УМФ Тихонов (965259), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Будем искать по аналогии с внешней зада зей для уравнения Лапласа решение уравнения (1), обращающееся в нуль на бесконечности. Этому условию удовлетворяет функция пг (М) и не удовлетворяет функция пз(М). 34* 532 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ. УП Докажем следующую теорему единственности. Уравнение ьзв — и в= — Х нв мвжвга ямеьль более вднвев решения, вбршцаюиаегвся в нуль на бесквнечнвстиО. Допустим, что существует два различных решения поставленной задачи в(М) и О(М), и рассмотрим их разность и = 6 — б.
По предположению, найдется такая точка Мв, что ш(ЛХв) = А ~ О. Для определенности будем считать А > О. В силу того, что 1в(М) — ь О в бесконечности, можно указать такое Дв, что при г > Вв функция и < А 12. Отсюда следует, что точка Мв лежит внутри Тл„шара радиуса Дв и что функция ш(М) достигает своего максимального значения внутри Тл„. Таким образом, мы приходим к противоречию с принципом максимального значения, имеющим место для нашего уравнения (см. з' 1, п. 4). Теорема единственности доказана. Рассмотрим теперь случай с = йз > О.
Функции е — гял е кн и1(ЛХ) = / Х(Р) сутр и из(М) = / Х(Р) Йгр (Х1 = Дмр) по-прежнему являются решениями уравнения (1). Однако в этом случае обе функции убывают на бесконечности. Отсюда вытекает необходимость введения дополнительных условий на бесконечности, однозначно определяющих решение уравнения (1). Эти условия будут разобраны в пп. 2 —.— 4 настоящего параграфа. 2.
Принцип предельного поглощения. Задача о вынужденных колебаниях с затуханием приводит к уравнению 1 Ьи = — ии Ч- Диь — Р(М,1) (Л > О). (2) Вудем считать, что функция Хг(М,1) является периодической по времени, т. е. Г(М, 1) = Х(М) е'"'". В этом случае уравнение (2) имеет периодическое решение вида (3) и(М,1) = в(М) с'" . Функция в(М), очевидно, удовлетворяет уравнению гзв + дзв = — Х(М), (4) где у~ = й~ — Цо~ является комплексной величиной, .Й = шуа. ~ Под термином «фувкцяя, вбрашаюшаяся в нуль на бесконечности» мы понимаем следующее: каково бы ни было в, найдется такое г(в), что для любой точки ЛХ(, д, ф, для которой г > г(в), верно ~и(ЛХ)~ < в, т. е.
мы предполагаем равномерное стремление к нулю при г — ь со. з 3) НЕОГРАНИЧЕННАЯ ОБЛАСТЬ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 533 Будем называть уравнение (4) с комплексным значением коэффициента д1~ уравнением с комплексным поглощением 1-го (1дп дз < 0) и л и 2- г о (1дп дз > 0) т и и а в зависимости от знака мнимой части 4~, что соответствует временной зависимости е' ~ (1-го типа) или е ' ' (2-го типа). Фундаментальные решения этого уравнения, зависящие только от т, имеют вид — гд~ е'д' бо(т) = и Еодт) = т т где — д = 1о — дчд 15) 2 2 Знаки корней выберем так, чтобы дд > О. Следовательно, е — 1до1 Жо),т) = е "'; т е~дот до1т) = ед'". т Условию ограниченности на бесконечности удовлетворяет только функция дуо(т): функция до(т) неограниченно возрастает при д -д оо и потому не имеет прямого физического смысла.
Объемный потенциал — 1дол дэ(М) = /1(Р) е д' г1тр (В = Ямр) (6) 4яй т представляет единственное решение уравнения (4), обращающееся в нуль на бесконечности. Предел В(М) при Д -+ 0 равен о(М) = 1пп 9(М) = ~(Р) Йтр (11 = Ймр), д- о у 4я11 т так как при Д -д 0 имеем до — д и и дг — д О.
При выбранной нами временной зависимости е' ~ величина Цо > О, так как знак 4о свЯзан со знаком Цд соотношением 2Дог1, = )уы. Если зависимость от времени взята в виде е '"' (1шуз > 0), то положительномУ значению 4д соответствУет До < 0 и пРедел До пРи ,3 -+ 0 равен — й. Таким образом, дополнительным условием, позволяющим выцелить решение волнового уравнения +1дз У 534 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ.
УП соответствующее расходящимся волнам, является требование, чтобы функция о(М) была пределом ограниченного решения волнового уравнения с комплексным поглощением первого рода при стремлении к нулю коэффициента поглощенияц. 3. Принцип предельной амплитуды. С волновым уравнением +ьг Х (7) чаще всего приходится встречаться при изучении установившихся колебаний, возбуждаемых периодическими силами (см. 9' 1, п. 1). Рассмотрим уравнение колебаний с периодической правой частью 1 Ьи — — илл — — — Р (г'= Хе' л). (8) аг Для определенности решения к уравнению следует добавить некоторые начальные условия, например нулевые: и(М,О) = О, ( ил(М,О) = О./ (9) Функция и(М, 1) в начальной стадии процесса не будет строго периодической. Однако с течением времени в системе будут устанавливаться периодические колебания с частотой вынуждающей силы.
т, е. решение и(М,1) примет вид и(М,1) = о(М) е'", (10) где о(ЛХ) представляет предельную амплитуду колебаний, т. е. о(ЛХ) = = 1пп ие лел, и удовлетворяет уравнению Л-лск Требование, чтобы о(М) было предельной амплитудой колебаний с нулевыми начальными данными, и представляет то дополнительное условие, которое надо присоединить к волновому уравнению для выделения единственного решения.
Таким образом, приходим к следующей задаче. Найти решение волнового уравнения лто+ кглл = — Х, являюоьееся предельной амплитудой для решения уравнения колебаний л1и — — илл — — — Х(М) ел (8') аг с начальными условиями (9) и(М,О) = О, 1 ил(М,О) = О.
) л Смл С в е ш н и к о в А. Г. Принцип излучения // ДАН СССР. 1950. Т. 73, Рй 5. С. 917 — 920. з 3) НЕОГРАНИЧЕННАЯ ОБЛАСТЬ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 535 Представим предельную амплитуду в явной форме. Для этого найдем решение уравнения колебаний (8') с нулевыми начальными данными, пользуясь формулой 1 г 11Р)ег Е игМ, 1) = — / ггтр (тс = Кмр), — ./ Л тм полученной в гл. У 1З 2г (6)). Здесь Т~г — шар радиуса а1 с центром в точке М. Пусть 1г,Р) --- локальная функция, отличная от нуля только внутри некоторой ограниченной области Та.
Тогда для предельной амплитуды и1М) получим выражение 1 ге и(М) = 1пп и(,М,1) е '"'' = 1пп — / у(Р) астр = г — ~сО г- ~4я,/ Л т„ 1 г е = — / ~(Р) г)гр (Л = Лмр). (11) 4я,/ В тэ й=~(1+-') тельном направлении оси х). Прямая волна характеризуется соотношением ди 1 ди — + — — =О, дх а д1 Таким образом, предельная амплитуда представляется объемным потенциалом, определяемым главным решением е м~/г1, которое соответствует расходящимся волнам ец"'ч ь'ч Ггй. Принцип предельной амплитуды приводит математически к тому же результату, что и принцип предельного поглощения. Это и естественно, так как оба эти принципа выделяют решение, соответствующее расходящимся волнам. 4. Условии излучения.
В предшествующих пунктах были рассмотрены общие физические основания, позволяющие найти решение волнового уравнения, соответствующее расходящимся волнам. Однако такой путь требовал обращения к решениям вспомогательных задач. Установим теперь аналитическое условие, характеризующее расходящуюся волну и выраженное непосредственно в терминах изучаемого решения волнового уравнения. Плоские волны, распространяющиеся вдоль оси х, имеют вид: хк и=1(1 — — ) прямая волна (идущая в положительа ном направлении оси х)1 обратная волна (идущая в отрица- 53б УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) ~ГЛ.
УП обратная волна соотношением — — — — = ОП. дт а д1 Для установившегося режима и = о(т) е' эти соотношения принимают вид дб — +гкй = О ди для прямой волны, (Й = — ) (12) дй — — гни=О д* для обратной волны. (13) аналогично для сходящейся сферической волны: Пля амплитуды установившихся колебаний эти условия принимают вид 1з~ — ) для расходящихся сферических волн, с 11 — ) для сходящихся сферических волн. до — -~-гас = о дг (15) до — — око = о дг (15) Соотношения (15) и (16) мы получили, предполагая, что на больших расстояниях всякая расходящаяся волна подобна плоской волне, амплитуда которой убывает как 1/г. Убедимся в правильности этого утверждения. П Написанные соотношения представляют уравнения с частными производными 1-го порядка, решения которых имеют вип прямой и обратной волны.
~~ В дальнейшем мы пользуемся двумя обозначениями: 0® величина, убывающая, .как 5 при 5 — э О, о(5) -. величина более высокого порядка малости, чем ( при 5 -э О. Перейдем теперь к случаю сферических волн. Если сферическая волна возбуждается источниками, расположенными в ограниченной части пространства,то на больших расстояниях от источников сферическая волна подобна плоской волне, амплитуда которой убывает как 1~т. Отсюда естественно считать, что расходящаяся сферическая волна должна удовлетворять соотношению~~ з 3) НЕОГРАНИЧЕННАЯ ОБЛАСТЬ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 537 1. В случае точечного источника, находящегося в начале координат, это утверждение совершенно очевидно, поскольку сама волна имеет вид еН' о и(г, Х) = = ео(г) е' ', т так что +Йоо = о 2.
Пусть сферическая волна возбуждается точечным источником, Рис. 82 е — мл оо(М) = где Н расстояние между точками М и Мо, равное (рис. 82) Вычислим производную: дВ г — ро сов д /11 1+0 дг Н (г( В силу п. 1 + йео = о Проверим справедливость формулы (15) доо . / 1'1 ь(ео) = + 1кго = о ( — ) . дг (,г) (15') В самом деле, доо д~о дВ део 1 дго 1 находящимся в некоторой точке Мо. Амплитуда сферической волны равна з 3) НЕОГРАНИЧЕННАЯ ОБЛАСТЬ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 539 Попускал существование двух различных решений е1 и пз, получаем,что их разность удовлетворяет однородному уравнению и условиям (и). Пусть Ен сфера радиуса Л, который мы в дальнейшем устремим в бесконечность. Пользуясь основной формулой Грина для функций ю(М) и е ' — гьн ее(М) =, будем иметь в точке Ме, лежащей внутри Е, 4яЛ ' дш дно'~ ( е=~(.,—— дг дг ( Условия (о) для пе(г) и ю(М) дают се й — ю «~ = пе — злю+ о — — ю — зйпе + о = ее о — — ю о — = о Поэтому /1~ ю(Ме)= /о~ —,) с(п-эО при Л-эоо, откуда и следует, в силу произвольности точки Ме, единственность решения нашей задачи.
Условия (а) — +гйп = о часто называют условиями излучения или условиями Зоммерфельда. Следует отметить, что для неограниченных областей, не совпадающих со всем пространством, условия на бесконечности могут иметь форму, отличную от условий Зоммерфельда. Таким образом, .соотношения (а) представляют аналитическую форму условий излучения для неограниченного пространства и не основаны на физическом принципе, .который позволил бы сформулировать эти условия для областей более сложной формы. Условия излучения, получающиеся при введении в волновое уравнение бесконечно малого комплексного поглощения, впервые были ис- 540 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
