УМФ Тихонов (965259), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Следствие 1. Если Р(х) > О, х е ыь и у ~.„, > О, то решение задачи (16) неотрицательно: у(х) > О всюду в шь В самом деле, пусть хотя бы в одном узле х б о~ь функция у(х) отрицательна; тогда она должна принимать отрицательное наименьшее значение во внутреннем узле. Это невозможно в силу принципа максимума (если только у(х) у: сопзг). С лед отвис 2. Если Г(х) < О, х б ыь и у (ть < О, то у(х) < О для всех т б ыь. Следствие 3.
Однородное уравнение (18) А(х) у(х) = ~~', В1х е) УЮ еетп (ю при однородном граничном условии у ( = О имеет только тривиальное решение. В самом деле, при Е = О следствия 1 и 2 дают соответственно у(х) > О, у(х) < О, т. е. у(х) зв О. Таким образом, разностная задача (16) имеет единственное решение. Следствие 4. Для решения однородного уравнения (18) верна оценка (19) где !)у()о = шах (у(х)!., ))у/(о.
= гпак/у(х)! (решение уравнения (18) при- чехь ье ~ь нимает наибольшее и наименьшее значения на границе 7ь). Имеет место следующая теорема сравнения. з 3) МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 635 А(х) у(х) = ~ ~В(х,б) у(() + Е(х),. г с однородным граничным условием у ~з = О. Пусть выполнены условия В(х,б) > О, ~ В(х,6) = А(х) — В(х), с х 6 ыв, (20) В(х) > б > 0 (21) для всех х 6 ыь.
Тогда для решения задачи (20), (2Ц верна оценка "у1!о < б !!Ив (22) В силу теоремы сравнения !у! < у, где у решение задачи (20) с правой частью Е = !Е!. Пусть у(х) принимает наибольшее значение в узле х. Так как у(х) > О, то А(й) у(х) = ~ ~В(хЗ6) у® + /Е(х)! < (А(х) — В(х)) у(х) + /Г(х)!, < ~Е(х)! < У(х)< В() < В Учитывая, что !!уЦо < у(х) и В > тически нами получена оценка (Ио = 1па 'РР).
о ''Ь б, получаем (22). Заметим, что фак- Г(х) ЬЬ- () Предположим, что В(х))б>0 при хаю„*, В(х))0 при хайя, (23) Е(х) = 0 при х 6 йь, Е(х) = Р* при х 6 ы~ь. (24) Пусть у(х) решение уравнения (16), а у(х) ре1оенис того хсе уравнения с правой частью Е(х) > 0 а граничным значением у ~ „> > О. Если выполнены условия (Е(х)~ < Е(х) при х 6 ыь, ~у(х) ~ < 'у(х) при х 6 ут то ~у(х) ( < у(х) для всех х 6 Ыь. Следствие 1 сразу дает у(х) > 0 всюду в ыь.
Функции и = у+ у, о = = у — у удовлетворяют уравнению (16) с правыми частями Е = гч + Е, Рч = Š— Е и гРаничными значениЯми и = У + У ~з, о = У вЂ” У ~з. Так как по условию Г, > О, и( ) 0 и Е, > О, о(ч > О, то в силу следствия 1 и > 0 или у > — у, с > 0 или у < у, т. е. )у! < у при х 6 ыь. 3. Оценка решения неоднородного уравнения. Рассмотрим неоднородное уравнение 636 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Тогда для решения задачи (20), (23), (24) верна оценка (25) д В самом деле, у(т) > 0 в силу принципа максимума и не может а иметь наибольшего значения в узлах и б ыл, в которых г'(и) = О.
Предполагая, что й б л~* есть точка, в которой достигается максимум, получим оценку (25). Наибольшие трудности при оценке решения задачи (2Ц возникают в случае Р(т) = 0 при и е ыл. Тогда строится мажорантная функция у(и) > ~~у~~в, удовлетворяющая уравнении> (20) с правой частью Р'(и) > Т(т)~ Итак, если выполнено условие Р(т) > д > О, т б ыл, то для решения задачи (20) --. (21) верна оценка Ь~!е < Ь~~е, +, !!Г1~0 (26) выражающая непрерывную зависимость решения от граничных данных и от правой части. 4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле. Чтобы установить сходимость и порядок точности схемы (9) (11), мы должны оценить решение задачи (12).
Погрешность аппроксимации в регулярных узлах ф = (Ли + Лз)— — (Ри + ) ) = 0(~6~~), если и б 0~~1, и в нерегулярных узлах ф = ф* = = О(/6!). Так как ~~лд'~~е = 0(~6~), то для оценки я следует рассмотреть отдельно вклад в я погрешности аппроксимации в нерегулярных узлах. о Представим г в виде суммы я = я + г", где з и г* решения задач о Лз= — ф, хбюл, я(зл =О, уз= ' "' (27) 10, таил, и с "'л. Так как и ~ „= О, то Р(т) > 1/6з = д > 0 пРи и е ыл' и Р(х) > 0 пРи а я б ыл.
Пользуясь (25),получаем (29) Для оценки з воспользуемся теоремой сравнения. Построим мажорантную функцию 5л(т) = К(ДЯ вЂ” гз), Ц 3! МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДДЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 637 где Л радиус круга с центром в точке (0,0) Е С, содержащего область С, К = сопз1 > О. Вычислим разностные производные Л г = ' г', г, (хг+1Н) — 2х, +(хг — 6г) г о Лгг- = 2 при х Е ыя. В нерегулярных узлах также имеем Лггг = 2.
Таким образом, ЛС = — К Лег = — 4К при х б озь = ого + ага. о Выберем К так, чтобы ЦЩо ( 4К. Для этого достаточно положить а а К = ЦфЦо/4. Учитывая, что сг ) 0 при х Е Тю С ( КЛг = Л' ЦЩо/4, и пользуясь теоремой сравнения, находим Ц:Ц.<ЦСЦ.~ Лг!И! (30) Объединяя неравенства (29) и (ЗО) и учитывая, что ЦзЦо < ЦзЦо + Ця* Цо, получаем ЦзЦО < 6'ЦФ*ЦО+-Л'Йо (31) Тем самым доказана следующая теорема.
Для реигения задачи (12) имеет место оценка (31). Из (31) видно, что если и е С~г~(С), т. е. решение задачи имеет непрерывные в замкнутой области С = С + Г вторые производные, так о что ЦгрЦо = р(!6!), Цф*Цо = р(!6!), где р(!6!) — о 0 при !6! — э О, то схема (9) (11) сходится: ЦгЦо = Цу — иЦо = р(!6!). (32) Если и Е 0~4~(С), то справедливы оценки Мл 2 д'и ЦЩо ( — !6!г, Цф Цо ( — Мзб, где М, = пгах (33) 12 3 тс ох~, (о = 1, 2, е = 3, 4). Применяя неравенство (31), видим, что для реше- ния задачи (12) верна оценка М Лг ЦзЦо = Цу — иЦ < — Мз6 + !6!, т.
е. схема (9) - - (11) равномерно сходится со скоростью О(!6!г) (имеет 2-й порядок точности). Заметим, что если у на ог„' задавать при помощи линейной интерполяции (см. (7)), то ф' = 0(1) и оценка (31) дает Цу — иЦо = О(!6!г), (34) 638 ДОПОЛНЕНИЕ!. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ т. е.
и в этом случае схема (9) имеет 2-й порядок точности. Для определения решения разностной задачи Дирихле (9) .. (11) мы получаем систему линейных алгебраических уравнений большого порядка, равного числу внутренних узлов сетки. При точном решении этой системы известными методами линейной алгебры требуется большое число арифметических действий и большой объем оперативной памяти машины. Поэтому систему уравнений решают итерационными методами, учитывающими специальный вид матрицы системы. Ниже (в Э 5) излагаются итерационные методы решения сеточных уравнений.
$ 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространственными переменными 1. Многомерные схемы. В 3 2 мы рассматривали разностные схемы для решения задачи Дирихле в случае двух измерений (хы хз). При написании разностных схем для уравнения теплопроводности ди — = Ли+1 ду первым шагом является аппроксимация оператора Лапласа.
Пусть Лу = Лгу + Лзу, Л у = уя, а = 1, 2, (2) пятиточечный оператор на игл с шагами 6г и 6з. Как в з 2, и. 2, двухслойные схемы для (1) возьмем в виде = Л (ггугг + (1 — и) уз) + гр, т (3) у'" =у'„~„'= у(г1 г6 1зе ) ди — = Ьи+ 1(х,1), и(х,О) = ио(х), хСС, 0(1(Т, (4) и ~г = р(х,1). Ей поставим в соответствие разностную схему (3) с краевыми услови- ями у ~т = р, у(х,0) = ио(х). По аналогии с э 2 устанавливается, что схема (3) устойчива при 62 сг ) — —— 2 8т (если 6г = 6з = 6). Пусть С - область на плоскости (хы хз), ограниченная кривой Г.
Введем в С = С+ Г сетку огеч описанную в Э 3. Будем рассматривать задачу з 4) РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 639 Отсюда следует, что явная схема (и = О) д~ д~ = Аде+ а+~, или дзе = де + т(Лдз + ~рзг ), (б) т условно устойчива при т < 6з/4 (в одномерном случае при т < 6з/2, см. ~ 2). Неявные схемы безусловно устойчивы при и > 1/2. В случае трех измерений, когда х = (хы хз, хз), в (3) нужно подставить Лд = Л1д+ Лзд+ Лзд, Л„у = дя х , .а = 1, 2, 3. Условие устойчивости имеет вид 62 ц) —— 2 12т (при 6г = 6з = 6з = 6). 62 2 12т' а = 1, 2 ф - прямоугольник). В случае уравнений с переменными коэффициентами для получения схем можно воспользоваться методом баланса на сетке ыю Пусть, например, дано уравнение теплопроводности ди — =Ли+/(х,1), х=(хы...,х,,), Ь=Ь|+Ьз+...+Дю (7) Ь„и= ~~6„(х,1) ), о=1,2,...,р.
д / ди дха (, ' д.)' Пусть р = 2. Возьмем объем ((гз — 1/2) 61 < хг < (1г + 1/2) 6ы (1з— — 1/2) 6з < хз < (1з + 1/2) 6з, 11 < Г < 1 .ъг) и напишем для него уравнение баланса тепла ~ (и'~ — и~) Их~ Йхз —— 9 Явная схема (л = О) устойчива при т < 6з/б. Порядок аппроксимации 1д = (Ли+ ~р — иг) — (Еи+ / — ди/д1)з" 6 зависит от ц: 1г = 0(~6~з + +те) при н = 0,5, ф = 0((6~я+ т) прин ф 0,5 ((6~з = ~ " 6з,р= 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
