УМФ Тихонов (965259), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Уточним понятие устойчивости. Пусть решение задачи (32) оценивается по норме ((е(((ц (например, (ф((ц = ((з((о, ((з(((ц = ((зя1). а правая часть ч' по норме )(ф((з( (например ((ч'(((з( ((ч ((О ((ф(((ц ((ф((2). Будем говорить, что схема (32) (или (3) (4)) усгпойчива по начальным данным и по правой части, если при достаточно малые 6 < < Ьо и т < то имеет место неравенство гпах((з(я,()(((ц < Мз ((е(т,0)(((ц + Мз п1ах/(ф(т,1)(((зр (36) где Мц Мз -- положительные постоянные, не.
зависли(ие от А и г. Для устойчивости схемы (32) достаточно, чтобы выполнялось одно из условий: ((г(((ц ~ ((1 + с1т) ((е(((ц + сзт ((Ф(((2( (37) или ((з(((ц ~ ((1 + с т) ((й(((ц + сзт (('е(((ю~ (38) где сы сз -- положительные постояннь|е, не зависящие от Ь и т. В самом деле, пусть выполнено условие (37). Запишем его в виде ((я~(((ц < (1+ с,т) ((е~ (((ц + сзт((ф~)/(зр 1 = 1, 2, ...
Исключая из (39) последовательно (ф ~(((ц, ((зд ~(((ц, ... и учитывая, .что (1+ сат)ь < е" е при Й < у, получаем ((г'(((ц < е"" ((з(т,0)(((ц+ аз~т((ф /((з> . (40) Отсюда следует (36) при Мз = е" т, Мз = сзМ1Т. Предполагая, что выполнено (38), аналогичными рассуждениями приходим к неравенству вида (40), в котором следует заменить ((. ~ ~ выражениями (( . ((з. В 1 тт РезУльтате снова полУчим (36) с М1 — — ет "т, Мз = ~/сзТ Мп Пользуясь тождеством (34) для схемы (32), мы установим неравенство вида (36), из которого и будет следовать в силу сказанного выше устойчивость схемы (3).
Чтобы выяснить вопрос об устойчивости по начальным данным, рассмотрим задачу (32) при (ь = 0 и положим ((я(((ц = ((яе1. 00б ПОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Тождество (34) при г6 = 0 имеет вид 2т [!!ят!)~ + (и — 0,5) т )~зяД~) +1Щ~ = )Щ~ (4Ц Пусть и > 0,5. Тогда выражение в квадратных скобках неотрицательно и П"-Н' < ~Р.-Г, Пя14 < Пг1 'Н < Пг24 Отсюда в силу начального условия го = зо(т) следует, что ~!з~~~10 ( ~1зо1~[ц где ))з)(0> = )Щ. (42) Пусть и < 0,5, так что и — 0,5 < О.
Обозначая яу = о и пользуясь (35), находим )(о()~ + (и — 0,5) т /(ив~~ > /)о()~ — (0,5 — и) т —, ))гг)/~ = и | ~ ~ ~ 6 г ~ ~ ~~ | 4 '1 1 — (0,5 — и) т — ~ 'Оо(! > 0 '6,) при 4 1 — (0,5 — о) т . — > О, т. е. при а > оо = 1/2 — Ьг ~(4т). При этом условии выражение в квадратных скобках в (34) неотрицательно и мы снова приходим к (42). Таким образом, схема (32) (и схема (3)) устойчива по начальным данным в норме ~~з~)~ц — — Огг1, если выполнено условие Ьг и> — — — =по. 2 4т (43) Рассмотрим частные случаи.
Если и > 1/2, то условие (43) всегда выполнено и схема (32) устойчива при любых Ь и т. Для явной схемы и = 0 и условие (43) дает т 1 г у= — < —, или т< — 6, Ьг 2' 2 (44) т. е. явная схема условно устойчива (устойчива при условии (44), связывающем т и 6). Можно показать, что при у > 1/2+ с1 то, 0 ( а < 1, Явнал схема неУстойчива, т.
е. Условие У < 1/2+ сгто ЯвлЯетсЯ необходимым для устойчивости явной схемы (сг = сопзФ > 0 произвольная постоянная, не зависящая от 6 и т). Из (43) видно, что схема повышенного порядка точности (л = и, = = 1/2 — Ьг/(12т)) безусловно (при любых 6 и т) устойчива, так как и. ~ )по. Перейдем к оценке устойчивости схемы (32) по правой части. Будем исходить из тождества (34). Имеет место следующая теорема. Ц 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 607 Разностная схема (32) устойчива ио начальным данным и ио правой части ири 1 о > —, 2' так что для реигения з задачи (32) верна оценка ггз Ц И. Ц ..-~+ — ', ~ Цф" Ц ъ'2 ь=г (45) Пользуясь неравенствами (26) и (31), имеем 2т (г)г, згз) < сот Цзр(а + — Цгег'Ц~. со Если о > г,гз, то мы получаем из (34) неравенство (46) 2тЦзеЦ~+ ЦЩз < ЦЩ~+ сот ЦзеЦ~+ — ЦфЦ~. со Выбирая затем со = 2, будем иметь 2 Отсюда сразу следует .г ц й'- ц *-Г ь=г Замечание.
Несколько изменяя рассуждения, можно показать, что 1 1 — е з теорема верна прис > о = — — Ь, где 0 < е < 1; в (45) следует вместо 2 4т ьг2 написать чгйее. Сравнение с (Зб) показывает, что ЦзЦ(г1 < Цзя1, ЦйЦ(з1 = = ЦгРЦ, Мг = 1, Мз = .,/Т/(2е). Нетрудно получить оценку (Зб) с ЦзЦ1г) = ЦзЦ, ЦчгЦ(з) = ЦЩ прин ~ )1гг2. Ограничимся доказательством устойчивости по начальным данным. Положим в уравнении (32) ф = О, умножим его на 2гз,. Ь и просуммируем по 1 = 1, 2, ..., Аг — 1. Пользуясь формулой Грина (20) и тождеством 2т(я(~),зу) = (з т й,з — й) т 2т(о — 0 5) 1)зеЦ = ЦзЦ ЦйЦ -~ 2г(о — 0,5) ЦзйЦз, получим !)зЦ~ + 2т (о — 0,5) ЦзеЦ -~- 2тЦзг 1 = ЦйЦ Отсюда при о > 0,5 следует ЦзЦ < ЦзЦ и Цз~Ц < ЦзоЦ.
Эта оценка справедлива и при о > оо. Однако мы не имеем возможности останавливаться на доказательстве этого факта. Так как а + Ьз < (а+ Ь) при а > О, Ь > О, то тем самым теорема доказана. 608 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Мы доказали устойчивость схемы (32) в нормах 3Щ и )ф(, являю/ » шихся разностными аналогами норм Яди/дх)~ дх) и (») и дх) Пользуясь разностным аналогом принципа максимума, можно убедиться в том, что чисто неявная схема устойчива в равномерной метрике, т. е. )(4о < )1яо)~о при о- = 1 (»)~ = 0).
(47) Оказывается, что для рассматриваемой одномерной параболической задачи симметричная шсститочечная схема с и = 0,5 также равномерно устойчива при любых Ь и т; !!г1~о < М 1~яо3о при и = 0,5. (48) Рассмотрим явную схему (и = 0). Запишем ее в виде У» = (1 27) У» + 7 (У» — л + У»-~-л) + т'Р~. Если у < 1/2, то (у ) < (1 — 2у) )у (+ у((у, л(+ )д,лл!) +т)у» ) < ()у))о+ + т 0Ц~о, так как 1 — 27 > О. Отсюда следует 3у()о < ()у!)о + т !)~р!)о при 7<1»2и !~у'!~о < Ьо~~о+ ~ ~т~!Ф ~1о,. (49) у=» — и»)(<ц — ~ 0 при 6 — л 0 и т — л 0; 2) схема (3) (4) сходится со скоростью 0(Ь + т"), пл > О, и > О, или имеет точность 0(Ь™' + т") (порядка ш по 6 и порядка п по т), если при достаточно малых 6 < Ьо и т < то шах ~ОУ» — и»~~~ц < М(6"'+т"), о<л <г где М = сопзс > 0 не зависит от Ь и т.
Характеристикой точности схемы (3) (4) является ~~я~~~ц = ~~у— — и~~ИЛ где 0' ~~~л~ одна из введенных выше норм. Функция я = = я(т„1»вы) является решением задачи (5). Так как з(х, 0) = О, то из (45) для г следует оценка 1Ь ()яД < — л» 'т((ф'(!' при и > —. (50) лГ2 л / 2' л=! где, напомним, ~~у~~о = щах )у~. Таким образом, явная схема устойчива в равномерной норме по начальным данным и по правой части, если выполнено условие 7 < 1/2.
5. Сходимость и точность. Будем говорить, что: 1) решение задачи (3) .-- (4) сходится к решению и = и(и,1) задачи (1) (схема (3) (4) сходится) при 6 — + 0 и т — > О, если шах Оу»вЂ” о<0<т з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 609 Учитывая нсравенство (28), получаем нх 90 < таксу а = Мз™ахну а. (51) Отсюда следует теорема. Из рстойчивотпи по правой части и аппрокси.мании схемы (3) свсдрст сс равномерная сходимость, причем порядок, сс точности совпадает с порядном аппроксимации".
Иными словами, если схема (3) устойчива по правой части, т. е, и > 1/2, и выполнены условия, при которых схема (3) имеет максимальный порядок аппроксимации на решении и = и(х,1) (см. (12), (13)), то она имеет точность 0(т™ + Ьз), где т, = 2 при о =05,т=1прио~05: )(ут — и'((в ( М(Ь~+т ) при и ~ и., (52) где М = сопз1 > 0 не зависит от Ь и т. Из п. 2 следует, что оценка (52) имеет место, если и Е СН з~, у = 1 при о у''- 0,5, и Н Сбкз~, р = ~ = ~зт Ь при а = 0.,5. Из неравенства (49) следует, что для явной схемы 9рз — из'9в < < М(Ьз-Ет), если и б СНз1 3 а м е ч а и и е. В силу замечания к теореме в п.
4 схема (3) при о = = 1/2 — 1Р~яЬт) имеет для и е С~в з~, у е С~~ В точность 0(Ь~ + тэ), если ~р определяется по формуле (15). 6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами. Перейдем теперь к изучению разностных схем для численного решения уравнения теплопроводности (диффузии) с переменными коэффициентами ди д / ди1 с — = — ~й — ) — да+ 1, 'д1 = дх 1, дх) й>0, с>0, (53) ~ Смс Рябе ньхий В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностиых уравнений.
М., 1956. 39 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский где с = с(х,1), Ь = Цх,1), д = 9(х,1), 1 = 11х, г) заданные функции х и й Если, например, коэффициент теплопроводности Й = Й(х,1, и) зависит от температуры и, то уравнение (53) называется квазилинейным. Квазилинейные уравнения допускают аналитические решения только в исключительных случаях. Развитие вычислительной техники и применение метода коночных разностей сделали возможным решение линейных и квазилинейных уравнений с переменными коэффициентами. При этом выявилась необходимость развивать методы, пригодные для решения по одним и тем жс программам уравнений как с непрерывными, так и с разрывными коэффициентами.
Задачи с разрывными коэффициентами встречаются очень часто в физике и технике. Достаточно, например, указать задачи о диффузии з 2) СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 611 Сначала рассмотрим стационарное уравнение теплопроводности Н / Низ~ — (к(х) — ) — у(х)и= — /(х), 0<х<1, й>О, д>О; дх (, Нх) х з1!2 *'з-1/з И; з,, — И';„~, — / д(х) и(х) г1х ь ~ /(х) Ых = О, (55) я — Ь где И'(х) = — к(х) ди/0х -- поток тепла. Чтобы получить схему, за- меним первый интеграл и И' разностными выражениями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
