УМФ Тихонов (965259), страница 85
Текст из файла (страница 85)
575 111. СКИН-ЭФФЕКТ 1 с~ 4кп ггЬ с (2') Исключая отек>да Н,„найдем 1 д / дЕ,'1 4лпрк гй ~, йг/ с Введем граничное условие на поверхности провода при г = Л. Для этого воспользуемся тем,что нам известен полный ток Хе, протекающий по цилиндру.
Запишем первое уравнение Максвелла (1) в интегральной форме; 4я Н,дэ = — 1е, с с где С контур, охватывающий провод, Н, тангенциальная составляющая вектора Н на С. Если в качестве такого контура взять окружность г = Л, то получим зл 4и Ни(Л) Ф = — 1о, сЛ о или Н, (Л) = —. 21о сЛ (6) Отсюда, пользуясь соотношением (2'), находим с~Е- 21йр И~ „сЛ (7) Таким образом, мы должны решить уравнение Бесселя г езе+ — я(е+( ч) а(э=О ( = ) (5з где и = ю/с.
Уравнения (3) и (4) в данном случае, очевидно, следуют из уравнений (1) и (2). Введем цилиндрическую систему координат (г, г,ф так, чтобы ось я совпадала с осью провода. Тогда в силу осевой симметрии тока все величины можно считать зависящими только от переменной г. Так как в нашем случае вектор Е направлен вдоль оси з, то из уравнений (1) и (2) будем иметь 576 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ УП при граничном условии Е'(Е) = 1о сК (7') и условии ограниченности при г = 0 (Ея(0)! < со. Общее решение уравнения (5') имеет вид (8) А/э (аг ъ' — з') + ВЕэ (аг з~ — г ), где Уэ и Хэ функции Бесселя 1-го и 2-го рода (см.
Дополнение П, ч. 1), А и В постоянные, подлежащие определению. Функция Хэ имеет логарифмическую особенность при г = О. По- этому в силу условия (8) В = 0 и, следовательно, Е. (г) = А,уэ (аг зУ вЂ” г ) . (10) Коэффициент А определим из граничного условия (7): 24 ~йррэ А= асЛ.7з (ай~/ — з) Отсюда для плотности тока у' = аЕк получаем 2яП,7 (аЕ зу — ') ( ) (12) 1 — 1 тч' — 1= и. ъ'2 Обычно пользуются для этих функций следующими обозначениями: Уе (язв — г) = Ьегои+1Ъе1от, ,7з (тч' — г) = Ьегз и+1Ъс1з и.
Нетрудно найти выражения для вещественных функций Ьегт и Ье1т, В правой части этой формулы стоят функции Бесселя от комплексного аргумента 577 Н Ь СКИН-ЭЕЕБКТ пользуясь разложением функций Бесселя в ряд. Например, .7о (и -т) =,7о (т1 71) = ( — ) ( — 1)1 ( — ) 1 — Ц ( — ) 1 ( — ) 12!)з 13!)з 14!)з (1')' , ()',(И' откуда получаем 113) „, . (~)' (~)', '"" * - (11)з (3~)з ' 114) Нетрудно убедиться подобным же образом, что *,(И' (~)й ©', 2 1!2! 2!3! 3!4! / *,©',©з ©' 116) В приложениях встречаются также производные Него и, Ььйо и, причем .7г (и ъ' — г) = ъ' — 11Ъе1о т — 1Ъего т).
117) Пользуясь введенными функциями, выражение 112) для тока можно записать в виде 1оа Ьего ог + 1Ье1о а~ 2яй Ье1оогс — 1Ьегоогс 37 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 1 Ьегг л =— ъ'2 „/©' ©', (1')з (З~)з ПРИЛОЖКЕ1ИЯ К ГЛАВК УП или 1оа / (Ьсго аг Ье1оц ал — Ье1о аг Ьего аЛ) + (Ье1о аЛ)з + (Ьего ал)з (Ье1о аг Ье1о ал + Ьего аг Ьего ал) ) (Ье1~ ал)Я + (Ьег~ ал)з Вычисляя абсолютную величину этого выражения, получим 21гл (19) Величиной, характеризующей распределение тока по сечению, являет- ся отношение Ыг) ! ЫЛН (20) Ьего 0 Ье1о 0 Ьего 0,222 = Ье1о О 222 = Ъего 0,444 = Ье1о 0,444 = 1, О, 1 — 0,000036+... = 0,999964, 0,0123 — 0,000002+...
= 0,012300, 1 — 0.,00061+... = 0,99939., 0,493 — 0,0003+... = 0,.4930, найдем = 0,9994, ' = 0,9999, 1(Л) = 1(Л) =1 1) См, также: Янке К., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции, формулы, графики, таблицы. М., 1977. Произведем расчет распределения тока по сечению для двух частот: о11 = 314 Гц (50 периодов в секунду), о11 = 314 104 Гц (5 10о периодов в секунду). Все изложенные выше выкладки были произведены в гауссовой симметричной системе. Поэтому при переходе к системе СГСЭ следует учесть, что дсжоэ = ц„егее/с .
Все остальные величины, входящие в формулы (12), (18) (20), в обеих системах (гауссовой и СГСЭ) совпадают. Поэтому в системе СГСЭ аз = 4пдо.оо. Пля меди а = 57 101 СГСЭ, поэтому а1 = 0,4444 (для ц11), аз = 44,44 (для о11). Вычислим отношение модулей токов (20) для низкой частоты о11 — — 314 для двух значений г: г = 0 и г = 0,5Л. При этом Л положим равным единице. Имея в виду~1, что 1Ч. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ 579 т.
е. при небольшой частоте ток распределяется по сечению приблизительно равномерно (скин-эффект отсутствует). Рассмотрим теперь второй случай: шз = 314 10~. Так как значение а велико, то для расчета удобнее исходить не из разложений функций Ьег и Ье1 в ряды, а из асимптотических формул '(- -)= 1 ог/~'2 — ~1аг/.Уз — л/8) ч'2яо У (оЛ '- ) = 1 о о ел/ ~2 — ~ шл/н2 —.г/8) ъ'2хоЛ откуда получаем, задаваясь значениями г = 0,9 Л; Л = 1, э(0,9Л) 1 — 44 ол!ъз О 047 у(Л) н, '1' 0,9 Этот результат свидетельствует о чрезвычайно быстром уменьшении плотности тока по мере углубления внутрь проводника при высоких частотах.
Отметим в заключение, что скин-эффектом широко пользуются на практике для закалки металлов. 1'Ч. Распространение радиоволн над поверхностью земли Проблемы, связанные с распространением радиоволн как в свободном пространстве, так и при наличии поверхностей раздела, имеют огромное теоретическое и практическое значсние. Этим вопросам посвящено чрезвычайно большое количество работ советских и Р иностранных авторов.
Мы рассмотрим задачу о влиянии земли на распространение радиоволн, излучаемых и' вертикальным диполем. При этом землю бу- о дем считать плоскойП. Пусть нвд поверхностью земли на рас- Р' стоянии А в точке Ро находится диполь., излучающий периодические колебания частоты Рнс. 84 ш. Примем плоскость земли за плоскость з = 0 и направим ось з по оси диполя (рис. 84). Положим, что в атмосфере (я > 0) сэ = до = 1, пэ = О. Предположим далее, что земля (з < 0) характеризуется диэлектрической постоянной с, проводимостью и, а магнитная проницаемость д может быть принята равной единице; с и и будем считать постоянными. П Эта задача была впервые решена Зоммерфельдом в 1909 г. Первоначальное решение содержало ошибку, которая была исправлена В.
А. Фоком. 37* 580 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ к"П Наша задача заключается в отыскании напряженности поля, создаваемого диполем. Процесс распространения электромагнитных волн описывается уравнением Максвелла. Как было показано в Приложении П к гл. У, решение уравнений Максвелла может быть сведено к решению волнового уравнения для поляризационного потенциала П~ с ДП+ кзП = О, где 2 ~О я>0; еш + 34япю я<0. Потенциал П связан с напряженностями тюля соотношениями Е = кзП + 8габбгк П, (2) йз Н = — г — госП ко В нашем случае вектор П направлен параллельно излучаюгцему дипо- лю: П = (О,О,П,); П, = П,(г,к).
(3) Положив 4яп и =с+3 ш получим й,' = и'ЕО. Соотношения (2) и (3) дают д дПо дг дк Н, = — гйо, Е, =Не=О при я>0, (4) дп, дг гй~ дП, Н„= — — ' ', Е, =Н,=О при к<0. (ос) ко дг ' д дП, дг дк' О Так как рассматривается установившийся процесс, то временной множитель е 'и можно опустить. 1Ч. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ 581 дп дп, Пе=пП, при э=0. 16) дз дг ' Будем искать решение уравнения 11) при граничных условиях 16) в виде суперпозиции частных решений вида ,101Лг) е~п 1кз Лз рз) Для неограниченной области вместо дискретного спектра собствен- ных значений Л получается непрерывный спектр.
Поэтому решение П можно искать в виде П = / Г1Л) Лд'1Лг) е~Р е)Л; 0 (7) знак у р должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалась сходимость интеграла 17). Остающаяся пока не определенной функция г'1Л) представляет собой амплитудный множитель отдельных колебаний.
Воспользуемся интегральным представлением потенциала 1см. Дополнение П, ч, 1, з 5) сеял е 'у Л )е — рм-ь~ ЛдЛ Д р 0 18) е = 01' — е' и =, 'е +Э- вр) (- Рассмотрим две различные области. а) Воздух 1з ) 0). Поле в этой области имеет вид ПО Пперв + Пвтор ~ где еьн Пперв— Н потенциал поля первичного возбуждения, создаваемого самим диполем, а П,,р потенциал поля вторичного возбуждения, создаваемого возникающими в земле токами. Чтобы получить граничные условия при я = О, воспользуемся условием непрерывности тангенциальных составляющих напряженностей полей. Эти условия, как показывая>т формулы 14) и 15), будут выполнены, если положить 582 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ УП Используя представления (7), (8) и (9), мы можем записать Ппорн = / 1о(Лт) е „, „~Л4Л д о (10) П р = / Р(Л) оо(Лт) е Р Ы™ НЛ, о П, = / Р,(Л) Уо(Лт) еи' — Рь о1Л о где р~ = кз — Лз.
Так как з < О, .то знак показателя экспоненты обеспечит сходимость интеграла. Пля определения функций Р(Л) и Р, (Л) воспользуемся граничными условиями (6), которые дают Уо(Лт) е Р~ [Л вЂ” рР(Л) — р,Р,(Л)) йЛ = О, о (12) эо(Лт) е " (Л+ рР(Л) — и рР,(Л)] — = О. — ь о1Л 1о о Условия (12) будут выполнены, если мы положим дР(Л)+рзР,(Л) =Л., 1 рР(Л) — изрР,(Л) = — Л.) (13) Решая систему уравнений (13), найдем Р(Л) и Р,(Л) в виде (14) 2Л ияр+ р, где Р(Л) пока что не определенная функция.
б) 3 е м л я (з < 0). В этой области имеет место только вторичное возбуждение, которое мы можем записать в виде 1Ч. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ 583 Подставляя выражения (14) в формулы (10) и (11), получим следующие выражения для поляризационного потенциала, поля вертикального диполя: По = / Хе(Лг) е " ' " + ~ эе(,Лг) е "~'+"~ р l р о о — 7о(Лг) е "~'+"1 пер+ р.
д о (15) П, = 2 / эе(Лг) евы "' изр+ р, о оа,. «арь з=,"'+~*-Зз2„с* ° рв з' = ят(*тх) р наблюдения до зеркального отражения диполя в плоскости з = 0 и пользуясь представлением (8), перепишем выражение для функции Пе в виде е'"н елн По = -ь, — 2 Уо(Л~) е "~'~~~ ' . (15') о Рассмотрим некоторые предельные случаи. 1. Идеально проводящая земля. В этом случае а — > оо, а следовательно, ~й,) и ~т~,~ — ~ оо. При этом формулы (15) и (15') дают е'ьл е'"л П = + П, = О.
ь~ Лс1Л е'"и По = Пз = / 3о(Лг) е д Л е т. е. имеет место одно первичное возбуждение, как и должно быть. Полученные интегральные выражения (15) являются весьма сложными для исследования и практического применения. Подынтегральные выражения имеют точки ветвления и полюсы. Зоммсрфсльдом был предложен метод приближенного вычисления этих интегралов путем Этот же результат легко получить непосредственно, решая задачу методом отражений. 2. Диполь в однородной среде. В этом случае ке = й„п = = 1; р = р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
