УМФ Тихонов (965259), страница 94
Текст из файла (страница 94)
87 Для этого примера по схеме (119) были проведены расчеты с параметрами и = 2, хо = 0,5, с = 5, 5 = 0,2 (число точек М = 50) и шагом т = 2. 10 ~. Точное решение и результаты расчета нанесены на рис. 87. Всюду, кроме нескольких ближайших к фронту узлов, отклонение сосчитанного решения от точного не превосходит 0,02. Чи- 40* б28 ПОПОЛНЕНИЕ!. МЕТОЛ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ело итераций и < 3 (е = 10 з). Сплошная линия на рис. 87 точное решение, кружки — расчетные точки 11 Отметим, что схема (122) не удовлетворяет принципу максимума (немонотонна) и поэтому при расчете температурной волны дает худшие результаты по сравнению с монотонной схемой (119).
3 3. Метод конечных разностей для решения задачи Днрнхле 1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Пусть на плоскости (х1, х ) задана область С, ограниченная замкнутой кривой Г. Рассмотрим задачу Дирихле (см. гл. 1У) д'и ди 21и = 2 + 2 = 12(х) в С, .и~г = 12(х1,хг) 111) дх1 дх2 Пля решения задачи (1) методом конечных разностей надо в области С + Г ввести сетку и аппроксимировать на этой сетке уравнение и краевое условие. Начнем с аппроксимации оператора Лапласа. Заменим вторые производные дги/дх21, дги/дхг разностными выражениями: д и и(х1+61,хг) — 2и(хг,хг) 4-и(х1 — 61,хг) 2 аг — игом — — Л1и, дх1 Гаг д и и(х1, х2 + 62) — 2и(х1, х2) з- и(х1, х2 — 62) 2 а2 — ия 2 — — Лги, дхг ~аг где 6„.—. шаг по х„, а = 1, 2.
Оператор Лапласа Ьи заменим разностным оператором Ли = ия,.„+ ияг,г., (2) который определен на пятиточечном шаблоне («крести), состоящем из тстек (х1, хг), (х1 — 61,х2), .(х1+ 61,хг), (х1,хг — 6г), (х1,хг+ 62). Он изображен на рис. 88, и. Вычислим погрешность аппроксимации для оператора Л. Так как (см. 3 1, п. 2) дги 61 д«и а = 1, 2, то дг Ли — Ьи = — 'Л,и+ — Т,,и+0111, +62), хи = Гй 1 12 2 '1 2 л дх2 1 Смз Самарский А. А., Соболь И.
М. Примеры численного расчета температурных волн О ЖВМ и МФ. 19б3. Т. 3, № 4. С. 702 — 719. з 3) МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДДЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 629 и, следовательно, Лп — Л1е = 0(~6(2), )6)~ = 62+ 62 где е любая функция, имеющая не менее четырех производных по 1 3 3 4 б Рис. 88 тл и иг (п Е Сл"'л, т ) 4).
Таким образом, оператор Л аппроксимирует оператор Лапласа со 2-м порядком. Нетрудно убедиться в том, что оператор ~11 + 612 Л е = Лп + Л1Лгп, 12 определенный на девятиточечном шаблоне («ящик») (рис. 88, б), имеет на решении и = п(и) уравнения Ли = О 4-й порядок аппроксимации (Л'и — лЛи = О(/6/~) пРи и Е Сл'"1, т ) б) и б-й поРЯдок (Л'и — Дли = = ОЙЬ!з) при и Е Сл'ллл, т ) 8) на квадратной сетке, т. е. при 61 —— — 62 — 6. Напишем подробнее выражение для Л в случае Ь1 = 62 = 6 (на квадратной сетке): Ул + Рг + Уз + Уа — 4уо ЛУ = Уел«1 + Угггг = 62 Разрешая уравнение Лу = О относительно уе, получим 1 Уо = л1ул + Уг + Уз + У«) 4 б30 ДОПОЛНЕНИЕ !.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Значение 9 в центре шаблона есть среднее арифметическое значений в остальных узлах шаблона. Эта формула является разностным аналогом формулы среднего значения для гармонической функции. Уравнение Пуассона Ди = = — ((тм иг) заменяется схемой Ау = -ь (и), (4) уз(т) = !Р(ты тг) = ((хм хг). Рис. 89 Перейдем теперь к постро- ению разностного аналога зада° !'Ряннчные узлы, л е "о, чи Дирихлс (1) в области С + Н Нерегулярные узлы, л Е ы!, + Г. ПрОВЕдЕМ дВа СЕМЕйетна Пас 1зегулярныс узлы. л е ь раллельньзх прямых тз = !161, тг = з Ьз, зз, зг = О, ~1, ... (будем считать, что начало координат (0.,0) лсжит внутри С). Точки (ззЬз, згЬг) назовем узлами.
Узлы и = (зз61, згЬг) и т' = (з16з, .згЬг) назовем соседними, если они лежат на прямой, параллельной либо оси тз, либо оси тг и отстоят друг от друга на расстояние шага (Ь! или Ьг), так что ~г! — зз ~ + ~зг — зг~ = 1. Узел и = (зз!зз, !гЬг) называется регулярным, если его соседние узлы ((з! т. 1) Ьм згЬг), (!!6!, (зг ~ 1) Ьг), образующие пятиточечный шаблон «крест», находятся либо внутри области С,либо на ее границе. Если хотя бы один из этих четырех соседних узлов не принадлежит С + Г, то узел т = т' назовем нерегулярным. Обозначим юь множество всех регулярных узлов, нзь' — — мное жество всех нерегулярных узлов. Точки пересечения прямых ж! = зз!зз., тг = ггЬг у и с границей Г назовем граничными узлами.
Множество всех граничных узлов назовем границей сетки и обозначим Ть. Таким образом, области С+ Г ставится в со° Рреннчныезнлы ля ответствие сетка нэь(С+ Г), т. е. множе'л е х НеРезУлЯРные Узлы, з Е сзь' ство точек и Е сзЬ, гле ьзЬ = юЬ + ыЬ + ТЬ С Регулярные узлы, л Е сзя (рИС. 89). Будем предполагать что сетка облаРис. 90 дает свойством связности, т. е. любые два внутренних узла можно соединить ломаной, целиком лежащей внутри С и состоящей из звеньев, соединяющих узлы сетки и параллельных либо Отз, либо Отг.
з 3) МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДДЯ ЗАДАЧИ ДИРИХДЕ 631 В регулярных узлах пишем разностное уравнение (4), используя пятиточечный шаблон «крест» с шагами Ь1 и Ьг. В граничных узлах т Е ул задаем значение искомой функции (а) В нерегулярных узлах могут быть написаны различные условия. 1. Интерполяция нулевого порядка. Значение у(к) ~м. полагается ''о равным )2(й) в ближайшем узле т границы 751 у(х) = )2(й) при я е ь1~",.
(6) 2. Интерполяция 1-го порядка. Значение у(т) ~м. определяется при помаши линейной интерполяции. Например, для случая, изображенного на рис. 90, значение уа в узле 0 определяется по формуле с 1 1 11 1 1 — + ) Уа = — У1+ Уз Ь1 Ь1 Ь1 Ь1 (7) которую можно записать в виде Л,у=0, где Лгу = уя,г, -- аппроксимация оператора Тги = дги/ди21 на нерав- номерной сетке (см. З 1, п.
2). 1 7 У1 — Уо Уо — Уо 1 1 7 Уг — Уо Уо — Уо ) Л1Уо = — 1 ' ' — 1, Л.Уо = — 1 51 51 51 — Л2 52+ 52 Лу = Лгу Ь Лгу, 51 = 0 5 (Л1 + Л1), Лг = 0 5 (Лг« + Лг), л, =ад л„=аз Рис. 91 3 Интерполяция 2-го порядка. В узле т е 01„' пишется пятиточечная схема на нерегулярном шаблоне (на неравномерной сетке) Л У = У2121 + Угггг = 92 (8) Нерегулярный шаблон изображен на рис. 91, а и 88, .в. Узел У является граничным, 1, 2, 5 внутренними. Пусть Ь1 расстояние между уз- 1' Уг Уа Уа Уз 1 Ьг + Ь2— лами Уи О.
Тогда Лгу = — ~ — ! = у-1-„81 = 632 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 1 (см. з' 1. и. 2), Лгу = — (уг — 2уо -~- У4) = уягхг, Лу = Лгу + Лгу. Втол2 рой случай изображен на рис. 91, б и 88. г. Узлы 9 и 3 находятся на границе, Ьгт -- расстояние между узлами 9 и О. В этом случае У~ Уо Уо Уз л,у = — „~~ 1 1 !в Уг Уо Уо Уь гу = †„ ( „ — ) = Уггяг; г гх г где Лг = 0,5 (Ьг + Лгт). Мы будем рассматривать 3-й способ задания условий на огь'.
Как будет показано ниже, он является наиболее точным. Сформулируем теперь разностную краевую задачу, соответствующую задаче (Ц: о хааа/ь, х и шь х е уь. лу+ р=о, л"у+ р=о, у = д~ (9) (10) (1Ц Возникают два вопроса: Ц о разрешимости задачи, т. е. о существовании решения системы алгебраических уравнений (9) --- (1Ц; 2) о сходимости и точности схемы (9) (1Ц. Ответы на эти вопросы мы получим ниже при помощи принципа максимума.
Чтобы оценить погрешность, .с которой мы определяем решение задачи (Ц из уравнений (9) (1Ц, нужно оценить разность у(х)— — и(х) = г(х), где у(х) —. решение задачи (9) --- (1Ц, и(х) --. решение задачи (Ц, взятое в узлах сетки бгь. Подставляя у = г+ и в (9) (1Ц, получим о уз = Ли+ ог, х е ыь, (12) Л*г = — Ьо*, уг* = Л*и+ ьг, х с ог~'„ я=о, х б Уь. /1 1ь 1 1 2 ( — г+ — г) Уо = Лг (Уз+Уз) + — г(уз+94)+Ьго, х е ыь. (13) "г Из вышесказанного следует, что 4~ = Ли -ь ьо = 0(~Ь~~), если ог = г'(х), ф' = 0(~6~) для условия (8), ог' = 0(Ц для условия (7).
Чтобы оценить решение задачи (9) (1Ц через правую часть, нам понадобится принцип максимума. 2. Принцип максимума. Рассмотрим задачу (9) (1Ц. Разрешим уравнение (9) относительно уо (см. рис. 88, а): з 3) МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 633 Пусть О нерегулярный узел (см. рис. 88, в). Тогда из уравнения А*у + ьз = 0 следует 1 Уг — Уо Уо — Уз '( 1 /У2 — Уо Уо — Ул ) 1Н Ь1 Ь1 122 Ь2 Ь2 1 1( 1 1 2 1 1 + — 2)ув=у 1 Уь+Ь2(уз+У4)+(зо, (14) ( Ьг)м Ьг ) Ь;Ь, Ь2 1 где Фо = (оо + „„р(3), Ь| расстояние между узлом О и гранич- 1 ьным узлом 3, 1И вЂ” — 0,5 (Ьь + Ьь). Из (13) и (14) видно, что обе формулы могут быть записаны в виде А(х) у(х) = 2 Ш, В(х,~) у(~) + Г(х) о для всех х 6 ь2(, = ь2Ь + ь2', ГДЕ СУммирование проводится по всем узлам шаблона с центром в узле х, исключая сам узел х.
Коэффициенты А(т) и В(х, ~) удовлетворяют условиям А(х) > О, В(х,0 > О, В(х, ~) = А(х) при х 6 ь2ь. аеШ (2) Если у ~ „= О, то по крайней мере один из коэффициентов В(х, с) в пограничной зоне ш' можно формально положить равным нулю, так что 2" В(х,б) = А(х) — Р(х), Р(х) > О. Если, например, узел 3 1 1 (см. рис. 91, а) находится на (ь, то Р(х) = Р(0) = > —, так как 1ьзЬь Ь, ' Ьз — — 0,5(Ь( + Ьь) < Ь(.
Если же два узла, 3 и 3 (см. рис. 91, б) являются граничными, то Р(х) = Р(0) > 1/1ь~~ + 1 (Ь~~, В(0, 2) = В(0, 3) = О. Таким образом, при у ~ = 0 в ь2(*, всегда выполнено условие 1 Р(х) > —, где Ь = шах(ЬыЬ2). (15) Итак, рассмотрим задачу: требуется найти функцию у(х), определенную на ьзь = ь2ь + уь и удовлетворяющую в ь2ь уравнению А(х)у(х) = ~ В(х ()у(6)+Их) х 6 ьоь; (еШ'(ь) (16) А(х) > О, В(х,б) > О, ~ ~В(х,~) < А(х).
(еШ (ь) Справедлива следующая теорема (принцип максимума). Если Г(х) < 0 всюду в ь2ь, то решение задачи (16) (не равное лостоянноа) не можтл оринимать наибольшего положительного значения во внугаренних узлах, сетки шь. Если же у(х) у': сопз( и Р(х) > 0 634 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ в ыь, то у(х) не может принимать внутри ыь наименьшего отрицательного значения. Доказательство.
Пусть г (х) < О во всех внутренних узлах. Допустим, что у(х) принимает положительное максимальное значение в некотором внутреннем узле. Так как у(х) ф сопзс, то существует такая точка х б шь, в которой у(х) = шаху(х) = Мо > О, а в соседнем узле с е Ш'(х) имеем у® < Мо. Уравнение (16) в узле х перепишем в виде Так как 2 е В(х,6 (У(х) — У(С)) > В(х, С) (У(х) — У(8)) > О, то из (17) и (16) следует г (т) > О, что противоречит условию Г(х) < О. Первая часть теоремы доказана. Вторая часть доказывается аналогично.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
