УМФ Тихонов (965259), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Это убывание происходит тем сильнее. чем больше коэффициент ~с~ = эг~, характеризующий интенсивность поглощения. Второе решение экспоненциально возрастает на бесконечности и физического смысла для задачи в неограниченной области не имеет (его можно было бы интерпретировать как наличие источника в бесконечности). Случай с = к~ ) 0 соответствует установившимся волновым процессам (см.
~ 1, и. 1). Функция и представляет амплитуду функции и(М,1) = о(М) е'"', удовлетворяющей уравнению колебаний (з 1). Одно из главных решений уравнения (1) е — гяг ио(г) = г соответствует процессу колебаний ,г бл — /и) ио(г,1) = т который имеет характер сферической волны, расходящейся от ис- точника, в точке т = О. Второе решение еыг ио(г) = т соответствует процессу колебаний ~ (~ь~-ы ) ио(г, 1) = г имеющему характер сферической волны, приходящей из бесконечности в точку т = 0 (сходящиеся волны).
Очевидно, что это решение при изучении процессов, возбуждаемых точечным источником в неограниченном пространстве, прямого физического смысла не имеет. Отметим, что функцию и(М) можно рассматривать как амплитуду колебаний типа е'и' или е '"'. Мы брали временной фактор первого типа. Во втором случае расходящаяся волна имеет вид е — г( л~ — ~т1 ио(г,1) = г т.
е. ей соответствует второе решение ,йи ио(г) = 52б УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) ГГЛ. УП Складывая (8) с равенством (7), получаем г ге г / — кл + / ~ + и 1(М) г1тм (П = йммс) (О) т и(Ме) = — / и(М) дггм+ / С(Ме М)1(М)Нтм, (10) дС(Мо, М) дп где — кн С1Ме,М) = + с (11) 4яЛ функция источника, обладающая следующими свойствами: Ц С(М,Ме) обращается в бесконечность при М = Ме как 1Г(4яП). что следует из формулы (11); 2) С(М, Ме) удовлетворяет уравнению ь(и) = О всюду в Т, кроме точки Мс; 3) С(Р, Ме) = О в точках Р, лежащих на границе Е.
Вопрос о существовании функции источника связал с вопросом о сугцествовании функции п, удовлетворяющей уравнению С(е) =О в Т и граничному условию е — кл с= — на Х. Очевидно, что функция С(М, Мэ) однозначно определена для любой области, допускающей единственное решение первой краевой задачи.
В частности, при с = — кз ( О эта функция определена для любой области. В простейших случаях функцию источника можно найти в явной форме, пользуясь методом, аналогичным методу электростатических изображенийП. Так,например, для полупространства з > О функция источника имеет вид е — кд е -кнг С(М,.Ме) = 4яй 4.гйг (12) П Для сферы метод электростатических изображений неприменим при с ф. О. Эта формула справедлива для произвольного решения п1М) уравнения Ьс — кзо = О, регулярного в области Т.
Пользуясь произволом выбора функции п,получаем з 2) ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ТОЧБЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 527 Н = Нагм, = (х — хо)' + (Р— Ро)' -Ь (г — го)', Нг = Нммг = (х — хо)' + (У вЂ” Ро)' + (г + го)', где МГ (хо, до, — го) -- изображение точки Мо(хо, уо, го) относительно плоскости 2 = О. Мы не останавливаемся здесь на вопросе о применимости предыдущих формул для неограниченной области,что,впрочем, без труда может быть установлено в случае с ( О.
Задачи для неограниченного пространства при с ) О связаны с «принципом излучения» и будут рассмотрены в следующем параграфе. Для функции источника С(М, Мо), определенной для произвольной области Т, имеет место принцип взаимности, выражаемый равенством С(М, .Мо) = С(Мо, М). Доказательство этого свойства является буквальным повторением соответствующего доказательства для случая уравнения Лапласа (гл. 1'7', З 4). В случае двух независимых переменных уравнение для функции оо(т) имеет вид 1 71 7т дооз7 2 71 оо 1 71оо — — т — +його=О, или + — — +я~по=О, 7 76 (, Г1т/ 1тг 7.
(т т. е. является уравнением Бесселя нулевого порядка, общее решение которого может быть записано следующим образом (см. Дополнение 11): оо(т) = СГНо~ ~('кт) + С2Н7 ~(17т), Ю 727 где Но (Гст) и Но (кт) - функции Ханкеля нулевого порядка первого и второго рода. Функции Но (ят) и Но (ГГт) при т = О имеют логарифмическую (71 (21 особенность: Но (р) = 1п — +.. 7Г 77 (р = Йт) Но (Р) = 1" +.. 727 27' 1 7Г 77 где точками обозначены слагаемые, остающиеся конечными при р = О. На бесконечности (при р — э оо) поведение функций Ханкеля определяется асимптотическими формулами НГ77( ) 7бг — РО + 12 7ГР Н ~()= — е Це "77+ 12 яр 528 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ.
УП где точками обозначены члены более высокого порядка малости относительно 1/р. Таким образом., уравнение гзгп + йго = О имеет два фундаментальных решения: имеющих лога1оифмическую особенность и соответствующих функциям ем" /г и е ' "(г для пространства. Выбор той или иной фундаментальной функции зависит от вида условий излучения на бесконечности (см. г 3, и. 4). Если временная (г) зависимость берется в виде е' ~, то функция Нэ (1яг) определяет расходящуюся цилиндрическую волну. При временной зависимости е расходящуюся волну определяет функция Не (йг). При с = — гг~ ( О уравнение ь(и) = О принимает вид б со 1 ~1оо г + — — — мое=О Йгг г сЬ и его линейно независимыми решениями являются цилиндрические функции мнимого аргумента 1е(ггг) и Ко(ггг). Первая из этих функций, 1о(ггг), ограничена при г = О и экспоненциально возрастает при т — г со; функция Ке(ггг) имеет в точке т = О логарифмическую особенность 1 Ко(Р) = 1п — -~ Р и тем самым является искомым фундаментальным решением.
На бесконечности она убывает по закону Ко(р) = — е ~+ )~ 2р 'г'(М) = ~ р(Р) д~р, Н т (13) Мы не останавливаемся подробно на формулах Грина и понятии функции источника С в случае двух независимых переменных, так как изложение этого было бы повторением предыдущего. 3. Потенциалы. В гл. Гг' были рассмотрены потенциалы для уравнения Ьи = О. Такого же типа потенциалы могут быть построены и для уравнения Ьи — гг~и = О. Будем называть объемным потенциалом (для уравнения гзи — м~и = О) интеграл 1 2) ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 529 Н= игр = ( — О' 4- (у — ц)'+ ( — 0', астр = д~ дц К, где р(Р) плотность потенциала.
Сформулируем кратко основные свойства объемного потенциала, доказательство которых проводится аналогично тому, как это сделано в гл. 1Ъ'. 1. Вне области Т функция И(М) удовлетворяет уравнению гз1г — всз7 = О 2. Внутри области Т интеграл (13) сходится, сходятся также интегралы, получающиеся при помощи формального дифференцирования И(М) под знаком интеграла: Ге — нн1 р(с,ц,г,) — ~ ~ лсо71сн', и т. д.
дх~ Н т 3. Функция И(к, у, з) дифференцируема, и ее первые производные можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла: др Г д (е ~~) — = / р(~,ц,с') — ~ ~ д~сЩс1С и т. д. д* / '' д ~Н1 т Пифференцируемость функции Ъ'(т, .у, я) доказывается в предположении только ограниченности функции р. Отсюда, в частности, следует диффсренцируемость )г и в точках поверхности Е, ограничивающей область Т, где, как правило, .имеет место разрыв плотности р(М). 4.
Во внутренних точках области Т, в окрестности которых плотность р дифференцируема, вторые производные объемного потенциала г существуют и потенциал г' удовлетворяет уравнению Ь~' — мзр = — 4яр(М). 5. Первые производные объемного потенциала представляются равномерно сходящимися интегралами в предположении равномерной ограниченности р. Поэтому первые производные являются непрерывными функциями во всем пространстве включая точки поверхности Е.
Объемные потенциалы позволяют представить решение краевой задачи для неоднородного уравнения Ьи — хсзи = — у в виде суммы и(М) = 7 (М) + из(М), где И(М) — объемный потенциал с плотностью р = ~/4я, и1(М) решение краевой задачи для оцнородного уравнения схи1 — всзиг — — О. Перейдем к обзору свойств потенциалов простого и двойного слоя. Назовем потенциалом двойного слоя интеграл д Ге нл1 И'(М) = / р(Р) ~ ~ с)ар (Н = Катр), (14) д,~д1 34 А. Н.
Тихонов, А. А. Самарский 530 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (продолжение) (ГЛ. УП И' (Мо) = И'(Мо) + 2ир(Мо), И'»(ЙХо) = И'(Мо) — 2яр(Мо) Здесь И",(Мо) предельное значение функции И'(М) при стремлении М к Мо изнутри области Т, И'»(АХо) -- предельное значение И'(М) при стремлении М к Мо снаружи Т. Потенциал простого слоя, определяемый поверхностным интегралом е — ал г(М) = / Р(Р) гкг. (Хг = пмг) Л (15) обладает следующими свойствами. 1. Вне поверхности Е потенциал простого слоя всюду удовлетворяет однородному уравнению Ь1' — мзИ = О.
2. Интеграл равномерно сходится на Е и определяет функцию г'(М), непрерывную во всем пространстве. 3. Нормальные производные потенциала простого слоя для поверхностей класса Ляпунова удовлетворяют соотношениям (ср. с (48) из гл. Ю, ~ 5) с др '1 ) = (Хо + 2иР(Мо) дг с дИ'1 = По 2хР(Мо) дг где предельные значения для нормальной производной соответственно изнутри и извне Е в точке Мо на поверхности Е (и внешняя нормаль), д à — ми 1 (Хо(МО) / Р(Х ) д ~ ~ »лг (Хг лм»Р)' где Р(Р) поверхностная плотность потенциала И'. Перечислим основные свойства потенциала двойного слоя, отсылая за их доказательством к гл. 1 т', '3 5.
1. Вне поверхности Е потенциал двойного слоя всюду удовлетворяет однородному уравнению ЬИг — аЯИ' = О. 2. Потенциал двойного слоя сходится в точках границы, если Е принадлежит классу поверхностей Ляпунова. З.Функция И' разрывна в точках поверхности Е,и имеют место соотношения з 3) НЕОГРАНИЧЕННАЯ ОБЛАСТЬ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 531 Поверхностные потенциалы позволяют для весьма широкого класса поверхностей (например, поверхностей класса Ляпунова) сводить краевые задачи к интегральным уравнениям. Рассмотрим первую внутреннюю краевую задачу для уравнения йи — эти = О при граничном значении и~п = 1. Предположим, что искомую функцию можно представить в виде потенциала двойного слоя д г,— нд1 и(М) = И'(М) = / д(Р) ~ ~ йггр, (14) д,~л~ который, как было отмечено выше, удовлетворяет внутри Т однородному уравнению йи — лэп = О.
Требуя выполнения граничного условия и~п = у, приходим к следующему интегральному уравнению для определения функции д: д Ге яд 1 2яд(М) + / д(Р) ~ ~ сЬр = у'1М), дир ~ Л которое является линейным интегральным уравнением Фредгольма второго рода. На вопросах существования и единственности решения этого интегрального уравнения мы здесь нс останавливаемся. Для уравнения ьги — хэ и = О, так же как и для уравнения Лапласа, применйм метод конечных разностей. $3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения 1. Уравнение яке+се ш -у в неограниченном пространстве.
Рассмотрим решение неоднородного уравнения в неограниченном пространстве. Для простоты изложения будем считать, что у отлична от нуля внутри некоторой ограниченной области (локальная функция). Характер решения этого уравнения существенно зависит от знака коэффициента с. Остановимся сначала на случае с = — нэ ( О. Решение уравнения э Ьп — эг-с = — 1 можно представить в форме объемных потенциалов е е "л 01(М) = / ~(Р) ЙТР и 02(М) = ~(Р) дгр (Л = ймр). 4хт1 -/ т Таким образом, решение уравнения (1) без дополнительных условий в бесконечности определено неоднозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
