УМФ Тихонов (965259), страница 48
Текст из файла (страница 48)
подробнее г 5, и. 2), потенциал которого равен 1 и = 2ез1п-, Р Функции~ 11о(р) часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости (для двух независимых переменных) . Функция с'о = 1)г удовлетворяет уравнению Ьи = 0 всюду, кроме точки г = О, где она обращается в бесконечность. С точностью до множителя пропорциональности она совпадает с полем точечного заряда е, помегценного в начале координат; потенциал этого поля равен з 1) ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯ1ЦИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 303 где ез плотность заряда, рассчитанная на единицу длины.
Эти функции имеют большое значение в теории гармонических функций. 5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного. Весьма общим методом решения двумерных задач для уравнения Лапласа является метод, использующий функции комплексного переменного. Пусть ю = у (г) = и (и, у) -~- го (ж, у) некоторая функция комплексного переменного я = т+ !у, причем и и о являются вещественными функциями переменных т и у.
Наибольший интерес представляют так называемые аналитические функции, для которых существует производная савв Ью 7 (з + Ьг) — 7 (з) — !цп = !пп ля»г» ~0 Ья ь» ~0 Ья Приращение»зя = Ьт + !ау, очевидно, может стремиться к нулю многими способами. Для каждого из способов стремления Ья к нулю, вообще говоря, может получиться свое значение предела. Однако, если функция ю = 1" (я) аналитическая, то предел 11ш ь~,1д»я = 1"'(я) не л»-»о зависит от выбора пути. Необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции являются так называемые условия Коши Римана и» =о,, по: о» ° (37) Эти условия можно получить, например, следуюгдим образом. Пусть ю = и + го = 7 (я) аналитическая функция.
Вычислял производные дю (я) дю ю, =и,+го, = я» дя сЬ' дю (я) сЫ юо — — ио + !оо —— оо — — !в д. а. и требуя равенства значений»!ю/дя, определяемых из этих двух со- отношений, получаем с!ю и, + го» = оо — зио — — — , <Ь ' откуда и следуют условия Коши Римана. На доказательстве достаточности этих условий мы не будем останавливаться.
В теории функций комплексного переменного доказывается, что функция, аналитическая в некоторой области С плоскости я = т + + !у, имеет в этой области производные всех порядков и разлагается 304 УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У в степенной ряд. В частности, для такой функции и (х, у) и о(х, у) имеют непрерывные производные 2-го порядка, по х и у.
Дифференцируя первое равенство формулы (37) по х, а второе по у, получаем и,+и„у=О, или Ьзи=О. Подобным же образом, меняя порядок дифференцирования, находим или Ьзо — О. о,, +о„=О, х = т (и, о), и = и (х, у), ) у = у (и, о), о = о (х, у), / (38) взаимно однозначно отображающее некоторую область С плоскости (х, у) на область С' плоскости (и, о), так что каждой точке области С соответствует определенная точка области С' и, обратно, каждой точке области С' соответствует определенная точка области С.
Пусть П = П (х., у) некоторая вещественная дважды непрерывно дифференцируемая функция, определенная внутри области С. Выясним, как изменяется при преобразовании (38) оператор Лапласа функции П = П (х (и, о), у (и, о)) = 6 (и, о). Вычислим производныс функции о': П, = П„и, + О,.о, П = П иу + О„оу, Пя, = Г.„~иу + Пюуо + 2Пиъиууу + Пуп„+ П,о~я, 2 з Пуу = Б„„ии -ь Ю„„оУ + 2Оууиуоу + Ими уу + Пуоуу. Используя их при преобразовании оператора Лапласа, получаем Пуу + Пуу = Пуу (их + иу) + Пуу (оу + оу) + +2Оуу (и,,о, + иуц ) + О,„(и, у + иуу) + П, (о,я+ иуу), (39) Если и и о являются сопряженными гармоническими функциями, то преобразование (38) эквивалентно преобразованию, осуществляемому аналитической функцией ю=~(з) =и+го (з = х+ зу).
(40) Таким образом, действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Обычно говорят, что и и о, удовлетворяющие условию Коши Римана, являются сопряженными гармоническими функциями. Рассмотрим преобразование 2 1) ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 305 В этом случае в силу условий Коши Римана (37) для функций и и о должны выполняться соотношения лл, + и„= и,. + о„. = ов + о„, = !,( (2) /, и,о, + и„ллк — — О.
Следовательно, с учетом гармоничности и и о формула (39) принимает вид 77 +17 (17 +17 ) ~ул( )~2 (41) или (41') 2 л 2 а тт = а, или т т (42) В дальнейшем будем считать а = 1, чего можно всегда добиться изменением масштаба длины. Покажем, что гармоническая функция двух независимых переменных и (р, лр) преобразованием обратных радиусов-векторов переводится в гармоническую функцию 1 о(р., ул) = и(р, ~р), где р = —,. р' (43) В самом деле, функция и(р, лр), а тем самым и функция о(1лр,лр), как функции переменных р и ~р удовлетворяют уравнениям д / ди'1 дзи д л д / д 2 р (, рл' др д л' до'л до 72'11,,, = р — ~р — )+, =О.
20 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Таким образом,. в результате преобразования (40) гармоническая в области С функция 17 (и, у) переходит в функцию 6 = П(и, о), гармоническую в области С', если только ~('(2)~2 ~ О. 6. Преобразование обратных радиусов-векторов. При изучении гармонических функций часто пользуются преобразованием обратных радиусов-векторов.
Преобразованием обратных радиусов-векторов в сфере радиуса а называется такое преобразование,при котором всякой точке М ставится в соответствие точка М', лежащая на том же луче из начала координат, что и точка М, радиус-вектор которой т' связан с радиусом-вектором т точки М соотношением 30б УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У Переходя к переменным р' и у, получаем дп ди др', ди Р =Р, = Р др др' др др" откуда и следует, что и (р', р) удовлетворяет уравнению Ьр, и = О, так как р' Ь,ц,и=р' — (р' — )+ =О.
др (, др) др 1 и(г~, В, у) = ги(г, В, ~р), где г = —,, (44) удовлетворяет уравнению Лапласа Ь„е,и = О, если и(г, В, у)--- гармоническая функция своих переменных: Ьп а ни = О. Преобразование (44) часто называют и р е о б р а з о в а н и е м Кельвина. Легко убедиться непосредственным дифференцированием, что первое слагаемое в операторе Лапласа (32) преобразуется к виду 1 д ( з ди') дзи 2 ди 1 де(ги) гз дг (, дг/ дгз г дг г дг' (45) так что дз (ги) 1 ( 1 д / ди'1 1 дзи ~ д~з „~з1„В дВ ( '" дВ / з1„~В д,рз) или д' 1 ~ 1 д ( д ) 1 д' ~ + —, — ~з1п — ~ + = О.
дгз гз (з1пВ дВ 1 дВ/ з1пзВ дуз~ Замечая,что ди ди дг',з ди — = — — = — г' дг дг' дг дг'' находим, что и удовлетворяет уравнению Ьр е ки = О, так как или Переходя к случаю трех независимых переменных, покажем, что функция где дР д0 дл йгяА = — + — +— дх др дз А„= Рсоза+ ассад+ Лсоз у составляющая вектора А вдоль внешней нормали. Перейдем теперь к выводу формул Грина. Пусть и = и (х, р, г) и о = о (х, у, з) функции, непрерывные вместе со своими первыми производными внутри Т + Е и имеющие непрерывные вторые производные внутри Т.
Полагая до до до Р=и —., Ц=и —, В=ив дх' др' дз и пользуясь формулой Остроградского Гаусса (2'), приходим к так называемой первой формуле Грина: Я,„(( д. „((( (д д. д. д. д д.) „ (3) дз дз д2 д д где Ь = + + оператор Лапласа, — = соз а — чдхз доз дхз дп дх д д + сов д — + сову — производная по направлению внешней нормаду дз ли.
Если учесть соотношение ди до ди до дп до Есаул и 8гайо = ~7и ~7о = — — + — — + — —, дх дх др ду дк дя' то формулу Грина можно представить в виде ~~~и Ьойт = — ~0 ~7и'о'опт+ ~~и — сЬ. (3') Меняя местами функции и и о, будем иметь (4) Вычитая из равенства (3') равенство (4), получаем вторую фор му- лу Грина 308 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У з 2) ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 309 Область Т может быть ограничена несколькими поверхностями.
Формулы Грина применимы и в этом случае, причем поверхностные интегралы следует брать по всем поверхностям, ограничивающим область Т. Для функций и = и (и, у), о = о (т, у) двух переменных имеют место аналогичные формулы Грина. Вторая формула Грина в области Я с границей С имеет вид Х до ди'1 /(иЬзи — оЬзи) ад = ~ ~и — — о — ) дз, дп дп) где сИ = Илг1У, дз-- элемент дуги вдоль С, Ьзо = о, + о, я, дХдп-- производная по направлению внешней к контуру С нормали и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
