УМФ Тихонов (965259), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Первые производные объемного потенциала. Функции, стоящие под знаками интегралов Х (М) = — ~~~ р (Р) г1тр, У (М), Е (М), являются производными по соответствующим переменным от функ- ции, стоящей под знаком интеграла «(М)=Ц~ ( )д т Если для функции г' законно дифференцирование под знаком инте- грала, то Х= —, У= —., г= —, дР дР д1 (14) дх' др' дз' т. е. И является потенциалом поля, компоненты которого равны Х, 1', Я. Если точка М лежит вне области Т, .то функция — (х — с) Лз И вЂ” 1)2+ („— „)2+ ( — 02)зд дх Л непрерывна по обоим аргументам М (х, д, я) и Р (с, пп ~).
Следовательно, в этом случае дифференцирование под знаком интеграла 1' законно. Производные более высокого порядка можно также вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла всюду вне тела Т. П Равномерная сходимость интегралов Ъ'(М) и Х (М) доказана в предположении ограниченности плотности ~р( < С. Следовательно, эти интегралы непрерывны также и в точках разрыва функции д, например на границе области., заполненной массами. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА Отсюда в силу леммы из гл. П1, з 3 следует, что потенциал вне при- тягивающих масс удовлетворяет уравнению Лапласа: ЬЪ' = 0 вне тела Т.
Покажем, что вычисление производных потенциала 1' можно осуществлять путем дифференцирования под знаком интеграла и в том случае, когда точка М лежит внутри тела Т. При доказательстве мы будем пользоваться только ограниченностью функции р (х, у, я) (~р(х, у, я)~ < С), нс предполагая се непрерывности, откуда будет следовать, .что функция Ъ (х, .у, я) дифференцируема и в точках границы, которые можно рассматривать как точки разрыва функции р (х, у, я), равной нулю вне тела. Покажем, что для любого е можно найти такое д (е), что Ъ'(х + Ьх, у, я) — Ъ'(х, у, я) если ~Ьх( < д (е). Заключим точку Ме в достаточно малый шар К,, размеры котомо рого мы уточним в дальнейшем, и разобьем Г на два слагаемых: Ъ' = 1 з + Ъ'з, где Ъ~ и 1'з соответствуют интегрированию по объему Т, = К~с и дополнительному объему Тз = Т вЂ” К„, . Тогда зго Ъ'(х + Ьх, у, я) — 1' (х, у, я) Ьх кз (х + ых У з) кз (х: У з) ~'з (х + сгх: У; з) 1я (х, У Я) Ьх + Ьх При любых фиксированных размерах области Т, 1з(х + Ьх,у,я) — Ъ~(х,у,я) /'/'/' д / 1') 11ш а -о Ьх И ' ' д 1й( тз так как точка Мо лежит вне области Тя.
Полагая Х = Хз + Хз, оценим р (х + Ьх, у, я) — T (х, у, я) 1я(х + Ьх, у, я) — Ъя(х, у, я) < Хя + ~Х,~+ Ьх Ъ~ (х + Ьх, у, я) — $'~ (х, у, я) + Ьх и покажем, что каждое из слагаемых можно сделать меньше чем е/3. В самом деле,. а гх 1' Г 1' т зшдс~дйрйт, е <С 1' )'1~ тг (Хг( = о о о т, и†( так как < 1 и ~р~ < С.
Рассмотрим последнее слагаемое 1'г (т + г1т, у, г) — 1г (и, у, г) г1 — Яр Йт т, т, где Лг = ~(т + гак) — с)~ + (у — у)г + (г — ~)г, и ~ . ~)г + ~у , )г ( т)г Стороны треугольника МоММг равны т, тг и ~г1т(. Отсюда следует, что Поэтому так как дли любых чисел а и Ь г аЬ< — (а +Ь). При атом — = 4лб' и ~0 —,, ~ (~~~ — г = 8хб', .и, гл т, т1 где К'з,' шар радиуса 2б' с центром в точке Мь При соответствук>щем выборе Ь' можно обеспечить неравенство )Я~ < — 12лб' = блСб' < —.
2 3 (16) 362 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА з 5) Выбирая 5' из условия (16), мы удовлетворим обоим неравенствам (15) и (16). Фиксируем область Тг = Х, с, а тем самым и область Т,=Т-Т,. Равенство (14) в применении к выбранной области Тз означает, что для любого с можно указать такое б", что г2 (х + гзх, 9~ х) гз (х: д, х) Хз < —, Ьх 3' коль скоро ~Ьх~ < в". Выбирая, наконец, д = гпш (б', д"), мы получаем 'г' (х + Ьх, р, я) — Ъ'(х, у., х) Х < е, если ~Ьх~ < 5.
Тем самым доказано, что существует производная дК/дх, равная (17) Формулы а1 Я вЂ” =1 и — =г др дх не требуют специального доказательства. Таким образом, доказано, что дифференцирование под знаком интеграла законно и что компоненты силового поля Х, У, Х являются компонентами ига 'г'. 5. Вторые производные объемного потенциала. Несобственный интеграл не сходится абсолютно для внутренних точек Р тела Т. В этом случае мажоранта для подынтегральной функции имеет вид С вЂ” при а=3. В" Установим формулы, по которым вычисляются внутри Т вторые производные потенциала Г, в предположении непрерывности и непрерывной дифференцируемости плотности р(х, у, я) в окрестности исследуемых точек.
В частности, исследование, проводимое ниже, не будет применимо к граничным точкам, где, как правило, имеет место разрыв плотности. Представим потенциал Г в виде суммы двух слагаемых: 366 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА гГЛ. 1У предела; интеграл (23) следует рассматривать как условно сходящий- ся. Таким образом, Отсюда видно, что вычисление вторых производных потенциала при помоши формального дифференцирования под знаком интеграла привело бы нас к неверному результату.
ПлЯ пРоизводных дз1ггдуз и дз)гггдзз полУчаютсм аналогичные выражения. Подставляя значения всех трех производных в выражение для оператора Лапласа, находим ,оз), г22~, лз)г дтз гзрз ояз =ЯР~ ( — )Г ( — )Г ( — )~Ы вЂ” 4 Р(М)= т = — 4яр (Мо), (25) так как 1/Л гармоническая функция ~). Таким образом, объемный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона гз)г = — 4яр внутри тела и уравнению Лапласа гз1' = 0 вне тела. Неоднородное уравнение (25') при условии дифференцируемости 1 внутри некоторой области Т имеет частное решение ио = — Я т Отсюда следует, в частности, что решение краевой задачи для неоднородного уравнения (25') можно свести к решению аналогичной ~г Формула (25) установлена в предположении диффоренцируемости функции р, что является достаточным условием и может быть заменено менее стеснительными условиями.
Однако условия непрерывности функции р (М) для справедливости (25) недостаточно, так как сушествуют примеры таких непрерывных функций р ГМ), для которых объемный потенциал не имеет вторых производных. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА з 5) краевой задачи для уравнения Лапласа Ье = О, если искомую функцию представить в виде суммы и = ив + е. 6. Поверхностные потенциалы. Как показывает основная формула Грина (см. З 2) любая гармоническая функция может быть представлена с помощью интегралов, являющихся поверхностными потенциалами. тэ Рассмотрим поле, создаваемое массами, распределенными на поверхности , и определим потен- Ц г1 циал этого поля. Поверхностной плотностью д(Р) в точке Р поверхности Х называют предел отношения массы, находящейся на некотором элементе дп поверхности Е, содержащем точку Р, к его площади при стягивании до к точке Р.
Потенциал этих масс представляется поверхностным интегралом Рис. 59 'г (М) = О Нтр, (26) Если массы с объемной плотностью р расположены в некотором слое толщины А около поверхности Е и поле изучается на расстояниях, больших по сравнению с Ь (А/В « 1), то учет толщины поверхности, вообще говоря, не имеет смысла. Поэтому вместо объемного потенциала с плотностью р целесообразно рассматривать поверхностный потенциал с поверхностной плотностью д = рд. называемым потенциалом простого слоя.
Лругим типом поверхностного потенциала является потенциал двойного слоя. Перейдем к его определению. Рассмотрим диполь, образованный двумя массами: — гп и +т, расположенными в точках Р, и Рз на расстоянии Ы (рис. 59). Произведение гп. Ы = Х называется моментом диполя. Потенциал диполя в некоторой точке М (т, у, з) равен где г, и гэ -- расстояния точки М от точек Р1 и Р .
Если Ы мало по сравнению с расстоянием до точки М (Ы)г, « 1), то, пользуясь теоремой о конечных приращениях, .можно написать ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА Очевидно, что И = 0 н (Р) с1стр, Пз 1 И = / д (Р) 1 сЬ,. ~ЫР с (29) И' — — / и(Р) (1п ) сЬ = / и(Р) пз, (30) г1пр Вмр Пмр где С некоторая кривая, р линейная плотность простого слоя, и .. плотность момента линейного двойного слоя, 1о .— угол между внутренней нормалью к линии С и направлением на фиксированную точку. Если точка наблюдения М(т, у, з) находится вне поверхности (вне притягивающих масс), то подынтегральные функции и их производные по т, р, з любого порядка в формулах Г(М) = 0 д(Р) с1сср, к [и)= — 0.у) непрерывны по переменным и, у, ж Поэтому в точках, лежащих вне поверхности Х, производные поверхностных потенциалов можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Отсюда в силу принципа суперпозиции следует, что поверхностные потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа всюду вне притя- С гивающих масс.
Функции (29) и (30), оче- М видно, удовлетворяют уравнению Лапласа с двумя независимыми переменными. Поверхностные потенциалы в точках поверхности Х представляются несобственными интегралами. Покажем, что если по- Рис. б1 верхность имеет непрерывную кривизну., то потенциал двойного слоя 24 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский где ус угол между внутренней нормалью и направлением из точки поверхности Р на фиксированную точку М. Если поворхность незамкнутая, то мы должны считать ее двусторонней, так как потенциал двойного слоя определяетс:я только для таких поверхностей.
Потенциалы простого и двойного слоев в случае двух независимых переменных имеют вид 370 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У в точках этой поверхности существует. Проведем доказательство для случая двух независимых переменных: / Л с Рассмотрим кривую на плоскости (х, у) и выберем начало координат в точке Р, ось х направим по касательной, а ось у . по нормали в этой точке (рис.
61). Уравнение кривой в некоторой окрестности точки Р запишется в виде у=у(х). Кривая имеет, по предположению, .непрерывную кривизну, .т. е. у (х) имеет непрерывную вторую производную. Поэтому у(х) = у(0) +ху'(0) + — у" (дх) (О ( д < 1), 2 откуда вследствие выбора координатных осей у(х) = — хзу" (дх). 2 Отсюда будем иметь д )сх2 ) уз хз ) х4 1 ) хз ~у" (дх)1 1у" (дх)1 2 ~ ~ 2 у ху" (дх) .. у (дх) у" (д ) соз у) ,(,, (ч" Я*)~ ~ Из выражения кривизны л К= (1+ у)з)'й следует у" (О) = К(Р). Поэтому )мй~- о Л 2 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 3 5) что доказывает непрерывность (созф/Й вдоль дуги, а тем самым и существование потенциала двойного слоя в точках кривой С для ограниченной функции и. Потенциал двойного слоя в случае трех независимых переменных также существует в точках поверхности, имеющей конечную кривизну, потому что функция соз;э Дз имеет интегрируемую особенность порядка 1/Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
