УМФ Тихонов (965259), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Решение внешней краевой задачи, очевидно, имеет вид 1 Рз — аз I 1 ("т') гпР при Р > а 2я у рз — 2арсоя(~р — я') + аз (14) и(р, ~р) = 1(Р) при р= а. В самом начале мы предположили, что функция у' (~р) непрерывна и дифференцируема, и, пользуясь этим, доказали, что решение задачи Цз) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 335 можно представить в виде бесконечного ряда. В дальнейшем с помощью тождественных преобразований мы перешли от ряда к интегралу Пуассона. Докажем теперь, что интеграл Пуассона дает решение первой краевой задачи а в том случае, когда функция у (~р) только непрерывна. Интеграл Пуассона представляет решение уравнения Лапласа при р < а (1 < 1) для произвольной ограниченной функции 1 (р).
В самом деле, при р < а (1 < 1) интеграл Пуассона тождественен ряду (8) и, как было отмечено на с. 332, удовлетворяет уравнении> Ьи = О при произвольной ограниченной функции 1 (~р). Таким образом, нам остается доказать, что функция и в нашем случае непрерывно примыкает к граничным значениям. Выберем какую-либо последовательность непрерывных дифференцируемых функций ,~з (р) зз (р) зь (~р) равномерно сходящуюся к функции ) (р) 1пп )ь (~р) = ) (~р). Последовательности граничных функций будет соответствовать последовательность гармонических функций иь (р., ~о), опрсделяемых по формуле (13) или (8).
Равномерная сходимость последовательности ( )'ь (р) ) означает, что для любого г > О можно указать такое )со (г) > >О, что (Б (~Р) — ~ьлл (~р)! < г при й > йо(г), 1 > О. Для функций иь (г, ~р), представляющих решения первой краевой задачи, в силу принципа максимального значения будем иметь ~иь(р, р) — икал(р, ф( <г при р< а, й > йо(г), ! > О. Таким образом, последовательность ( иь ) сходится равномерно к некоторой функции и = !)1п иы Предельная функция и(р, ~о) непре- Ь-э ос рывна в замкнутой области, поскольку все функции иь, представляемые интегралами аз рз иь (р, ~р) =— , Уь(Ф)Ф, 2к,~ рз — 2ар сов (~р — ф) + аз Н Мы не будем останавливаться на том, как это осуществить. Такую последовательность можно выбрать многими способами.
33б УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У непрерывны в замкнутой области. Очевидно, что и (р, оз) = 1пп иь (р, оз) = ь — ~сю Г 1 ' аз — Рз 1(уЗ)аф при р < а, 2х у рз — 2арсоз(р — ф) + аз У (р) при р= а, так как последовательность 1 ~я ) сходится равномерно к 1, и поэтому предельный переход под знаком интеграла законен. Таким образом, функция 1 / аз — рз и (р,оз) =— , У(Ф)бф 2х у рз — 2арсоэ(~р — ф) + аз — х при произвольной непрерывной функции 1 (Р) является решением уравнения Лапласа, непрерывно примыкающим на границе круга к заданным значениям.
3. Случай разрывных граничных значений. Покажем, что формулы (13') и (14) дают решение краевой задачи для произвольной кусочно-непрерывной функции 1 (~р), т. е. что это решение ограничено во всей области и непрерывно примыкает к граничным значениям в точках непрерывности функции 1 (р), являясь, таким образом, единственным решением, обладающим этим свойством (ср, с 3 2, и.
4). Пусть уо какая-либо точка непрерывности функции 1 (Р). Надо доказать, что каково бы ни было е > О, найдется такое б (е), что если (р — а~ < б(е) и (~р — ро~ < б(е). В силу непрерывности функции 1 (Р) существует такое бо (е), что ~,Р(~р) — У(ро)~ < —, если (Р— ро~ < до 1е). 2' Рассмотрим вспомогательные непрерывные и дифференцируемые функции 1 (р) и 1 (Р), удовлетворяющие условиям 1 ('Р) = 1 (Озо) + длЯ ~'Р Фо~ < бо (е) 2 Др) > 1 (р) для ~ р — озо~ > бо (е) 337 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 13) е .У Ь') = У (ззо) — — для ~~р — ~ро~ < бо (е), У (зз) ( У (зо) для ~зз — осе~ > бо (е), а в остальном произвольные.
Если при помощи формулы (13) мы определим для У и У функции и(р, д) и и(р, р), то это будут гармонические функции, непрерывно примыкающие к У (~р) и У (зз). В силу положительности ядра Пуассона имеем и (р, р) < и(р, Зо) < и(р, со), так как У(Ф < У(р) < У(р). Из непрерывности функций и(р, д) и и(р., Зз) на границе при ~о = озо следует существование такого бз (е), что ~и(р, р) — У(~ро)~ ( — ' для ~р — а~ < бз (е), рр — ~ро~ < бз (е) (и(р, р) — У(<ро)! ( — для ~р — а~ < бз (е), )~р — ~ро! < б1 (е). Из этих неравенств находим где б = пйп(бо, бз). Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что У(зсо) — е < и(р, р) < и(р, зо) < и(р, уз) ( У(ззо) +е, или ~и(р, Зз) — У(Ззо)~ < е для ~р — а~ < б(е), ~р — Ззо~ < б(е), что и доказывает непрерывность и (р, ~р) в точке (а, узо).
Ограниченность и (р, р) следует из того, что в силу положительности ядра Пуассона 1 Г ай — р' 22 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский и(Р, Ф < У('Ро)+ 2 = У(Уо)+е,~ — 2 ~р — а~ < д (с), для ~~р — озо~ < д (е), 340 УРАВНКНИЯ ЭЛЛИПТИЧВСКОГО ТИПА 1ГЛ. 1У При получении формулы (4) мы исходим из того, что существует гармоническая функция и, принимающая на поверхности Е значение у. Тем самым даже для тех областей, для которых существует функция источника, удовлетворяющая условиям применимости формулы Грина, формула (4) дает явное представление лишь тех решений и первой краевой задачи, которые удовлетворяют условиям применимости формулы Грина (доказывая единственность этого класса решений первой краевой задачи). Подробное исследование формулы (4), проведенное А.
М. Ляпуновым, показало, что для широкого класса поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова (см. 'з 5), она представляет решение первой краевой задачи при весьма общих условиях. Остановимся еще раз на определении функции С. Функция С определяется при помощи функции о, являющейся решением первой краевой задачи для уравнения с граничными значениями 1 п~х =— Может создаться впечатление, что имеет место порочный круг. Для нахождения функции и . решения первой краевой задачи -надо найти функцию о решение той же задачи.
На самом деле порочного круга нет, так как знание функции источника позволяет решить первую краевую задачу с произвольными граничными значениями (и~в = = у), в то время как для нахождения самой функции 0 достаточно решить краевую задачу со специальными граничными значениями (е~х = — 1/(4кЛ)), что, как мы увидим на ряде примеров, значительно проще. При электростатической интерпретации функция источника 1 а(М, Ме) = 4кН представляет потенциал в точке М точечного заряда ~~, помещенного в точку Мо внутри заземленной проводящей поверхности Е. Первое ~~ Прн термической интерпретации стационарная температура точечного источника тепла интенсивности д определяется формулой где к' коэффициент теплопроводности.
Таким образом, функция С(М, Мо) является температурой в точке М, если температура поверхности тела равна нулю, а в точхс Мо помешан тепловой источник интенсивности д = й. Если размерность длины выбрана так, что а = 1, то функция С соответствует источнику интенсивности, равной единице. ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА слагаемое 1/(4яй) есть, очевидно, потенциал точечного заряда в свободном пространстве, а второе слагаемое п обозначает потенциал поля зарядов, индуцированных на проводящей поверхности Х.
Таким образом, построение функции источника сводится к определению индуцированного поля. Остановимся на некоторых свойствах функции источника. При этом мы будем предполагать,что рассматриваемые области таковы, что для них существуют функции источника, обладающие нормальными производными на поверхности Х и удовлетворяющие условиям применимости формулы Грина. 1. Функция источника всюду положительна внутри Т. В самом деле, функция С обращается в нуль на границе области Х и положительна Рис. 50 на поверхности достаточно малой сферы, описанной вокруг полюса.
Отсюда следует, в силу принципа максимального значения, се положительность во всей области. Заметим также, что — <О, дС дн что непосредственно вытекает из доказанной положитвльности и условия С(в = О. 2. Функция источника симметрична относительно своих аргументов Ма 1и, у, я) и М (~, )1, (,')( С(М, М ) = С~ма, И). Пусть Ма и М" -- некоторыефиксированныеточкивобласти Т. Проведем сферы ХВ и Хз радиуса с с центрами в точках М' и Мм (рис. 50).
Полагая и (М) С 1М Мм) П (И) С дм Иа) и применяя формулу Грина Щ(  — В)В = )/ ( — — — )В (В) к области Т„ограниченной поверхностями Х, ХВ и Хз, будем иметь Ва(м, мм) „Ва(м, м,')~ дп ди Е( , 1 ~а(м м() да(М М(') а,м м(з да(М М()) В,. В дн дп 342 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У так как левая часть уравнения (5) равна нулю, поскольку ЬС = О, а интеграл по поверхности Е равен нулю в силу граничных условий. Переходя затем к пределу при е — о О и используя особенность функции источника, получаем П С(М,, Мо) =С(М,-, М,), или С(М, Мо) = С(Мо, М).
Показанная симметрия функции источника является математическим выражением принципа взаимности в физике: источник, помещенный в точку Мо, производит в точке М такое же действие, какое производит в точке ЛХо источник, помещенный в точку М. Принцип взаимности носит весьма общий характер и относится к различным физическим полям (электромагнитным, упругим и т. д.). Отметим, в частности, что из свойства симметрии следует, что при фиксированном ЛХ и (Мо) = С (М., Мо)., как функция переменных х, у, я точки Мо, обладает тем же свойством, что и функция о (М) = = С(ЛХ, Мо) переменных ~, Л, ~ точки М при фиксированном Мо, т.е.
ЬмоС=О при МФМо, С=О при Мое В Функция источника С (ЛХ, Мо) для случая двух измерений, очевидно, будет определяться следующими условиями. 1. ЬС = О всюду в рассматриваемой области д, кроме точки М = = Мо. 2. В точке М = Мо функция С имеет особенность вида 1 1 — 1п 2я Нммо ' 3. С~с = О, где С граница области 5. Функция источника в этом случае имеет вид 1 1 С (М, Мо) = — 1в + о (ЛХ, Мо), пммо где о - всюду непрерывная гармоническая функция, удовлетворяющая на границе условию 1 1 о~с = — — !и Пмма Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа при этом дается формулой Г дС и(Мо) = — /,Х вЂ” оЬ (Х = и1с) / ди с О Ляпуновым установлена эта теорема в применении к классу поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова.
з 4) ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА 2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы. Наиболее распространенным методом построения функции источника является метод электростатических и з о б р а ж е н и й. Идея его состоит в том, что при построении функции источника О(М Мо)= +о 1 4яЛилг, индуцированное поле о представляется как поле зарядов, расположенных вне поверхности Е и выбираемых таким образом, чтобы выполня- В лось условие 1 Эти заряды называются электростатическими изображениями единичного заряда, помещенного в точку Мо и создающего в отсутствие поверхности Е потенциал 1/(4яЛ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
