УМФ Тихонов (965259), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если для функции и(х,() и ее производной ди((дх неравенства (А) выполняются также при отрицательных х, то можно принять за кривую АЕ отрезок прямой х = — 1 и, повторяя изложенные выше рассуждения, .убедиться в том, что при предельном переходе интеграл по РА в формуле (9) стремится х нулю. В результате мы приходим к известной нам из гл. 1П, 3 3 формуле Пуассона ) -(-ас ( — ~(з 1 1е 4«~ и(с, О) ((~. 2 чгяаэ /,/~ Рассматривая полубесконечную область и предполагая, что для фунхции источника С(х,(,с, .т) выполнены неравенства (А), с помощью аналогичных рассуждений находим и(х,() = — 11 а р(т) — (1т-(- 1~(э(с)С(х,(,с,О)((с, (14) I з дС дб РЛ 4=ил «л где р((1 = и(хл,.() и ~р(х) = и(х,б).
Как нетрудно убедиться, функция источника для полубесконечной прямой х ) О может быть получена методом отражения и равна (*.— П«(«+((~ С(х,(,.б, т) = 4 Π— ( е «а (( — ( так как она представима в виде (12), удовлетворяет уравнению теплопроводности но переменным х, ( и обращается в нуль при х = О; С(О,(,с,т) = О. Вычислим произвоцную 3 дС х — 4з дь« . 2 чтя(аз (( — тЯ' и, подставив ее значение в (14), получим формулу 1 Г 1 ~ ( -02 («+921 и(х,() = / е 4 ~( — е 4 зз у(~)((С -(- 2 чтх / .(аз( о + 1 4 З( — ( р(т),(т (Гб) 2,~ ) (аз (( ,У'д о 1) Приведенные рассуждении нельзя рассматривать как вывод этой формулы, так как мы основывались на ней при выводе формулы (9).
32* 500 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ, я'1 которая определяет функцию а(х, С), удовлетворяющую уравнению и)=а ихх (0<х<оо, С)0) г и дополнительным условиям и(х20) = )Р(х)2 и(0, с) = д(с) (О < х < оо). 3. Функция источника для отрезка. Решение уравнения теплопроводности на ограниченном отрезке 0 < х < 1 даатся формулой (1Ц, которая после замены дуг РА и ВЯ отрезками прямых и сдвига начала координат в точку А принимает вид С(х,с,б)т) = с с = а / — рс (т) 4т — а 1 — рг(т) 21т -С- / С(х, С,. 6, 0) у)(4) <К) , ) дС г 2 дС дб с=о / дб,, о о о где р1(С) = и(О,С), рг(С) = и(1,1), у)(х) = и(х,О). Функция источника С(х, С, б,т) для отрезка может бытыюстроена методом отражения. Помепгая положительные источники в точках 2л1 + Е и отри- цательные источники в точках 2п1 — Е2 представим функцию источника с помощью ряла а(х, с) = ~~~ (Со(х,с, 2)Н + у) т) — Со(х, с, 2п1 — 6) т))) (16) где 1 а.а,с) .) = 2 2 — ) с г с 2 Ч 2 — а — С вЂ” и (С вЂ” г) .
КП . )са С(х,г,б2т) = — ху е сг сйп — хсйп — у, (17) Докажем эквивалентность обоих продставлений. Формулу (17) можно рассматривать как разложение функции С(Х, С,б, т) В ряд ФурЬЕ ПО СИНуСаМ На ОтрЕЗКЕ (0,1); С(х,г,б,т) = ~ 'Са(хзг,т)з|п — ""6. (18) 22=1 функция иеточника для неограничснной прямой. Сходимость ряда, а также выполнение граничных условий С ~ =о = 0 и С ~х с = 0 устанавливается без труда. В гл. П1, г 2 была получена иная форма представления функции источника: ~ З) ЗЛДЛЧИ ДЛЯ ОВЛЛСтнй С ПОДВИЖНЫМИ ГРЛНИЦЛМИ ЗЩ Вычислим коэффициенты Фурье Сп функции С, определяемой рядом (16)( 2 г' 7ГП С„= — / С(х,2,27т) яп — 67)~ = "-)/ о 2 ч г' яп — Со(х(2,27д+ ьг(т) вгп — чг ггьг— о Введя новые переменные интегрирования С' = 2пг+ Сг и С" = 2п) — С2, получим (2п, ЦГ Со(х,272', )яш — 6 г)6 + 2(Н откуда следует, что 2 г' 7ГП Со — — — / Со(х,ггс,т)яп — с((с = -)/ (-гс 2 (' — О Введем переменную Л= 7,/Р( —,( Тогда г)Л = г.
=( =е — -(.,Гвц -,(Э = ягг 2яп яп, 2(гп = вш — ясов а2 (2 — т) Л -(- сое — х яп а2 (à — т) ЛГ '=) ( яп — )'7.Ь.. Ы вЂ” („( — (*7(* ~ о 277( . " -)=к) ('277 — и Г 502 РАСПРОСТРАНКНИК ТКПЛА В ПРОСТРАНСТВК ~ГЛ. 1<1 2, яп 1 ) лг 2<гп С„= — ягп — х — / е соз аг (1 — т) Л <<Л А/ 2 яп 1 г' лг . 2яп А- — соз — х — / е згп аг гг — т) Л <2Л. ; / Второй интеграл равен нулю, так как под интегралом стоит нечетная относительно начала координат функция. Первый интеграл является частным случаем интеграла 1(а,д) = / е а соя дЛ<1Л, равного По,д) = ~е <ат. 2хп В нашем случае а = 1,,3 = аг (1 — г), тах что г 'г — я — гя — а <à — т) г г 2 — г' аг <г —..) . тгп Са= — е Р зш — х Подставляя найденное выражение для коэффициентов Фурье Са в формулу (18), сразу же получаем второе представление (17) для функции источника С.
Тем самым эквивалентность двух разных представлений (16) и (17) доказана. 8 4. Тепловые потенциалы 1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя. Как мы видели, всякое решение уравнения топлопроводности может быть представлено в виде Гсм. рис. 79) гг д дС '< и(х,г) = / Сои<1с — / Сои<1с+ ~ Сои<)с+а / )1Со — — и ( дт. / [, до д( ( АР АВ В<гг-РА Займемся изучением отдельных слагаемых этой суммы и докажем в порвую очередь, что каждое из них в отдельн<юти удовлетвортнзт уравнению теплопроводности.
Действительно, первое слагаемое является интегралом Пуассона, для которого это уже было доказано. 503 А) ТЕПЛОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ Докажем, что для внутренних точек области РАВЯ уравнению теплопроводности удовлетворяют интегралы с (,— х(бг И' = 2а С(с(т = / з е с" (с 1 Сс(т) с(т. г 1 д('о 1 1 х Хсс(т) гх ™ С дб 2а х(х / (С вЂ” т)зЬ АР о функции И и Ис называются тепловыми потенциалами (простого слоя и двойного слоя соответственно). Производные функций 1'и И'вычисляются при помощи дифференцирования под знаком интеграла,так как подстановка, входящая при дифференцировании по С, равна нулю.
Например, в силу тосхс, что х ~ Хс(С). Таким образом, дифференцирование по параметрам х, С будет относиться к функции Со, которая является решением уравнения теплопроводности. Изучение остальных слагаемых проходит аналогично. Рассмотрим теперь поведение функций 1с, И' на кривой АР (х = Хс (С)). Очевидно, что интеграл 1 непрерывен при переходе точки (т,с) через кривую АР, так как он сходится равномерно (см, гл, 11(, 2 5). Покажем, что И" претерпевает разрыв при переходе через кривую АР, причем И' ~*=х (сН-е = И' ~е=хс(с(+ Д<С) (г=хс(с) — е И )е=х((с) р(с)' Это доказательство будет проведено в предположении дифференцируемости функций Хс(1) и Сс(1).
Рассмотрим сначала Ис при постоянной плотности Сс(С) = рос (-. ( Вг о 1 к Хсс(т) г 2а,гх,) (С т)212 се и вспомогательный интеграл сс(у — х™ г Р,. „~ Х (.),— -1-.Я,'(:-.; 2а,/к / хсгсГ т со являющийся, в силу сделанного выше замечания, непрерывной функцией в точках дуги АР. 504 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Ч1 Разность И' — И вычисляется непосредственно: о -о г И вЂ” хСП г с о( ) -,о( ) 1 — -„-,т~~,— ~ х — Хс(т) 2Хс(т)1 2а чтк (С вЂ” т) сг,Я вЂ” т] со ае 2 ) -а = до — / е- с1сс ,,ск 2 аг (С вЂ” т) х — ХСПОСОСС гъ~ 'Ос-сес где если х >,"Сг(С), если х = ггг(С) = хо, если х ( ~г(С).
При х — с хо х 0 мы получаем [И" ( о+ О, С) — И" (хо, С)] — [Р(х, + О, С) — 1'(хю С)] = 2 /, г =Ссо — / е 4Х=~Ссо. лl о В силу непрерывности )с имеем ст(хо х О, С) ст(хо, С) = О Таким образом, И' (ха ~О,С) = И' (хО С) ~Ссе. Если д(С) не постоянна, то И"(х,г) = Ис~(х,С) — с(с(х,С), где Я С) = / ' ", 4" О ' [р(С) — р(т)]1. 2 чск / [аг (С вЂ” т)~~Ь со В силу сделанных предположений о дифференцируемости функции р(С) этот интеграл имеет такую же особенность при т = С, как и И, сходится равномерно и звляотсв непрерывной функцией на кривой АР. Таким образом, предел Ит(х, С) при х = хо х 0 равен И'(хо хО С) = И" (то,С) х р, что и требовалось доказать. ТЕПЛОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 505 дИ Нетрудно убедиться, что производная — (х, С)., подобно И'(х,С), разде рывна при х = хо.
Эта производная равна ссз 4 г Сс — г о(т) с1г дх 2ачсп 2 / (С т)зсз о и равна — И'(х, С) с плотностью 2 о(с) Отсюда следует, что др др о(С) — (хе Х О;С) = — (хО,С) Х дх ' дх ' 2 где интеграл с И -к С.бг др( ) 1 1 ) хо Хг(т) 4 тСсс — г ( )й дх "'С 2,С 2,( (С )з1з ' о равен полусумме производных сг в точке хо справа и слева: 1 Гдр др — ~ — (хо -~ О,с)+ — (хо - О, с)~ . 2 (дх дх Отметим, что функция И(х, С) в самой точко:ео не имеет производной.
На етом мы заканчиваем исследование потенциалов вдоль АР. Свойства потенциалов вдоль кривой ВС-,) совершенно аналогичны. 2. Решение краевых задач. Тепловые потенциалы являются удобным аналитическим аппаратом для решения краевых задач. Рассмотрим сначала первую краевусо задачу для полуограниченной области х > Х(С).
Найти ресиение уравнения ис=а и я лри х>Хг(С), С>Со 2 усСовлетворяютее условиям и(х,Со) = уг(х), и(Хг(С)СС) = р(С), х > Хг(СО)' с > со. и(х,С) = — И'(х,С) = / (х,С,Хг(т),т) р(г)с1т = (' дОо = 2вз ' = / дб со Без ограничения общности можно считать, что ср(х) = О, так как, взяв разность между и(х, С) и произвольным решением уравнения теплопроводности о(х., С), удовлетворяющим тому же начальному условию, получим новую функцию, для которой уг(х) = О, а граничное значение по-прежнему будет известно.
Предполагая, что приведение к нулевому начальному условию уже сделано, представим решение в видо 50б РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Ч1 с „г 1 /' х (1) (:,хзЮ3 / з е э 0 1 р(т)6т. 4 ъ'~ [аз (М вЂ” т)) й со () 1 ае — о)г '",'.'„"';0 — е~, з~ [.з (1,))'А ' Это соотношение является интегральным уравнением типа Вольтерра второго рода для накождения функции Л(т), определяющей искомое решенно и(х,1). Существование решения всегда имеет место в силу общей теории, если кривая х = Хг(1) определяется дифференцируемой функцией.
Это уравнение особенно просто, если граница нашей области неподвижна: Х1(1) = хо. В этом случае интеграл обрагцается в нуль и р(1) = 2а р(1), так что искомое решение имеет вид 3 1 -'о1 2а н / (1 — т)Ч о С этой формулой мы уже встречались дважды (см. гл. П1, 3 3 и гл. т'1, 3 3, п. 2), однако только здесь дано доказательство того, что эта функция удовлетворяет уравнению и дополнительным условиям. Вторая и третья краевые задачи решаются аналогично при помощи потенциала. Рассмотрим краевую задачу для ограниченной области, беря дополнительные условия в виде и(х, 0) = зз(х), и[Хз(1);1) = рз(1), Х1(0) < х < Хз(0), а[Хг(1); 1) = рз(1) (1 > О).
Считая, что начальное значение приведено к нулю: х(х) = О, представим решение в видо 1 и(х,1) = — (И'з -1- Итз) = 2аз с с ОСо 1 ОСо (Х,С,Х,(т),т) р,(т) )т-Е . (Х.НХЗ(т),т) дэ(т) Йт. Эта функция удовлетворяет уравнению и нулевому начальному условию при любом выборе функций рз(1) и рв(1). Она разрывна при х = Х1(1) их = Хз(Ф), и ее предельные значения при х = Х1(1) + 0 и х = Хз(1) — 0 должны быть Эта функция удовлетворяет уравнению при х > Х1(1), ограничена в беско- нечности и имеет нулевое начальное значение при любом выборе Л(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
