УМФ Тихонов (965259), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Существование по- тенциала простого слоя не вызывает сомнений. 7. Поверхности и кривые Ляпунова. Предположение о конечности кривизны оказывается излишним для существования поверхностных потенциалов. Потенциалы простого и двойного слоев в точках поверхности Е являются несобственными интегралами. Покажем, что эти интегралы сходятся для определенного класса поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова, если плотность потенциала ограничена: ~и(Р)) < С, где С некоторая постоянная. Поверхность называется поверхностью Ляпунова, .если выполняются следуюшие условия.
1. В каждой точке поверхности Е существует определенная нормаль (касательная плоскость). 2. Сушествует такое число 0 ) О., что прямые, параллельные нормали в какой-либо точке Р поверхности Е, пересекают не более одного раза часть ЕР поверхности Е, лежащую внутри сферы радиуса с( с центром Р. Эти участки поверхности Ер называются окрестностями Ляпунова. 3. Угол у (Р, Р') = (пр, пр ), образованный нормалями в точках Р и Р, удовлетворяет следующему условию: (ЗЦ у(Р,Р) <Аг, где г. -расстояние между точками Р и Р, А--- некоторая постоянная и 0<д<1. Пусть Ре некоторая точка поверхности Е. Выберем прямоугольную систему координат,помещая начало координат в точку Ро и направляя ось я вдоль внешней нормали.
Плоскость (я, у) при этом совпадает с касательной плоскостью. В силу условия 2 существует такое ре, что уравнение поверхности Е может быть представлено в виде =/(к р)П (32) для (33) ~) Отметим, что если функция / (я, у) имеет непрерывные вторые производные в окрестности точки Ро, то поверхносгь я = /(я, р) удовлетворяет условиям Ляпунова. Таким образом, поверхности с непрерывной кривизной являются поверхностями Ляпунова. 24* 372 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ.
1У вв 1 сов уу = сов у = Ф+и+ у в уз+и сове = В силу выбора нашей системы координат вх (Ро) = О, «в (Ро) = О. Будем считать, что поверхность Бр столь мала (ро столь мало), что 1 1 ! (34) Обозначим через пр проекцию вектора пр на плоскость (х, у) и через а, углы, образованные вектором пр с осями х и у. Очевидно, что ! ! ! совы = вупу сов п, сов у! = в!и у вуп и . Так хак вш7 < 7, то в силу условия 3 вуп У < Агррс в и, следовательно, ~ сввп~ ( Агррв )ю~ф < Агр!Р, (35) сов а сов уу 1 а так как вх =, вк =, причем < 2, то сов у сову сов у ~вв~ < 2Агрр, )вв~ < 2Агррс. Пользуясь формулой Тейлора для функции в = у (х, у) в окрестности точки Ро (О, 0), будем иметь в(х, у) = з(0!О)+хвх(х, у)+увв(х, у)! где 0(х(х, 0(у(у.
Отсюда следует, что (х (х, у)~ < 4Агр,у, . (36) Полученные оценки (34), (36) позволяют доказать, что в точках, лежащих на поворхности Б, потенциал двойного слоя -( ) = 0 с' -( ) -. пз (28) является сход!пцимся несобственным интегралом, если Б - поверхность Ля- пунова. Обозначим через Хр окрестность точки Ро на поверхности Б, опредсляомую условиями (32) и (ЗЗ). Установим некоторые оценки для функции у (х, у) и ее производных. Из существования нормали в каждой точке поверхности (условие 1) следует дифференцируемость функции у (х, у).
Направляющие косинусы нормали (внешней) выражаготся формулами ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА з 5) х= у(х,у). Функция у (х, у) удовлетворяет условиям (34) и (36). Вычислим сову, где ~р .-- угол между направлением внутренней нормали в точке Р (С, у, Д и пав > правлением РРо. Нетрудновидеть,что )совф = — сова+ — сов)1+ — сову < ) сова)+ )совф+ — < )6~ д д д д < 4дрро+ Адрро -~-4 4дрро = 6АНРРо ~<6А г о (0<6~(ц. дг — о (37) Представим И' в виде суммы двух интегралов; = (411 т грг 2 где И'1 -- интеграл по поверхности Хро, содержащей особую точку Ро, а интеграл И'г берется по остальной части поверхности Š— ХР . Так как 1 о' подынтегральная функция в интеграле И'г нигде но обращается в бесконечность, то для сходимости интеграла И' достаточно убедиться в сходимости интеграла Игз.
Поскольку 36 Ь, рура сову сову ' где р = Я~+ уз, В -полярные координаты на плоскости (х, у), то преобразование переменных в этом интеграле дает РО 2з / / г Р(Р)11аР = / / г и(Р) роурсУВ. ) Г-в 1 ) сов зг 1 // дг / / дг сову х~ о о 0 'о для подынтегральной функции в силу оценок (34), (36) и (37) имеем сов Зг 1 - 12АС Д2 сов'у р2 в ~ так как р < д. Такой вид мажорантной функции Г обеспечивает сходимость несобственного интеграла в случае двух независимых переменных (см. и.
3). Нетрудно установить, что для поверхности Ляпунова потенциал простого слоя У (М) = // р (Р) с)цр 1 ДМР (26) также сходится в точках поверхности. Следует отметить, что эта сходи- мость имеет место и для поверхностей более широкого класса. Пусть М = Ро -- точка поверхности Е. Выбирая систему координат, как было указано выше, представим уравнение поверхности Е в окрестности точки Ро в виде 374 УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У В случае двух независимых переменных потенциалы простого и двойного слоев сходятся в точках кривой (см.
формулы (29) в (30)), если этн потенциалы берутся для кривых Ляпунова, определяемых условиями, аналогичными условиям 1--- 3 для поверхностей Ляпунова. Иг (Ро) = И' (Ро) + 2яа (Ро), ) И„(Ре) = И'(Ре) — 2яа (Рс),) 138) где Иг, '1Рс) предельное значение потенциала двойного слоя при подходе к точке Ре с внутренней стороны, а И'„(Ре) . предельное значение с наружной стороны поверхности '~. В случае двух независимых переменных соответствующие формулы имеют вид И~ 1Ро) = И' (Ре) + Яп (Ре), ~ И„(Рс) = И 1Ре) — яп (Ре)./ (39) Потенциал двойного слоя для двух независимых переменных выражается интегралом Иг (М) = / и (Р) сЬр.
/ Лиг С Рассмотрим некоторый элемент дуги 4з, концами которого являются точки Р и Р,. Проведем через точку Р дугу окружности радиуса МР с центром в точке М до пересечения ее с отрезком МРг в точке г1. Тогда с точностью до бесконечно малых высшего порядка можно написать (рис. 62): да сЬ созш = сЬ, — = с11, (40) Л где дз =РР„ с~а =РЯ, сЬш угол, под которым видна дуга сакэ из точки М. Знак 4ш совпадает со знаком сов ш, так что дш > О, Рис. 62 если 9з (угол между внутренней нормалью в точке Р и вектором Р.д) меньше я/2, н йо ( О, если 9з > я/2.
П ~ Если Š— незамкнутая поверхность, то внутренняя сторона может быть условно определена соглашением о том, какая нормаль в точке Рс называется «внутренней» и какая «внешней». Следует иметь в виду, что в случае незамкнутых поверхностей потенциал двойного слоя определяется только лля двусторонних поверхностей. 8.
Разрыв потенциала двойного слоя. Покажем, что потенциал двойного слоя в некоторой точке Ро, лежащей на поверхности Е, является разрывной функцией, для которой имеют место соотношения ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА з 5) 2я, если точка М лежит внутри кривой С, и, если точка М лежит на кривой С, О, если точка М лежит вне кривой С, когда точка Р пробегает всю кривую С. Отсюда для потенциала И'о получаем 2ягго, если точка М лежит внутри кривой С, Иг = ггоГГ = хгго, если точка М лежит на кривой С, о О, если точка М лежит вне кривой С.
Таким образом, потенциал с постоянной плотностью является функцией кусочно-постоянной, причем Иго И о+ (44) Ин Ис ггго ! где И'о, Иф, И'о значения потенциала внутри, на и вне кривой С. Аналогично в случае трех независимых переменных будем иметь гут соя уг (42) Д2 где агог - телесный угол, под которым виден элемент г4п поверхности Х. Пусть Нп' элемент сферической поверхности, получающийся при пересечении сферы, описанной радиусом МР из точки М, с конусом, имеющим вершину в точке М и опирающимся на элемент поверхности Йп. Элемент поверхности Нгг' = Йа соя уг.
Отсюда и следует формула (42). Замечание, сделанное выше относительно знака г4ог, остается в силе, что приводит нас к формулам 4яио, если точка М лежит внутри поверхности Х, Иг = ггой = 2яио, если точка М лежит на поверхности Х, о О, если точка М лежит снаружи поверхности Х, характеризукгщим кусочное постоянство функции И'о, а также к фор- мулам И'о = Игго + 2 гио, ~ И'о = И'о — 2ягго,) (41') Если дог > О, т.
е. уг < х/2, то из точки М видна «внутренняя» сторона кривой С; при г4го < О (гр > гг/2) из точки М видна «наружная» сторона кривой. Отсюда следует, что угол видимости некоторой дуги Р,Рз равен углу Р,МРю который описывает луч МР, когда точка, Р пробегает дугу Р,Р» Рассмотрим потенциал двойного слоя И'о на замкнутой кривой С с постоянной плотностью гг = го = сопзФ. Луч МР описывает угол 376 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У где И о, И'о значения потенциала Иг~ внутри и снаружи поверхности Е, а Иг~в .— значение Иг~ на Е. Рассмотрим теперь потенциал двойного слоя с переменной плотностью и докажем, что в точках непрерывности плотности имеют место формулы, аналогичные формулам (41) и (41'). Пусть Ро точкаповерхности Е, вкоторойфункция и(Р) непрерывна.
Введем потенциал двойного слоя И'о с постоянной плотностью иэ = п(Ре) и рассмотрим функцию 1(М) = И'(ЛХ) — И'о (ЛХ) = ~~~и(Р) — ио] Игр. Х"мл Покажем, что функция 1 непрерывна в точке Ро. Лля этого достаточно доказать равномерную сходимость интеграла 1 (М) в точке Ро. Зададимся некоторым числом с > О. Из непрерывности функции и (Р) в точке Ро следует, что для любого наперед заданного числа л > О можно найти Е~ окрестность точки Ро на поверхности Е, такую, что если Р Е Еь Представим интеграл 1 в виде суммы 1 = 1~ + 1з, где интеграл 1~ берется по поверхности Е„а 1з по поверхности Ез = Š— Ем Из определения Ез следует оценка У,~ < ОВ„ где Вв постоянная, определяемая условием (43) при всевозможных положениях точки М, не зависящая от выбора поверхности Ем Подробнее относительно этой постоянной будет сказано ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
