УМФ Тихонов (965259), страница 96
Текст из файла (страница 96)
3) для любого числа измерений. Краевые условия на уь ставятся так жс, как и в 3 3 для задачи Дирихле. В нерегулярных узлах ы„' оператор Л (Л Ь) пишется на неравномерной сетке. Для схемы с опережением (ц = 1) справедлив принцип максимума. Она равномерно сходится со скоростью ОЩ~ + + т). Не составляет труда написание (по аналогии с 3 2 и 3) схем повышенного порядка 0(~6~з + тз) аппроксимации: например, при р = 2 (х = (хм хе)) схема 0(~6~~ + т ) имеет вид д; = Лг (ц1д+ (1 — ц1) д) + Лз (озд+ (1 — оз) д) (/ = О), 640 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 11т1 ( /(И1Йх2+И2Йх1)+~~ / 2(х,г)Йх1Йх2, у у = Л (11+ Ь) (цуУ " + (1 — 11) уУ) + 1рг ' 1, т (8) или уг уг = .(Лу) т' + (1 — ) (Лу) + р - ', т (О) где л = л, + л„л„у = ( .уг.)., (10) т. е. Л„ есть аналог разностного оператора Лу = (ауг),, аппроксимирующего Аи = (Ьи')' (см.
Э 2, п. 7). Коэффициент а определяется из выражений вида (6Ц из з 2, например 11 п1 (о1)1ь~г 61 11 ) 61 1262 111 о2 = (112)а1эг = 62 111!1, 12 Ь2, 1 И т. д. Для 1р = угэт можно взять формулу уггт1 = 7(1161,126г,1 „). Если коэффициенты Ь имеют разрывы при х = сопзс, а = 1, 2, то простейшее выражение для а запишется в виде 1 а1 = — (61 (1161 — ОР1гбг — О, .1) + 61 (1161 — О., 126г + О, 1) + 4 + 61 (1161 т О, 1262 + О, 1) + 61 (1161 + О, 1262 — О, 1)] и аналогично для аг. Для полученных схем (8) справедливы результаты з 2, и. 8. 2. Экономичные схемы.
При решении методом сеток многомерных уравнений большое значение имеет объем вычислительной работы, т, е, число арифметических действий для решения задачи с требуемой точностью. Посмотрим с этой точки зрения на схемы, полученные в предыдущем пункте. пусть с квадрат (О < х1 < 1, 0 < хг < 1), ыь = ((216,1211), 11, 12 = О, 1,..., 11') сетка с шагом 6. Она имеет (Л1 — 1) = 0(1/62) внутренних узлов. Рассмотрим явную схему (6) и неявную схему (3) где д = Ц11 — 1/2) 61 < х1 < (11 + 1/2) 61, (12 — 1/2) 62 < хг < (12 + + 1/2) 62) -- прямоугольник, С -- его граница, Иг = — Ь ди/дх тепловой поток по направлению оси Ох . Заменяя интегралы и потоки разностными выражениями, так же как в э 2, п.
8, приходим к схеме вида з 4) РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 641 при гг = 1. Обе схемы имеют один и тот же порядок точности. Число 0 действий для определения !7з г во всех узлах аь на новом слое ! =1, гг по схеме (6) пропорционально числу (Аг — 1)з узлов сетки ига, т.
е. и=о( —,,). В случае неявной схемы (3) при гг = 1 для определения уз г~ нужно решить систему (Аг — 1)з уравнений. Для этого требуется значительно больше вычислительной работы, чем для явной схемы. С другой стороны, неявная схема (гг = Ц устойчива при лк>бых т и 6, а явная схема устойчива лишь при т < Ьзг!4. Возникает вопрос нельзя ли найти такие схемы, которые сочетали бы лучшие качества явной (объсм работы 0 = 0(1/Ьз)) и неявной (безусловная устойчивость) схем7 Такие схемы называют экономичными.
Было предложено много экономичных схем для различных задач математической физикиг!. Экономичные схемы позволили найти численное решение ряда сложнейших задач физики и техники, в отношении которых еще несколько лет назад были сомнения в возможности их приближенного решения даже с использованием самых совершенных быстродействующих вычислительных машин. В случае одного пространственного переменного неявные схемы приводят, как мы видели в 8 2, к системс уравнений (105), которые решаются методом прогонки.
При этом для нахождения узтг требуется 0(1/6) операций. Рассмотрим сетку кь с шагом 6 = 176г в квадрате 0 (О < лг < 1, 0 < тз < 1). Сетку можно представить как совокупность узлов, расположенных на «строках» 1з = О, 1, 2,..., Аг, или как совокупность узлов., расположенных на «столбцах» гг = О, 1., 2, ..., Аг. Всего имеется (Аг + 1) строк и (Аг+ 1) столбцов. Число узлов в каждой строке (столбце) равно Аг+ 1.
Если на каждой строке (столбце) решать задачу вида (105) из 8 2 методом прогонки при фиксированном зз (1г ), то для нахождения решения на всех строках (столбцах)., т. е. во всех узлах сетки, потребуется число действий 0(1/6~),пропорциональное числу узлов фь. Основная идея экономичных методов и состоит в последовательном решении одномерных задач вида (105)из 8 2 вдоль строк и вдоль столбцов. ц Реасешап О. Иг., КасЬ !от 4 Н. Н. ТЬе ппшейса1 во!иГ!оп о1рагаЬо!!с апб е!!!рг!с д!!7егепг!а! ечиаболз О 8!АМ Л. 1955.
йо!. 3, Аг 1. Р. 28 — 41; Гзои8! аз Л. Оп ппшейса! шГе8гагюп о1 ихг + иии — — иг !гпр!!с!Г гпеГЬог!з О 1ЬпЬ Р. 42 — 65: Яненко Н. Н. 06 одном разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности О ДАН СССР. 1959. Т. 125, Ы 6. С. 1207— 1210; Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расшепляюшимся оператором для многомерных нестацнонарных задач О 1КВМ н МФ. 1962. Т.
2, 65 4. С. 549 — 568; Самарский А. А. 06 одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области О Там же. гг 5. С. 787 — 811. 41 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 642 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Наиболсс четко выражает эту идею продольно-поперечная схема (неявный метод переменных направлений): у" Ь-у':! 1 0,5т = Л уу+ ~г + Л уг + ~г+ ~г г ) уг Е1 гт11г 0,5т Л „1-' 1 + Л у.гз- Уг + Р'З- Ь (12) Переход от слоя у к слою у + 1 совершается в два этапа с шагами 0,5 т; сначала решается уравнение (11),неявное по направлению хг и явное по хг, затем УРавнение (12), Явное по х1 и неЯвное по хг. Значение 11 уге 'г является промежуточным.
Сформулируем краевые и начальные условия для схемы (11) (12) в случае, когда С = (О ( хг,хг ( 1) квадрат, ыь = ((11Ь1,11Ьг)) -- сетка с шагами Ь1, Ьг. Если краевые условия в (4) не зависят от 1, т. е. р = р(х), то полагаем уг~ Ь ~,,„= угег ~. = р(х) ~т . 11 Если же р = р(х,с) зависит от 1, то для промежуточного значения уге 11 краевые условия при 11 — — О, Л11 задаются по формуле у'е Ь = — (р'~' + р') — — тЛг (рг+' — рг) = р при 11 — — О, Л11, (13) а для уг ег ставятся обычные условия (14) при гг — — О, Л11. Присоединяя сюда начальное условие уе = ие(х) при 1' = О, (15) получаем разностную задачу (11) (15), соответствующую задаче (4) .
Продольно-поперечная схема (11) (12~ безусловно устойчива (при любых т и Ь) и имеет точность 0(тг + Ь ). Подставим в (11) (12) вместо Лгу и Лгу их выражения 1 Лгу = (Л1У)гггг = г (У11 — 1 2У11 + У11-~-1) 1 1 Лгу = (Лгу), г = Ьг (У11 — 1 — 2У, + У„ег) 'г з 4) РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 643 (пишем только тот индекс (гг или гг), который меняется). Тогда для ууь ~г = у и уг+г = у получим краевые задачи 0,5 у ~~ ~~ — (1+ у )г~ э+0,5 у у~ 6 = — г'г 71уч 1 ( 'у1 уй д'угуп.ь1 = гг — — 1, 2, ..., Хг — 1 (О < гг < Хг) г-';Мг — .й-гуг Уеяг = д ~х,=е Угтьгг = д )хг=ы 7г = т161, и;, ' = 0,57г 1угй, + у', „) + (1 — у,) у,' + 0,5 туг~ 7г (16) 1г = 1 2 °: Лг 1 (О<'гг <Хг), У, е = р ~ г=-е У;,,мг = д ~гг=-м уг = т76г, гэ~' = 0,57г (УЗ гг+ уз ь,') + (1 — 'уг) уг' '+ 0,5т~" ~'. (17) Здесь р определяется по формуле (13).
Пусть уэ и, следовательно, Егт " известны. Фиксируем гг — — 1 и на этой строке по формулам прогонки решаем краевую задачу (16). Полагая затем гг = 2, ...., Хг — 1, Ег'г последовательно находим у'е" во всех узлах ыю После этого вычиг сляем Ег+ 6 и вдоль столбцов 1г = 1, 2, ..., Хг — 1 решаем краевые задачи (17). В результате получаем значение узтг на новом слое. При переходе от слоя у + 1 к слою г' + 2 процедура счета повторяется.
Из сказанного выше ясно, что при переходе от слоя у к слою у + + 1 затрачивается 0(1/6г) арифметических действий. Чтобы найти угг пРи 1е = 1ет по начальным данным, тРебУетсЯ, очевидно, 0(1/6~) ге = = 0(11'16~т)) операций, т. е. число операций пропорционально числу использованных узлов пространственно-временной сетки ыьт = = 1(г161, $гйг ут)).
В случае уравнения (7) с переменными коэффициентами в (11) 112) следует подставить, согласно (67) из З 2, выражения Л у = = (а (х,1,тес) уи„),, а = 1, 2, Д,м — Л и = 0(6~). Операторы Лг и Лг действуют только вдоль строк и столбцов соответственно. Поэтому схемой (11) -- (12) можно пользоваться и для произвольной области, полагая, например, р = 0,5 (рг + ргьг).
Если 0 область, составленная из прямоугольников, то при )1 = 0,5 (р' + д'е') — 0,25 т7 г (р'~' — дг ) продольно-поперечная схема имеет точность 0(т + ~6~~). Схему (11) (12) можно формально обобщить на случай трех пространственных переменных ям тг, тз, но так построенная схема будет, вообще говоря, неустойчива. 644 ДОПОЛНЕНИЕ 1.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Универсальным методом, пригодным для решения уравнения теплопроводности с переменными и даже разрывными коэффициентами в произвольной области С любого числа измерений, является локально- одномерный метод. В основе его лежит понятие суммарной аппроксимации схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
