „)~ + ~рв.
Учитывая, что и = и, заменяя и на у и опуская индекс у -~- 1--1 + 1, получаем последовательность схем для одномерных уравнений теплопроводности (одномерных схем), которую мы назовем локально- одномерной схемой и условно запишем в виде Л1 П вЂ” э Лз Н вЂ” >... -э — э Лр . Напишем локально-одномерную схему для случая ц„= 1 (аг] (Л1 ~ г Лз ~ + ° . ~ Лр~ ~): У() У(-Н = Л„уш~ + зэ„, (х,1) е акт, т 2 р У(о) =У У(р1 =У Здесь Л у = (и (х,1') у; ),, у = х (х,1*), где 1' любое значение 1 на отрезке 1 < 1 < 1 ез, например Г* = 1 эм Правые части Зэ„выбираются так, что рг + ~рз +... + р„= )(х,1*) + 0(~Ь~ + т), например Рз = Рз = ... = Р, — = б, Р„ = 7".
Сформулируем краевые условия для у~ Р Пусть С --. р-мерная область в пространстве х = (хы.,,, хр), Г -- ее граница. Построим по аналогии с З 3, и. 2 в С + Г сетку ь~ю Возьмем любую точку х Е ыь и проведем через нес прямую С, параллельную оси Ох . Рассмотрим тот простейший случай, когда С пересекает Г в двух точках: Р„и з 4) РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 645 Р". Множествовсех точек Р и Р+ обозначим у„, а = 1, 2,..., р. Если 0 = 0о = (О ( х„( 1„, а = 1, 2) .. прямоугольник, то у~~ состоит из узлов (1гЬОггЬ,), лежащих на сторонах х„= 0 (г„= 0) их = 1„(г„= = 1У ), а = 1, 2.
Краевые условия для у< р очевидно, задаются только на 7„: у~ ~ = д(х.,1 ) при х б 'уь~, В начальный момент 1 = 0 задано условие у(х,О) = ио(х). (20) а = 1, 2, ..., р. (21) Условия (19) (21) однозначно определяют уг при всех у = = 1, 2,... и х Е огк. Для нахождения УРО мы получаем уравнение у~ > — тЛ УОО = Р = у~ О + тог с краевыми условиями (20). Эта разностная задача решается методом прогонки по переменным х1 и хг. Схема (19) аппраксимирует уравнение (7) в суммарном смысле: погрешность аппроксимации ф для локально-одномерной схемы есть сумма погрешностей аппроксимации 1О на решении и = и(х,1) для одномерных схем (19) номера а: 4 = ~ ф„= 0(~1г~~ + т), хотя все ф„= 0(1). (22) Схема (19) безусловно устойчива и равномерно сходится: шах )уг — иг / = 0()Ь(~ + т).
(23) В случае двух измерений (р = 2) схема (19) имеет вид 1 (У<О у ) = ЛоуО) + Фг (У вЂ” у<О) = Лгу + Фг, т т так как У1о~ = гу~, у~г~ = уэ В схеме (19) не все направления равноправны. Симмстризованная локально-одномерная схема 0,5 Л1 ~ — г 0,5 Лг ~ -г... -г 0,5 Л10 — з 0,5 Л~О -г... -+ 0,5 Лг ~ — ~ 0,5 Л1 ~, как показывают численные эксперименты, обладает большей точностью по сравнению со схемой (19) с шагом 0,5 т. Можно построить ряд симметричных схем, имеющих второй порядок точности по т. Оказывается, что схема (11) (12) также является симметричной локально-одномерной схемой вида 0,5Лг — ~ 0,5Л, — ~ 0,5Л, — ~ 0,5Лг ~ с огг = О, огг = 0,52, огз = 0,52, уг4 = О. В этом можно убедиться, если исключить у~ц и у~з~ (сложив 1-е и 2-е, 3-е и 4-е уравнения) и з 1. обозначить у~г~ = ухе 'г.
646 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Напишем одну из симметричных локально-одномерных схем с л)л = = 0(~6~2 + т2) для трех измерений (р = 3, т = (тл, т2, тз)): 0,5Л~ ~ — 20,5Л2 20 — л Лз аб — 20,5Л2 ' ~ — 20,5Л~ ~. (24) Эта схема, изученная И. В. Фрязиновым, является обобщением схемы (1Ц вЂ” (12) на трехмерный случай. Нетрудно написать локально-одномерную схему для квазилинейного уравнения д, ~ л („ л ) а=1 (25) Достаточно заменить каждую из одномерных схем (19) любой из схем, рассмотренных в 2 2, и. 12, для одномерных уравнений: ди д л' ди л — (к (и) )+7 (и), ~а ~а /' (и) = 7" (и).
(26) Л2уле — (а2(ул~ ) у — )2 Ллурц = (ал(урц) урц 21)21, (27) ( ) У12 — 1+У () К Ул1 1+У и положить л21 = О, лаз = 7'(Убц). На равномерной сетке Лау (о = 1, 2), очевидно, имеет вид 1 Лау = — 2 ((аа(у))ла-~-1 (ула-1-1 — у) — аа(у) (у — ула — 1)]. (28) Ь2 Для определения у01 и уз+~ получаем нелинейные трехточечные задачи, которые решаются по аналогии с 2 2, и.
12 методом итераций с использованием формул прогонки для каждой итерации. Если в (27) положить ал — — ал(ул) и аз = а2(урц), то получим для определения урц и уу+~ линейные краевые задачи, которые решаются сразу путем прогонки по переменным лл и т2 соответственно. Приведем два примера. Пример 1. Расчет двумерной температурной волны. Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности длл д лл длл зл д лл дай — '( йл(и) ) + ( 'кз(и) ), й,(и) = и и ", о = 1, 2, д2 д*, (, д*,) д.
(, д,): (29) Так, например, для двумерного случая р = 2 достаточно в (19) заменить Ллурц и Лзулел (Улт~ = У121 при р = 2) выражениями з 4) РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 647 с параметрами сг1 = 4, с«1 = 4, ссг = 2, гсг = 0,26 и для расчета исполь- зуем точное решение при 1) х1+ 2хг, 0,6 и(хг,хг,г) = 0 при 1 ( х1 + 2хг. (30) Сетка грубая: 61 = Ьг = 1; число узлов%1.Л12 = 30. 20 = 600. Из точного решения взяты начальные значения, т. е. и(х1, хг., О) = О, и краевые условия на прямых х1 = О, х1 = 30, хг = 0 и хг = 20. а 1 — аг =З,О 1 — *, =1,О г — хс = 21,0 З вЂ”, =11,0 3 — хс = 11,0 1,0 хс 25,0 0 -с хг 15,0 Рис.
92 Расчеты проводились по локально-одномерной схеме (19) с операторами Л1 и Лг, определяемыми формулами (27), с шагом по времени: а) т = 0,2; б) т = 1,0, в) т = 2,0. Некоторые результаты при 1 = 30 нанесены на рис. 92, где крестиками обозначены результаты варианта «в», точками варианта «а», сплошные линии это аналитическое решение1~. Пример 2. Расчет задачи о фазовом переходе (задачи Стефана). Предположим, что имеется две фазы 1, 2 с коэффициентами теплоемкости с1(и), сг(и) и теплопроводности кг(и), кг(и). В каждой из фаз температура и(х, 1) удовлетворяет уравнению теплопроводности г с,(и) — = 2 ( Ас(и) ~ + 1(х,1), 5 = 1, 2, (31) Ха 1, Ха/ а=-1 х = (х1,..., х„), р = 1, 2, 3, с См.
ссылку на с. 628. 648 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ где 1(т,1) плотность тепловых источников. На границе раздела фаз температура и(т, 1) постоянна и равна температуре и' их фазового перехода, тепловые потоки разрывны и их разность равна Ли, где Л теплота фазового перехода, и скорость фронта границы фаз. В одномерном случае условия на границе т = С(г) раздела фаз имеют вид если и < и* в фазе 1 и и > и,* в фазе 2. Вводя б-функцию Дирака, запишем уравнение (31) в виде (с(и) + Лб(и — и')) — = ~ '(й(и) ) + 1., (33) д " д,г диЛ д1 дт (( дт ) а=1 )сы и<и*, )йы и<и*, (сз, и > и*; (йз, и > и*.
Условия на границе фаз (в частности, условия (32) при р = 1) следуют из уравнения (33). Для решения задачи Стефана применяется метод сглаживания: бфункция приближенно заменяется б-образной функцией б(и — и*, ь(), отличной от нуля только на интервале (и" — Ь, и' + Ь) и удовлетворяющей условию нормировки б(и — и*, Ь) (1и = 1. Вводя эффективную теплоемкость с(и) = с(и) + Лб(и — и', Ь) и эффективный коэффициент й(и), совпадающий с й1(и) при и < и* — Ь и с йз(и) при и > и' + Ь, мы получаем для определения и квазилиней- ное уравнение теплопроводности (34) с соответствующими краевыми условиями на границе Г области С, в которой ищется решение. Отметим, что б(и — и*, Ь) выбирается таким образом, чтобы с(и) вблизи и = и' имело наиболее простой вид: «ступеньки»ь параболы и т.
д. ди и(С + О, 1) = и(С вЂ” 0,1) = и', й1 — — йэ а — — Е-~-0 ди г1с д*,, ж (32) ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Так как «размазывание» проводится по температуре, то оно применимо для любого числа измерений и любого числа фаз.
Лля решения уравнения (34) применяется локально-одномерная схема (19), (27). Рис. 93 Рис. 94 Были получены численные решения следующих задач, имеющих точные аналитические решенияц: 1) задачи с косым плоским фронтом (рис. 93); 2) осесимметрической задачи, в которой граница фаз есть окружность (рис. 94). Решение этих задач проводилось в прямоугольной системе координат. Результаты расчета показаны на, рис, 93 и 94. Сплошные линии--- границы раздела фаз, крестики расчетные точки, в которых и = и*.
8 5. Итерационные методы решения сеточных уравнений 1. Модельная задача. Кратко обсудим возможности нахождения приближенного решения сеточных эллиптических задачз1 итерационными методами. В качестве модельной рассматривается задача Н Самарский А. А., Моисеенко Б. Л. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана О ?КВМ и МФ. 1965. Т.
5, № 5. С. 81б.827. См. также; Будак Б. М., Соловьева Е. Н., Успенский А. Б. Разностный метод со сглаживаннем коэффициентов для решения задач Стефана О Там же. С. 828 — 840. Более полное и всестороннее обсуждение проблем решения сеточных уравнений проводится в книге: С ам арский А.
А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М., 1978. 650 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Лу = — у(х), х Е игю у(х) = д(х) и е 7ю (2) (3) где лу=~л.у, в=2 (4) Л.у = уя..„. Исследование сходимости итерационных процессов проводится в пространстве сеточных функций Н, заданных на Ыь = ига + рь и равных нулю на ую Для этого в разностной задаче (2) (4) исклк>чаются с учетом (3) граничные узлы. Для того чтобы записать разностную задачу (2) -- (4) в виде операторного уравнения 1-го рода АУ =1, (б) обозначим Ау = -Лу, у ~ Н.
(6) В приведенной записи уже у(х) = О, х б уь, .т. е. в граничных узлах эта сеточная функция не совпадает с разностным решением. Неоднородность граничного условия учитывается дополнительной неоднородностью правой части разностного уравнения (2). Правая часть уравнения (5) отлична от правой части разностного уравнения (2) лишь в приграничных узлах. Нетрудно убедиться, что 1 = ~р + ~рг 6 2 + ~р26 где д(0, хг), О., р(11 х2) хг =лы 26| < хг <12 — 26ы хг = 12 — 6~,. уг( )= д(хы 0), О, р(хы 12), хг = 62, 262 < хг < 1г — 262, х2 — 12 62 ° эгг (х) Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике С = (х ~ х = = (хм хг), 0 < х„< 1„, а = 1, 2); дг, дги гзи = 2 + 2 = — ~р(х) в а, и(х)~г = д(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
