УМФ Тихонов (965259), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Следовательно, эта функция будет удовлетворять уравнению 1 и„+ икв — — ии = 0 2 434 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. У Аналогично, если начальные функции р и ф зависят только от одного переменного х, то формула (19) позволяет найти функцию и(х,1), являющуюся решением уравнения 1 и«, — —,ип — — 0 а' с начальными данными и(х,0) = у(х), из(т,0) = ф(х). Для етого введем сферическую систему координат, направив полярную ось по оси х. Элемент поверхности ИЯ выразится следующим образом: с~Я = гз зшддОс6р = — гс6рд5, так как 5 = х+гсозд, 05 = — тгйпдЮ. Интегрируя в формуле Пуассона (15) по углу ~р, получим х .~- а х-~-аС 1 д /' ь,п= — — 1 «е«.~ 1 юо«~~ 2а д1,/ х — ы « — ы Выполняя в первом интеграле дифференцирование по 1, приходим к известной из гл.
П, ~ 2 формуле Даламбера «ты и(х, 1) — + ф(5) с1С. (25) 2 2а,/ Уравнения колебаний с тремя, двумя и одним пространственным аргументом часто называют соответственно уравнениями сферических, цилиндрических и плоских волн. Эта терминология вполне соответствует примененному выше методу, называемому методом спуска, поскольку при решении уравнения колебаний на плоскости и на прямой мы исходили из пространственной задачи, как бы «спускаясь» к меньшему числу переменных.
Полученные решения для двух и одного переменного носят характер цилиндрических и плоских волн. Метод спуска применим не только к уравнению колебаний, но и к другим типам уравнений и позволяет в ряде случаев из формулы, определяющей решение уравнения для многих переменных, извлечь решение задачи для уравнения с меньшим числом независимых переменных. 5. Физическая интерпретация. Формулы (15) и (25) дают возможность выяснить физическую картину распространения сферических и цилиндрических волн. Начнем со случая трех переменных, для которого физический характер процесса распространения существенно отличается, как мы увидим из дальнейшего, от случая двух пространственных переменных. ЗАЛАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 435 Ограничимся изучением распространения локального возмущения, когда начальное состояние (функции р > О и ф > О) отлично от нуля только в некоторой ограниченной области То.
Рассмотрим сначала изменение состояния и(Мо, 4) в точке Мо, лежащей вне области То (рис. 73). Состояние и в точке Мо в момент времени 1 определяется в силу (15) начальным состоянием в точках., лежащих на сфере В„радиуса а1 с центром ого в Мо Функция и(Мо,1) отлична от нуля только в том случае, если сфера Я„ мо пересекает область начальных значений го То. Пусть д и Й . расстояния от точки Мо до ближайшей и наиболее удаленной точек области То (рис. 73). Очевидно, если 4 достаточно мало (1 < Н = 4 мо 34о = фа), то сфера 5';,о не пересекается с областью То, поворхностныо интегралы Рис. 73 в формуле (15) равны нулю: до точки Мо возмущение еще не дошло. начиная с момента Н = фа до момента 1з = Р)а сфера В„,о (~1 < г < ого < 1з) будет пересекать область То, поверхностные интегралы в формуле (15), вообще говоря, отличны от нуля: точка Мо находится в возбужденном состоянии. При дальнейшем увеличении г сфера В„будет содержать мо область То внутри себя, поверхностные интегралы равны нулю: возмущение прошло точку Мо.
Таким образом, при распространении локального возмущения в трехмерном пространстве явление последействия отсутствует. Рассмотрим теперь мгновенную пространственную картину возмущения и(М,1о) в некоторый момент 1о. Точки М, находящиеся в возбужден- Рис. 74 ном состоянии, характеризуются тем, что сферы Я', пересекают область начальных возмущений То. Иными м' ыо словами, зто означает, что геометрическое место точек И', в которых возмущение отлично от нуля, состоит из точек М, находящихся на сферах о~ радиуса а4о с центрами в точках Р области То. Огибающие семейства сфер о~ будут границами области И'.
Внешняя огибающая называется п е р е д н и м фронтом., внутренняя з ад н и м фронтом распространяющейся волны. На рис. 74 изображены передний и задний фронты волны (1 и 2) для того случая, когда область То является сферой радиуса Но. Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке Мо пространства действие, ло- 436 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. У 1 Ьи = — им, аг удовлетворяющее начальным условиям и(т, у, г, 0) =~р(т, у, г), (г > 0) иь(и, у, г, 0) ='4(и, у, г) и граничному условию = О.
ди -=о =0 или Решение этой задачи дается формулой (15), если начальные условия продолжить на все пространство нечетно по г (при и~ — о = 0): кализованное во времени; при этом имеет место распространение волны с резко очерченными передним и задним фронтами (принцип Гюйгенса). Перейдем к случаю двух переменных.
Пусть начальное возмущение задано в области Яо на плоскости (л, у). Рассмотрим изменение состояния и(Мо,1) в точке Мо, лежащей вне Яо. Состояние и(Мо, 1) в точке Мо в момент 1 определяется согласно (25) начальными значениями в точках Р, принадлежащих кругу 1,, радиуса а1о с центром в Мо. мо Для моментов времени 1 ( 11 = фа (д расстояние от Мо до ближайшей точки области Яо) функция и(Мо, 1) = 0: до точки Мо возмущение еще нс дошло.
Если 1 > 1ы то и(Мо, 1) ф О. Это значит, что, начиная с момента 1 = 1ы в точке Мо возникает возмущение, которое сначала, вообще говоря, возрастает. а затем, начиная с некоторого момента, постепенно убывает до нуля (при 1-+ оо). В этом явлении послсдействия и заключается отличие плоского случая от пространственного. Влиянис начальных возмущений, локализованных на плоскости, не локализовано во времени и характеризуется длительно продолжающимся последействием.
Принцип Гюйгенса не имеет места. Мгновенная картина возмущений на плоскости имеет резко очерченный передний фронт, но не имеет заднего фронта. Задачу для двух измерений можно рассматривать как пространственную задачу, когда начальные возмущения заданы в бесконечном цилиндре и не зависят от третьей координаты. Пользуясь этой схемой, легко себе представить процесс последействия. 6.
Метод отражения. Задача с начальными условиями для уравнения колебаний в случае областей, ограниченных плоскостями, может быть решена методом отражений. Рассмотрим задачу для полупространства г > О. Найти реюение уравнения колебаний 437 з 2) ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА 1 и(Р, С) = и(х, у, О, 1) = 4ка ~ 0ж.п,о, 0Фыл,о зР зР =О так как поверхностные интегралы по сферам с центрами в точках плоскости я = О равны нулю при нечетных функциях ~р и ул Аналогично может быть решена задача для плоского слоя О < я < 1 при граничных условиях первого и второго рода и=О при я=О и или ди — =О при =О и =1 д. и соответствующих начальных условиях. Формула (15) сразу же дает решение задачи, если начальные условия продолжить нечетно (или четно) относительно плоскостей з = О и я = 1.
Определяемые таким образом начальные функции у и ф будут периодическими по переменному я с периодом 21 (ср. гл. П, .2 2, и. 7). Если в слое О < я < 1 начальные функции Ээ и ф являются локальными, отличными от нуля в области То, то продолженные функции будут отличны от нуля в ряде областей Т„, получающихся из То при помощи зеркальных изображений. Функция и(М,1) для всякого М и 1 представляется как сумма конечного числа слагаемых, определяемых возмущениями в Т„(ср. с гл. П, 2 2, и. 7). Физический смысл этого заключается в том, что за конечный промежуток времени происходит конечное число отражений от стенок з = О и я = 1.
Аналогично может быть решена задача для параллолепипеда. $2. Интегральная формула 1. Вывод интегральной формулы. При решении уравнения колебаний струны 1 аз методом распространяющихся волн мы широко пользовались понятием х ар а к т е р и с т и ч е с к о г о у г л а. Переходя к решению уравнения колебаний на плоскости или в пространстве 1 сги — — ин — — — 1., (1) аз или чстно (при ди~дз ~ =о = О): оэ(х, у, я) = оэ(х, у, — я); р(х, рв и) = Ф(х, р~ я).
Убедимся, что при нечетном по переменной я продолжении функций оэ и ф граничное условие и~,-о = О выполняется автоматически. В самом деле, 438 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. Ч рассмотрим поверхность 1 — гмма = ~1 — го~ называемую характеристическим конусом для точки Мв и момента 1в. Совокупность точек «фазового» пространства (М, г), в ко- Случай а = 2 Рис.
75 торые приходит сигнал, распространяющийся со скоростью а и вышедший из точки Ме в момент 1е, определяется уравнением 1 — гмм, = г — го (г > го) а и является верхней полостью характеристического конуса точки Ме. Аналогично сигнал, вышедший из точки М в момент 1, приходит в точку Мо в момент 1о, если 1 — гмм„= го — г (г < го). и Геометрическое место таких точек (М,а) образует нижнюю полость характеристического конуса (рис.
75). Для определения в точке (Ме,1е) функции и(М,1), представляющей решение уравнения (1), введем вместо времени 1 локальное время 1* точки Ме, полагая и оставляя при этом неизменными геометрические координаты. Пользуясь сферической системой координат (г, д, Зэ), связанной с точкой Ме, мы приходим к новой системе переменных гз г* = г, 0* = е, д" = ~р, 1* = 1 — (1е — — ) и 439 ИНТКГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА Установим уравнение, которому удовлетворяет функция тз сл(т,д,ср, с) = и (т',0',ср*,1*+ ве — — ) = П(т',0', Зз*,л*).
а Оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид дзи 2 ди 1 д ( дслз) 1 дзи лзи = + — — + — зш0 — + дтз т дт те тйп0 д0 ' д0 с тз з1пз0 дсрз Выразим производные функции и через производные функции П: 1 сл„= !уг* + — Ьс*., а 2 1 и „„= К.*,* + — слс*с* + — ос*с' ~ и * аз Уравнение (1) переходит в уравнение 2 д ЛП = — — (ттс.) — Р Р,0., р*., 1*), ас* дс'" * (2) где Р'(т',0",ср",1') = ~(т,0,Зз,1). ПУсть точка Ме(те, ре, Яе) пРинадлежит некотоРомУ телУ Т, огРаниченному поверхностью д. Рассматривая (2) как неоднородное уравнение Лапласа, в котором 1* играет роль параметра, воспользуемся основной формулой Грина (см.
гл, 1Ъ'). Применим ее к области Т, полагая при этом 1' = ОП; Точка Ме является особой точкой сферической системы координат. Поэтому объемные интегралы естественно рассматривать как пределы при е — > 0 соответствуюгцих интегралов, взятых по объему Т вЂ” Т„где Ц В силу принятого в гл. 1Ч условия знаки в формуле соответствуют внешней нормали. ив = ссв" '; и - = С'и*,' ис = Пс*, пвв = Пв*в* и =П„*и, асс = Пс"и. Тя шар радиуса е с центром в точке Мо.
Преобразуем объемный интеграл; т — т, Интегрируя по переменному г*, получим 1, = ~~ — — сое(п.,г*) дд — ~~ — — аЯ, так как еьз„= дд соз(п,г') = г' ззпд* Ю'Жр'. Второе слагаемое в 1е стремится к нулю при е — з О, .так как площадь поверхности Я, равна 4яе-'. Таким образом, предел 1з при е — > О равен так как — Й* соз(п.,г') = — , с)п что дает Вернемся к старым переменным и функции и: и(М,с) = Гг(М,Г) (с = г'+со — ' ), У(Мо,.О) = и(Мо, Со), так что а также дп дп а дс' с)п П Прн этом преобразовании мы пользуемся тем, что йг = (г*) 4ййг, нн* 2 тегрнруем по г* н затем заменяем 4П = ЙЯ((г') 2 440 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
