УМФ Тихонов (965259), страница 69
Текст из файла (страница 69)
дх ду дз дт„, дсг„дтк, д +д + дс+У дт., дтз ~ дсг, где р объемная плотность в точке (и,у,з), Х, 'с", т., составляющие внешних объемных сил. Связь напряжений, возникающих при деформации, с ее характеристиками дается законом Гука, который записывается в следующем виде: ст =2С ес сгэ — — 2С е„ сг, =2С е, (2) т,, = С7эг, т. = С7- При этом величины дс Ея г= —, ду' д д. 7эг — д + д и дев дР д пг Р дгу ди ея =— дт ди дп 7як = — + —, ду дт — 2)' — 2) ' — 2)' д. дя дю ди — 7гя = — +— дт дг 1. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 463 образуют симметрический тензор деформаций дзи ( т д0) д(з т — 2 дл дси ( ° д01 дзю ( гп д0) , =а~л + — ~+х дП 1 т — 2дг) (4) Часто вводят вместо постоянных а и т так называемые постоянные Лама Л и р, связанные с ними соотношениями 2 а, л а.
Это позволяет записать предыдущую систему уравнений в виде одного векторного уравнения д и р = (Л+ 2р) Егас1г(1нц — ргосгогц+ Е, (5) дП где ц -- вектор смещения с составляющими и, и и ю, Е .—. вектор объемных сил с составляющими Х, У, Я. Уравнение (5) обычно называют уравнением Ламэ. Покажем, что уравнения (5) могут быть сведены к волновым уравнениям для соответствующим образом выбранных функцийС. И Соболев С.
Л. Некоторые вопросы теории распространения колебаний. Мб Л., 1930; Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Мч Л., 1937. Гл. ХП. В формулах (2) мы пользуемся следующими обозначениями: а модуль сдвига, т -- коэффициент, характеризующий сжатие тела в поперечном направлении при его удлинении в продольном нади ди дю правлении, 0 = с(1н ц = — ч- — + —.
д др д.' К уравнениям (1) и (2) следует еще присоединить граничные условия (на границе заданы, например, смешения и, ьб ю либо поверхностные силы и т. д.), на которых мы здесь не будем останавливаться. Уравнения (Ц и (2) образуют полную систему дифференциальных уравнений в частных производных для напряжений и деформаций. Подставляя выражения для напряжений из (2) в уравнения движения (1) и учитывая соотношения (3), получаем систему уравнений для смещений: 464 ПРИЛОгКЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч Произвольный вектор Е всегда можно представить в виде суммы Е = цгада+ гоГЕ, где 11 скалярный, а Ь векторный потенциал.
Положим и = ягаг1Ф+ гогА, где дгф дгА р = (Л+ 2р) ЬФ+ 1г, р = РЬА+ Ь. д1г д1г дгф дгА Р г 1Л+2Р)ЬФ, Р г =РЬА. дсз дгг Уравнение колебаний для векторного потенциала. А в некоторых случаях (наприме1д в декартовой системе координат) распадается на три скалярных уравнения.
Однако вопрос о приведении уравнений упругости к отдельным скалярным уравнениям колебаний не может быть рассмотрен до конца без привлечения граничных условий, которые могут связывать разные компоненты, а в этом случае возникают значительные трудности для полного расщепления уравнений. 11. 'Уравнении электромагнитного поля 1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия.
Электромагнитное поле характеризуется векторами Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей и векторами В и В электрической и магнитной индукции. Полная система уравнений Максвелла, связывающих эти величины, имеет вип 1 дВ 4я. 4я. „ го1Н = — —, + — 1+ —,)™, с дг с с 1 дВ гогЕ = — —— с д1 (2) йнВ=О, йнВ =4хр, (4) Нетрудно убедиться прямой подстановкой, что определенный таким образом вектор п действительно удовлетворяет уравнениям упругости (4) .
Если объемные силы отсутствуют, то для потенциалов Ф и А мы получаем однородные уравнения колебаний П. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 465 (5) Н =еЕ, (б) 1=о.Е, (7) где г - диэлектрическая постоянная, д - магнитная проницаемость, ст проводимость среды. В дальнейшем мы будем предполагать среду однородной и изотропной. В этом случае е = сопз$, д = сопев, и = сонэк Мы часто будем рассматривать электромагнитные процессы в пусто- те, где е = р = 1, и = О, при условии отсутствия зарядов и токов. В этом случае уравнения Максвелла упрощаются; 1 дЕ го1Н= — —, йгН=О, с д1 1 дН гог Е = — — —, йч Е = О.
с де Уравнения (1) и (4) совместны, так как между р и 1 имеется соотно- шение — +йв1=0, др д1 выражающее закон сохранения электрического заряда. Законы электромагнитного поля, выраженные в дифференциальной форме уравнениями (1) (4), могут быть выражены в интегральной форме: ~Н,си = — 01„дщ ~Ев~Ь = — — — ~~йос1п = — — —, (2') где 1 д11 1=дом+3 = — — +Д (8) 4я дс 1 дР -- полный ток Дс = — — -- ток смещения). Интегрирование про4я д1 изводится по контуру С и по поверхности Х, опирающейся на этот контур; Ф = 0 В„сЬ .
поток индукции, пронизывающий контур С. и 30 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский где 1 объемная плотность токов проводимости, 1Ц'~ плотность токов, происходящих от действия сторонних ЭПС, р —. объемная плотность зарядов, с скорость света в пустоте. В дальнейшем мы часто будем считать.1ОО = О. К этим уравнениям следует присоединить так называемые материальные уравнения поля П. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 467 Если, кроме того, среда не обладает проводимостью, т. е.
а = О, то мы получаем две независимые системы уравнений для электрического и магнитного полей: го1Е = О, (уравнения злсктростатики), йгсК = 4хр го1 Н= — 3~'1., 4я ., с ' (уравнения магнитостатики). г11н рН=О ед дзН 4хггр дН бг 661чн — оН= — —, аз д12 сз д1 или 1 дзН 4ггггр дН г' з сз'1 + ~а = — ) аз дгз сз дг. ~, ед) (13) так как г)1ч Н = О. Аналогично выводится уравнение для Е 1 дзК 4хагг. дЕ + (14) аз д1з сз д1 В частности, компоненты К,, Ею Кз и Н.„Ню Ня векторов К и Н, удовлетворяющих уравнениям (13) и (14), будут удовлетворять аналогичному уравнению 1 д и 4яар ди гзи = — + (15) аз д1з сз д1 ' где и одна из перечисленных компонент. Характер процесса определяется свойствами среды.
Если среда непроводящая (а = О), то мы получаем обычное уравнение колебаний 1 дзи Ьи =— (16) 30* Уравнения электростатики были рассмотрены нами в гл. 1У и в приложениях к гл. 1У, В случае однородной среды нетрудно получить уравнения для ка- ждого из векторов К и Н в отдельности. Предположим, что р = О, 4ггд = О. Применяя к уравнению (1) операцию гог, имеем е д 4я го1гогН = — — го1Е+ — ггго1Е, с д1 с откуда в силу уравнения (2) и соотношения гоФгоФН = бтаг1йнН— — ЬН получим 468 ПРИЛОУКЕНИЯ К ГЛАВЕ Ч т. е. электромагнитные процессы распространяются в непроводящей среде без затухания со скоростью а = с/Чед, и в частности в пустоте со скоростью света с.
Если среда обладает большой проводимостью и можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости, то будем иметь уравнение параболического типа 4яад ди Ьи = сз д1 (17) В общем случае, когда токи проводимости и токи смещения одного порядка, уравнение (15) является уравнением гиперболического типа, описывающим процессы распространения с затуханием, вызываемым диссипацией энергии вследствие проводимости. Лля установившихся процессов, например в задачах дифракции и = и(к,у,я) е' мы приходим к уравнению эллиптического типа Аи + (ьз;уз) и — 6 (18) где г 4кпрез Д сз 61гН= О следует, что вектор Н солсноидален и потому может быть представлен с помощью другого вектора, А, .в виде (20) Н = го1А. Подставляя это выражение в уравнение (2) 1 дН го1Е = — —— с д1 получаем 1 Е+ — — =О, Статические поля, как было уже отмечено в гл.
1'Ч, описываются уравнением Лапласа. 2. Потенциалы электромагнитного поля. Лля определения электромагнитного поля мы должны найти шесть величин, являющихся составляющими векторов Е и Н. В ряде случаев, однако, можно свести эту задачу к отысканию четырех, а иногда и меньшего числа величин. С этой целью вводят потенциалы поля векторный А, скалярный Зз --. следующим образом. Рассмотрим уравнение Максвелла в однородной среде, например в пустоте. Из уравнения (3) П. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 469 1 дА Е + — = — ягас1 ср, с д1 (21) откуда следует 1 дА Е = — кгас1ьз — — —.
с д1 Введенные таким образом векторный потенциал А и скалярный потенциал ср определены не однозначно. В самом деле, из формул (20) и (21) видно, что мы получим одни и те же поля, если заменим А и ср потенциалами 1 дЕ А' = А + ягас1 г', ср' = ср — — —, сд1' где Е произвольная функция. Чтобы устранить эту неопределенность, налагают на потенциалы А и д дополнительное условие 1др с11гА+ — — = О, с д1 (22) называемое часто условием Лоренца. Покажем, что при выпол- нении этого условия потенциалы А и ср удовлетворяют уравнениям дз„ Ьср — — = — 4яр, сз дгз (23) 1 дзА 4я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
