УМФ Тихонов (965259), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Н., Самарский А. А. К теории возбуждения радиоволиоводов 0 Вести, Моск, ун-та. 1948. 1««7. С. 39 — бб. Таким образом, в волноводс могут существовать электромагнитные поля двух типов: (Е, Н1 и (Е, Н1, определяемые по формулам (3) и (16). Принята следующая терминология: говорят об электрических волнах (или волнах типа ТМ), если Н, = О, или о магнитных волнах (типа ТЕ)«если Е, = О. Мы убедились, что в волноводе могут су«пествовать волны ТЕ и ТМ. Можно показать««, что любое поле в волноводе представимо в виде суммы полей ТЕ и ТЛ1. Отсюда следует, что произвольное поле в волноводе можно определить, если известны две скалярные функции: П(М, я) и П(М«я). 2.
Найдем величину энергии, уносимой бегущей волной, например, типа ТМ. Пля этого вычислим величину потока вектора Умова Пойнтинга через сечение Е: 560 ПРИЛОЖЕНИИ К ГЛАВЕ УП Емвк — — 0 на В; 3) условие излучения в виде требования отсутствия волн, приходящих из бесконечности; 4) условие возбуждения, которое мы берем в виде (см. гл. У, Приложение П, и. 3) 4я 27о Н„дз = — 1о, или Нз с ср К, (24) где К, окружность радиуса с (с -+ О), охватывающая линию А, р = = ~ММо~, где Мо точка на токе, М точка на окружности К,. Иными словами, электромагнитное поле на токе должно иметь особенность определенного типа. Перейдем к потенциалу П, воспользовавшись для этого формулами (3).
Пусть (Мо, 4) произвольная точка на токе. Введем цилиндрическую систему координат р, 7з, к с центром в точке (Мо, 4) и вычислим Н„пользуясь уравнением (3); дП Н, =гав др Отсюда и из (24) следует, что в точке (Мо, 4) функция П должна иметь логарифмическую особенность: 221о 1 П - — — !и —. гйс р (25) В Самарский А. А., Тихонов А. Н. О возбуждении радиоволноводов. 1 0 ЖТФ. 1947. Т. 17, № 11.
С. 1283 1296; П 0 Там же. № 12. С. 1431- 1440. Перейдем теперь к задаче о возбуждении электромагнитных полей в волноводе заданными токамиц. 3. Пусть в некотором объеме Ио внутри волновода Е заданы токи у(М, з) е ' ', меняющиеся во времени гю гармоническому закону. Найдем поля, возбуждаемые этими токами.
В силу принципа суперпозиции полей достаточно, очевидно, решить задачу о возбуждении волновода элементарным диполем произвольной ориентации. Чтобы дать представление о методе решения поставленной выше общей задачи, рассмотрим более простой случай возбуждения волновода линейным током 7 = 1о(з) е '"'., заданным на отрезке А, параллельном оси з. Лля определения электромагнитных полей, возбужденных в волноводе,надо использовать: 1) уравнения Максвелла (Ц; 2) граничные условия 1.
ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ 561 П = К/По(М Мо'з ь) 1о(ь) гзч ь (26) где По(М, Мо, .з, г,) функция источника, определяемая как решение уравнения гаП +к~П =О по переменным (М, я) и (Мо, г,), удовлетворяющее граничному условию По=О на Е, се с условию излучения и имеющее особенность типа — при совпаде4я г нии аргументов, т. е. прсдставимое в вице суммы войс По(М, Мо, я, ~) — + э(М, Мо., я, () где о регулярная функция, опредсляемая из волнового уравнения и граничного условия: ем~ н= — на Б. 4яг Нетрудно видеть, что функция П(М, я), определяемая по формуле (26), будет иметь логарифмическую особенность и условие возбуждения выполнится, если положить нормирующий множитель 4я К= —— кис Отсюда следует, что 4я П(М, г) = — — / По(М, Мо, я, ь) 1о © г1~.
1йс 1 В частности, для элемента тока длины Ы 4я П(М,я) = — — 1о Ы.По. 1хс Следовательно, По имеет физический смысл поляризационного потенциала, соответствующего возбуждению элементом тока, помещенным в точке (Мо, ь) параллельно оси волновода. 36 А. Н. Тихонов, А.
А. Самарский Таким образом, функция П(М,я) должна удовлетворять волновому уравнению (4), граничному условию П = О на Б, условию излучения и условию возбуждения (25). Будем искать решение этой задачи в виде 562 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 11П Ь11+ Йяи = — 7"(М, я), (27) где 1(М, я) заданная функция, с граничным условием и(п = О. Будем искать функцию и(М, я) в виде ряда и(М, я) = ~ ип(з)Фп(М)., п=1 (28) где фп(М) нормированные собственные функции мембраны 8, ~зФп+Апф.
=О, Ф !с =О. 1'азлагая ~(М, з) в ряд (7) ((М,) = ~ (п(,),зп(М), 7п(,) = О ~(М', Я) фп(М') <~„, п=1 з (29) и подставляя выражения (28) и (29) в уравнение (27), получаем ни(з) — РЯ цп(я) = — Уп(я), Рп — — зг'Лп — й'. (30) Решение этого уравнения, как нетрудно заметить, представляется формулой г е н.(я) = / ' Упй К: 2р„ (31) которая в силу формулы (29) может быть записана в виде г е ип(я) = ~~ / )(М',1)фп(М')11лм д~.
(31') 2р„ Подставляя это выражение в формулу (28) и меняя порядок суммиро- вания и интегрирования, будем иметь и(М, г) = ~~~ Пе(М, М', я — 1",) 7(М', 1,") г(лм д1,", (32) т Таким образом, задача определения поля в волноводе полностью сведена к построению функции источника Пе первой краевой задачи для уравнения Ьи + кзи = О внутри бесконечного цилиндра. Для построения функции источника может быть применен метод, иЗлОжЕнный в гл. Ч1, З 2. РаССмОтрим нЕОднОрОднОЕ уравнЕниЕ 563 1. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ где Пе(М,М',2 — ~) = ~ ~' " е "" С.
(33) 2р„ Ряд для По(М, М', 2 — ~) при 2 у'. -~ равномерно и абсолютно сходится в силу оценок для собственных функцийН и присутствия экспоненциального множителя. Функция П(М, М', 2 — ~) в точке (М = М', 2 = ~) имеет особенность типа 1/г. На доказательстве последнего утверждения мы не останавливаемся~~. Из сказанного выше следует, что С(М, М', 2 — Д = Пе(М, М', 2 — (), т. е. функция источника Пе имеет вид и'и( ) фп( ) и ~п С) 2р„ Из формулы (33) вытекает, что поле в этом случае представится в виде суперпозиции волн вида (1Ц и (12). Как было замечено на с.
557, ряд (33) будет состоять из конечного числа слагаемых вида Вп2/2п(М) Е' " ~п И (бЕГУШИЕ ВОЛНЫ) (7п = З/Кз — Лп, Рп = — зуп) Л Для собственных функций 22п(М) имеет место равномерная оценка '122п(М)~ < АЛп, где А постоянная, не зависящая ни от точки М, ни от индекса и. В самом деле, краевая задача (7) равносильна интегральному уравнению 22п(М) = Лп О С(М,М ) 22п(М ) Йгмо где С(М,М ) функ- 3 ция источника для уравнения Лапласа 222и = О прн граничном условии и ~п = О. Из этого интегрального уравнения в силу неравенства Коши Вуняковского вытекает 1ф.~ < !л.! < А)лп), так как / фп(М') бам~ = 1; ~~ С (М, М') Асар < А .
Аналогичным методом получаются оценки для производных дф < Вл2 дг ~тп < ВЛ2 д и' 21 Смп Самарский А. Ап Тихонов А. Н. О возбуждении радиоволноводов. 1 // 2КТФ. 1947. Т. 17, № 11. С. 1283 †12. 36* ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ ЧП и из бесконечного числа слагаемых вида В„1ь„(М) е "" ~' с~ (затухающие волны), где тп(М) з 2 2р„ Пля определения полей надо воспользоваться формулами (26) и (3). Задача о возбуждении волновода элементом магнитного тока, параллельным оси з (бесконечно малая петля с электрическим током в плоскости оз-г), приводит нас ко второй функции источника р„=,/Л„- йз,.
удовлетворяющей граничному условию дПо/ди = О на Е. При этом 4и Н. = О; П = — — ЬЫПе (кЫ момент элемента магнитного тока). гйс Аналогичным методом можно решить задачу о возбуждении произвольно ориентированным диполем (элементом тока), найдя особенности полей в этом случае. Соответствующие функции П будут определяться по формуле, аналогичной формуле (33). В случае поверхностных и объемных токов функции П даются поверхностными и объемными интегралами (по аналогии с (26)). Пальнейшее вычисление полей производится по формулам (3).
Тем самым задача о возбуждении любого цилиндрического волновода произвольными заданными токами решается полностьиь Чтобы использовать общие формулы для волновода определенного сечения, достаточно найти собственные колебания мембраны, имеющей форму перпендикулярного сечения волновода. Приведем выражения для ортонормированных собственных функций прямоугольной мембраны со сторонами а и Ь: Г4 ит яп ф„(М) = ф„„,(х,у) = ~/ — сйп язш — д; аЬ а Ь ф,(М) = фпад(я,у) = ~ соз ™ хсое — р (сз — — 2, 7 ~ О; ее = 1); аЬ а Ь 11.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНБ1Е КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАТОРАХ 565 Пля круглой мембраны радиуса а имеем в(1ььь / ) гоз 'у' лаз ~у(з )~ е. р, У (р г/а) соз Фь(А ) Фюь(г~ ~Р) з ~ 7 ( )~ ' п~Р~ цап где р,„„ корень уравнения,7в(р) = О; Л„„ = д,„„,(а, д,„,я корень 2 2 уравнения 11 (д) = О; Ля„, = 11~ „)<Р. 11. Электромагнитные колебания в полых резонаторах В последние годы в радиотехнике получили широкое распространение объемные резонаторы, или эндовибраторы, представляющие собой металлические полости, заполненные диэлектриком (в частности, воздухом).
В эндовибраторах могут существовать стационарные электромагнитные поля (стоячие волны), называемые собственными электромагнитными колебаниями. В радиотехнике ультракоротких волн применяются эндовибраторы весьма сложной формы. Общая проблема определения собственных колебаний эндовибраторов произвольной формы чрезвычайно сложна, однако для эндовибраторов простейшей формы решение получается в явном виде. Так как стенки изготовляются из хорошо проводящего металла, то при расчете собственных колебаний обычно предполагают стенки идеально проводящими.
Поправки на конечную проводимость можно получить, используя граничные условия Леонтовича. В дальнейшем мы будем предполагать, что стенки эндовибратора являются идеально проводящими и все величины поля меняются во времени по закону е Не ставя своей целью дать исчерпывающее изложение теории эндовибраторов, остановимся на некоторых общих вопросах теории этих колебательных систем. 1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора. Проблема определения собственных электромагнитных колебаний состоит в нахождении нетривиальных решений уравнений Максвеллаз1, точнее, в определении собственных частот ы, при которых система однородных уравнений Максвелла с однородными краевыми условиями имеет нетривиальные решения, а также самих нетривиальных решений.
О Множитель е ьл всюду опускаем. 566 ПРИЛОЖКИИЯ К ГЛАВК УП Уравнения Максвелла в этом случае имеют вид гоФ Н = — зйЕ, гос Е = — зйН, йчЕ= О, йг«Н = 0 внутри полости Т, на поверхности которой Е выполняются условия (2) Ес —— 0 или дН„ д Е = рабйчП+ йзП, Н = — гй гог П, (4) где П = ПП (з» единичный вектор, направленный по оси я) поляризационный вектор-потенциал, у которого отлична от нуля лишь составляющая по оси ж Из формул (4) сразу видно, что в этом случае Н. =О. Функция П, как обычно, удовлетворяет волновому уравнению ЬП+ й'П = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
