УМФ Тихонов (965259), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Аналогичные результаты мы получим при повторном дифференцировании по х и при дифференцировании по тд то же относится и к дифференцированию по у и г. Таким образом, функция С удовлетворяет всем условиям леммы при 1 > О. Следовательно, функция и при 1 > 0 удовлетворяет уравнению теплопроводности. Ограниченность функции и, определяемой формулой (10'), которую мы перепишем в виде и(М,1) ЯС(М М'',1) у(М'') йтм, М = М(х,у,з), М' = М'(с,п,Д), устанавливается непосредственно, если принять во внимание равен- ство (8): ~и) < А Я Сйт = А.
(12) Перейдем к доказательству непрерывности и(х, у, з, г) при 1 = О. Рассмотрим точку Ме(хе, уе,зе), являющуюся точкой непрерывности функции уз, и докажем, что для любого е > 0 существует такое б(е) > О, что ~и(М,1) — ~р(Ме)~ < е при (ММе( < б(е) и 1 < б(е). (13) и(М,1) = ~~~ С(М, М',1) ~р(М') йтзн + ~0 С(М, М',1) ~р(М') йтм' т, Ф(МО) 111 С(М М; ) Ф(МО) йтм + т (Мо) 111 С(М М 1) йтм тз т, Построим вспомогательную область Т„содержащую точку Ме., ее размеры будут определены ниже; остальную часть пространства обозначим через Тз.
Принимая во внимание равенства з 2) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ 487 и вспомогательная задача имеет нетривиальное решение ип(ЛХ,1) = Споп(М) е (5) Общее решение исходной задачи может быть представлено в виде и(ЛХ,1) = ~Спе " и'оп(М). (6) п,=1 Удовлетворяя начальному условию и(ЛХ,О) = 1р(М) = ~ Споп(М), (7) п=1 находим козффициенты 1о(М ) о (М ) "тм' т Сп = 1! 4Р где 171 1 1= [1.'пкзп. -Р-пу--. Функция (6) и представляет решение задачи. Уравнение из — в 1Ли = Х(ЛХ,1) ( Х = — / ср,/ (8) при однородных граничном и начальном условиях может быть также решено методом разделения переменных.
Полагая, как обычно, и(М,1) = ~ Тп(1) оп(М) п=1 и разлагая функцию Х(М,1) по собственным функциям оп(М): 1 Х(м 1) =~Х (1) .(м) Х (1) =, ~ Х(м',1) (м')11 мч п,=1 ~!о.!Р / т (10) Пусть Л1, Лз, ..., Лп, ... собственные значения, а оз, оз, ... ..., оп,, ., — собственные функции задачи (3). Функции (оп) образуют ортогональную систему.
Соответствующие функции Т„(1) имеют вид Тп(1) = Спе 488 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ СГЛ. Лс1 получаем для определения Т„Я уравнение Т„'+ азЛ„Т„= 1"„11) (11) с начальным условием Т„(О) = О, если и(М,О) = О, решение которого имеет вид с. Т„1с) = / е ' с 'снап(т)с1т. о (12) Отсюда получаем с о т Выражение в фигурных скобках, очевидно, соответствует функции влияния мгновенного источника мощности Я = ср., помещенного в точ- ку М' в момент т: т=К ',.'„' Решение первой краевой задачи и для уравнения теплопроводности с неоднородными граничными условиями й ~п = д легко приводится к решению и неоднородного уравнения с однородными граничными условиями и ~п = О, если положить и = и+Ф, где Ф --. произвольная (достаточно гладкая) функция, .принимающая значения сс на Е (см.
гл. П1, ~ 2). Весьма часто встречающийся случай постоянных граничных значений, ссо = сопз1, приводится к задаче с однородными граничными условиями, если ввести функцию (Ф = соссзо = ссо), и = и+1ло и(М, 1) - Сс ис (М) е (16) представляющую отклонение от стационарного решения. Таким образом, основная трудность при решении задач о распространении тепла в ограниченной области состоит в нахождении собственных функций и собственных значений для данной области. Форма решения (6), полученная методом разделения переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии процесса при больших а В самом деле, собственные значения Л, для любой области быстро возрастают с номером и.
Поэтому при 1 ) О ряд быстро сходится и, начиная с некоторого момента., первый отличный от нуля член преобладает над суммой остальных членов: з 2) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ 489 Это соответствует тому физическому факту, что независимо от начального распределения, начиная с некоторого момента, в теле устанавливается «регулярный» температурный режим, при котором «профиль» температуры не меняется во времени и амплитуда убывает по экспоненте с возрастанием времени. Этот факт положен в основу нсстационарных методов определения коэффициента температуропроводности.
В самом деле, измеряя температуру тела в произвольной точке Мо, находим, что 1п 1и(Мо,1)! — — и Л,1 -1- 1и (С~из (М)(. (17) дзи 1ди 1 ди 1 ди дтг + т дт тг д~,г пз д1 (18) начальному условию и(т, ~р, 0) = Ф(т,ф (19) и граничному условию и(то,~р,1) = О. (20) Как мы видели, решение задачи такого типа может быть представлено в виде и = ~ Спе ~ ~'~ и„1М), (21) где суммирование распространяется на все собственные функции за- дачи: д'и 1 ди 1 д'о , + — — + — +Ли — О, он'-О. дтк д. Р ду (22) и1то.,у) = О.
График этой функции изображается, начиная с некоторого момента времени, прямой линией с угловым коэффициентом — азЛы Зная величину Лы зависящую от формы области, можно найти коэффициент температуропроводности. 2. Остыванне круглого цилиндра. Рассмотрим задачу об остывании бесконечно длинного цилиндра радиуса то, имеющего некоторую начальную температуру, если на его поверхности поддерживается температура, равная нулин Предположим, что начальная температура нс зависит от я 1ось я направлена вдоль оси цилиндра).
Тогда, очевидно, в дальнейшем температура также не зависит от г и меняется только в поперечном сечении Я цилиндра. Выбирая в этом сечении полярную систему координат с полюсом, .находящимся в центре круга Я, мы приходим к задаче об определении функции и(т, ~р, 1), удовлетворяющей уравнению Эта задача на собственные значения была исследована нами при изу- чении колебаний круглой мембраны (см. гл. Лг, я 3). Каждому собствен- ному значению (23) соответствуют две собственные функции л 1и) 0„=,7„т соя тор то т 1и) и б„,„т,У„~ "' и) ялплллр, (24) 1'о квадраты нормы которых равны ло„л = $$6 л = ' (л,' (и?",~)), = ( ' л' ил) где ди, пмй корень уравнения (и1 .т.(д) = 0. Пользуясь выражениями для и и Л, получаем (26) ,(еЛЮз)о ии ии и(т,лР,л) =~~1 ~~л (Си созплР+ С,„лзлптллР).7и ~ т)е л / и=я 'т=1 то (27) где коэффициенты Си, и С„т определяются начальной функцией ио Зи ли'л / Ф(т,~о) 7и т сояплртлллрллт то о о ;"' - ~" (д")Г / Ф(т, ~р),У„( Р™ т) ялпплрл лллрлЛ 1'о о о (28) Яи '(1„' (11~„"~)~ 11, п~ 0; '(2, и = О.
и Если начальная температура Ф зависит только от т, то двойной ряд (27) заменяется однократным рядом лол ОО и(т,$) = ~ Ст7о1 т~ е 1 то т=1 (29) 490 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ. Лл1 з 2) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ 491 где яо 7 тот 2 / Ф(г),7о ~ '" г) г т7г ~го о Ст = '('( "')]' (7т = — 7о), (30) а р„, тв-й корень уравнения,7о(р) = О. тот Остановимся подробнее на задаче об остывании равномерно нагретого цилиндра при нулевой темературе на поверхности. Если начальная температура и(т,О) = Ф = ио, то о (30') тот ( ~от) ' го '(,7т (7тйт )1 так как о,7о(а) = (а,7т(а)]'. Таким образом, 1е ио (от 7 тот 1 ттт=1 рт 71 т рм ) мы получаем — — . (31) 7т — 2,40, 7т ~дт ) — 0,.52, рз о,52,,7т (7т, ) = 0,34.
Ряд (31) сходится быстро, и при больших 7 можно ограничиться пер- вым членом этого ряда.. В частности, на оси цилиндра азоз 3. Определение критических размеров. Процесс диффузии неустойчивого газа, скорость распада которого пропорциональна концентрации,приводит к уравнению ит — — а Ьи+ Ди (В ( 0). (33) В таблицах цилиндрических функций (см, с, 766, табл. 3) даются численные значения как для корней р, так и для,7т (7т,„) . то~ / <0)т Например, 492 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ (ГЛ. Ч1 Большой интерес представляют процессы диффузии при наличии цепных реакций. Цепные реакции характеризуются тем, что частицы диффундирующего вещества, вступая в реакцию с окружающей средой, «размножаются». Так, например, при столкновении нейтронов с «активными» ядрами урана происходит реакция деления ядер, сопровождаюгцаяся появлением новых нейтронов, число которых больше единицы. Эти нейтроны в свою очередь вступают в реакцию с другими активными ядрами, вызывая их деление с выделением новых нейтронов, и т.
д. Таким образом происходит процесс размножения нейтронов, носящий характер цепной реакции. Рассматривая описанный процесс в «диффузионном приближении», мы приходим к слцдующему уравнению: и« = а Ьи + ()и (,3 > 0), (33') и~ — — а Ли+Да внутри Т, ус1овлстворяюи1сс начальному условию и(М,О) = во(М) (34) и граничному условию и(в =О. (35) С помощью подстановки и(М,1) = й(М,1) сщ (36) уравнение (33) переходит в уравнение (1); начальные и граничные условия при этом остаются неизменными.
Таким образом, искомая функция и имеет вид (М,с) ='~ Сноба-' "»".(М), (37) где Св определяются начальной функцией по формуле (10). В случае Д ( 0 (лиффузия с распадом) показатели ряда (37) меньше соответствующих показателей ряда (6). Это означает, что при наличии распада убывание концентрации происходит быстрее по сравнению со случаем чистой диффузии (11 = 0). В случае Д > 0 (диффузия с размножением), если хотя бы один из показателей Д вЂ” азЛ > О, т. е.
Д > азЛО то с течением времени будет происходить, вообще говоря (Сз ~ 0), нарастание концентрации по экспоненциальному закону (цепная реакция). Величина Д является характеристикой вещества (коэффициент так как цепная реакция эквивалентна наличию источников диффундирующего вещества (нейтронов), пропорциональных концентрации (плотности нейтронов). Рассмотрим следующую задачу. Найти решение уравнения (ЗЗ) ~ 3) ЗЛДЛЧИ ДЛЯ ОВЛЛСтвй С ПОДВИЖНЫМИ ГРЛНИЦЛМИ 493 Критическая толщина слоя 1„ю начиная с которой будет происходить процесс лавинного нарастания концентрации и, определяется из условия (38) 2. Бесконечный цилиндр.
Считая задачу плоской, видим, что наименьшее значение Л соответствует собственной функции, обладакэщей радиальной симметрией, и равно (о) '1 з Л, ~ = ' (р, ~ = 2,4048). ~") Отсюда для критического диаметра получаем формулу 2р и 4,80 а. зЯ~ чЯ (39) 3. Сфера. Наименьшее значение Л соответствует собственной функции, обладающей сферической симметрией, и равно л,=( — ), откуда для критического диаметра В р получаем формулу 2ка 6,28 о Я (40) 3 3. Краевые задачи для областей с подвижными границами 1. Формула Грина для уравнения теплопроводности и функция источника. для уравнения теплопроводности можно ставить краевые задачи для областей с границами, перемещающимися со временем.
Для простоты будем рассматривать эту задачу для уравнения с одной геометрической переменной Е(и) = а игл — и~ = О, з размножения), а Лз существенно зависит от формы и размеров области. Будем говорить, что некоторая область Т„„имеет при заданном Д критические размеры, если Лз —— Яа . Определим критические размеры для бесконечного слоя, цилиндра и сферы. 1. Бссконсчный слой 0 < я < 1. Считая задачу одномерной, имеем (см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
