УМФ Тихонов (965259), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Найдем вектор Аы удовлетворякзщий условиям 1Ч. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 409 Взяв функцию;о в виде У (Р) — — — Я йтг7. (9) мы удовлетворим и уравнению (7). Определим теперь вектор Аз так, чтобы (10) гоФ Аз — — В, йгАз = О. Полагая Аз = гог,ф, (12) мы удовлетворим условия) (11). Подставив (12) в (10), получим яга(1йг3я — Ьф = В. (13) Потребуем, чтобы (14) йгф = О. Тогда уравнение (13) для вектора 3я примет вид (15) Рассмотрим область Сз, целиком содержащую область С и ограниченную поверхностью Ям Продолжим вектор В в область С~ — С, потребовав выполнения условий: 1) нормальная составляющая В„вектора В на границе Я непрерывна (сам вектор В, вообще говоря, .разрывен); В„; = В„,; 2) В„= 0 на Я~,' 3) йг В = 0 в Сз — С.
(10) (4') В =ягас1Х в С, — С. Условие йг В = 0 даст АХ=О в Сз — С. Граничные условия в силу 1 и 2 имеют вид (17) дХ вЂ” =В„; на Я, дп (17') оХ вЂ” =0 на Ям а (17") Укажем, как осуществить такое продолжение В на область Сз— — С. Положим 1У. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 411 Аналогичные выражения имеют место для производных дф„дф. ду дз Отсюда следует, что В силу условий (4), (4') и (16), а также непрерывности нормальных составляющих вектора В на В (В„, = В„,), вектор Аг, определяемый формулой (12), удовлетворяет уравнению (10), если вектор ф удовлетворяет условиям (14) и (15). Ясно, что вектор Аг + Аг удовлетворяет условиям (18) гоФ (Аг + Аг) = В, с11х (Аг + Аг) = С.
Чтобы найти вектор А, нам остается удовлетворить граничному условию (3). Для этого найдем вектор Аз, удовлетворяющийусловиям внутри С (20) гоС Аз = О, (21) 01г Аз = 0; и условиям на о' Аз. Ь = У(М) — Аг ~з — Аг ~з =,(* (М). (22) Ясно, что функция г"* (М) определена однозначно. Из уравнения (20) следует, что Аз = 8гайд. Подставляя это значение Аз в уравнение (21), получим внутри С (23) гзц = О. Условие (22) дает (24) д т. е. для определения функции д мы получим вторукг краевую задачу.
Поэтому вектор Аз определится олнозначно. Таким образом, доказано, что задача (1) (3) имеет единственное решение А = Аз+ Аг+Аз. 412 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Ч зг. Применение метода конформного преобразования в электростатике Ьи = О с граничными условиями и(з = и„ где через Н, обозначена поверхность проводника с номером 1. Если поле можно считать плоским, не меняющимся, например, вдоль оси х, то уравнение (1) и граничные условия принимают вид дзи дзи д, +дуя (3) (2) и)о, = иь где С, контур, ограничивающий область Н,.
Будем искать потенциал и как мнимую часть некоторой аналитической функции у (х) = е (х, у) +1и(х, у) (х = х+1у), причем в силу условий Коши Римана (б) (6) е = ие, и е,ее + и,ие — — О. (7) Из граничного условия (4) следует, что функция у" (х) имеет постоянную мнимую часть на контурах С„ограничивающих наши проводники. Обращаясь к условию (6), замечаем, что уравнение е (х, д) = сопвФ (8) представляет собой уравнение семейства силовых линий ~, в то время как уравнение и (х, у) = сопвь ц В самом деле, уравнение силовых линий имеет вид ах/ил = ау/ие. Заменив ил и ие согласно условиям (6) на — ее и ел, получим илах";еааУ =ае = О, или е(х, У) =сопви 1. Лля решения двумерных электростатических задач часто используется теория функций комплексного переменного.
Рассмотрим, например, следующую задачу электростатики. Найти электрическое симе нескольких заряженных проводников, потенциалы которые равны им из, ... Такая задача, как известно (см. Приложение 11), приводит к урав- нению У. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ 413 и = 1(г), переводящее плоскость комплексного переменного в плоскость ю = с+1и, при котором границы проводников переходят в прямые и = сопзс, или 1ш и = солям Если известна такая функция и = 7" (з), то искомый потенциал находится по формуле и = и (т, у) = 1пз 7" (з). Зная потенциал, можно вычислить электрическое поле: ди Ек = — —, дт ди Е„= —— ду (10) и плотность поверхностных зарядов на Единицу длины по оси ьс которая в силу условий Коши Римана равна т = — ~('(з)~. 1 4л 2.
Поле полубесконечного плоского конденсатора. Найдем поле конденсатора. образованного бесконечно тонкими металлическими пластинами у = — ф2 и у = о1'2, простирающимися в области т < О. Не останавливаясь на выводе конформного преобразования, переводящего область, изображенную на рис. 68, в слой ~ 1п1 ю~ < л, мы применяем его непосредственно к решению указанной задачи О. Преобразование с1 з = — (ю+ е") (ю = э+11У) (12) 2я ~ Смэ Франк Ф., Мизес Р.
Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Лп М., 1937. Т. Н, гл. ХЧ., З 5. в силу условия (7) определяет семейство эквипотенциальных линий. Таким образом, для решения поставленной задачи достаточно найти конформное преобразование 414 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Ъ' переводит плоскость х = х+1у с двумя разрезами (у = х ф2, х < О) в — Ю, ио (13) 2я где через ио обозначена разность потенциалов между пластинами конденсатора, так что потснциал электрического поля выражается функ- цией и(х, у) = — ф, ио 2п (14) где 16 связано с х и у соотношениями д х = — (~р + ег соз ф), 2п (15) д и = — (Р+ен з1пОз). 2я На рис. 70 изображены эквипотенциальные и силовые линии полубесконечного плоского конденсатора.
Рнс. 70 Перейдем к исследованию поля конденсатора. Из формул (15) видно, что при оз — з — оо Й У~ 2п (16) Рнс. 68 Рис. 69 слой ~ф~ < я плоскости ю = у +1ф (рис. 69). В качестве комплексного потенциала выберем функцию У. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ 415 ,/хз + уз 2л 0 = агс18 — — ф, У х (1 7) т.
с, вне конденсатора, на больших расстояниях от его краев, эквипотенциальные линии являются кругами. Если вместо иг ввести комплексный потенциал ио 2х так что 2х ш= — 1, ио то связь между х и 7 (х) задается уравнением х=д — + — е" ''о гг Г" 1 1ио 2гг ) ' откуда следует (1+,эту(ио) г1г ио ио а при 1 = — (гГг х яг) мы получаем 2х гЬ г1 — = — (1 — е"), ге' по или Полагал ио = 1, мы получаем для плотности зарядов гг согласно формуле (11) следующее значение: Т()! 1 4гг 4хг1 /1 — ее ! Отсюда следует, что при го — г — со а. — 1г4хг1, (18) анри гр-++со гг - 1г4Ыет, т.
е. в этом случае плотность зарядов убывает на внешней стороне пластин как 1г'р. Из формулы (18) видно, что при ггг = 0 (на краю конденсатора) и = оо. В самом деле, край плоской пластины имеет бесконечную кривизну, и для того чтобы зарядить его до некоторого потенциала, необходимо поместить на него бесконечный заряд. Круг задач, решаемых методом конформного преобразования, очень широк. С его помощью может быть успешно решен вопрос о т. е.
внутри конденсатора, далеко от краев, поле является плоским, а при ог — ~ +ос 416 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1Ч влиянии края толстой стенки плоского конденсатора, ряд задач, относящихся к влиянию изгибов в конденсаторе и т. и. Конформное преобразование может быть также применено к расчету динамических задач. Недостатком изложенного метода является то, что конформное преобразование применяется в основном лишь к плоским задачам, сводящимся к двумерному уравнению Ьзи = О.
Ъ'1. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике 1. При решении задач о движении твердого тела в жидкости существенную роль играют граничные условия на поверхности тела. В случае идеальной жидкости граничное условие состоит в том, что проекция п„ скорости жидкости на направление нормали к поверхности тела должна равняться нормальной составляющей скорости движения тела. Если тело неподвижно,то граничное условие принимает простой вид с„= О на поверхности тела. Если рассматриваемое движение потенциально, т.
е. и = игаса ~р, то граничные условия принимают вид др — = О в случае неподвижного тела, дп д~р — = и„в случае тела, движугпегося со скоростью и. ди Как известно из гидродинамики, потенциал скоростей для несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Таким образом, задача о потенциальном обтекании твердого тела потоком несжимаемой идеальной жидкости сводится к решению уравнения Лапласа с дополнительным граничным условием на поверхности обтекаемого тела др — = и„, дп У1.
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ГИДРОДИНАМИКЕ 417 до, д( — ор) дх ду Запишем уравнения линии тока с1х ду ор в виде (2) о, Пу — орс1х = О и введем функцию рЗ при помощи соотношений Тогда из уравнения (1) следует, что левая часть выражения (2) явля- ется полным дифференциалом функции ус ои с1у — ор с1х = сгрз. Однопараметрическое семейство кривых 1У (х, У) = С представляет собой линии тока несжимаемой жидкости. Если существует потенциал скоростей, то равенство го1» = О равносильно уравнению Из выражений для о, и ор следует дсо дф ду дх' др дф дх ду' Римана.
Сле- т. е. функции со и ф удовлетворяют условиям Ко|пи довательно, функция комплексного переменного (х) = р (х, у) + 'Ф (х, у) является аналитической. Итак, всякое потенциальное плоское движение жидкости соответствует определенной аналитической функции комплексного переменного,и обратно, всякая аналитическая функция связана с определенной кинематической картиной движения жидкости (точнее, с двумя картинами, так как функции со и рЗ можно поменять ролями).
27 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский т. е. к решению второй краевой задачи для уравнения Лапласа. Если рассматриваемое движение плоское, то решение задачи может быть получено при помощи теории функций комплексного переменного. В случае плоского движения несжимаемой жидкости уравнение непрерывности дает 418 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1У Рассмотрим конкретные примеры применения теории аналитических функций к решению задач об обтекании тел плоским потоком жидкости. 2.
Обтекание кругового цилиндра. Пусть на круговой цилиндр радиуса т = а набегает плоский поток жидкости, имея>шей на бесконечности постоянную скорость и. В случае стационарного движения задачу можно обратить и рассматривать движение цилиндра с постоянной скоростью и относительно жидкости. Свяжем с цилиндром неподвижную систему координат и направим ось От параллельно скорости движения цилиндра. На поверхности движущегося в жидкости тела, очевидно, выполняется граничное условие д1а ду — =и —, дя дз' где Ыя элемент дуги на контуре, ограничивающем тело.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
