УМФ Тихонов (965259), страница 47
Текст из файла (страница 47)
$ 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа 1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач. Рассмотрим стационарное тепловое поле. В гл. ГП было показано, что температура нестационарного теплового поля удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности ис =а Ьи 2 Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры и (я, д, з), не меняющееся с течением времени и, следовательно, удовлетворяющее уравнению Лапласа Ли=О. При наличии источников тепла получаем уравнение Ап=-Л к' (2) где à — плотность тепловых источников, а к — коэффициент теплопроводности.
Неоднородное уравнение Лапласа (2) часто называют уравнением Пуассона. 296 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. 1У Рассмотрим некоторый объем Т, ограниченный поверхностью Е. Задача о стационарном распределении температуры и (х, у, г) внутри тела Т формулируется следующим образом. Найти функцию и(х, у, г), удовлетворяющую внутри Т урав- нению Ьи = — 1(х, у, г) (2) и граничному условию, которос мозкетп быть взято в одном из следующих видов: а) и=)з на Е ди б) — = з'з на Е дп (вторая краевая задача), О Очевидно, что стационарное распределение температуры может установиться лишь при условии равенства нулю суммарного потока тепла через границу области.
Отсюда следует, что функция з"з должна удовлетворять дополнительному требованию ди в) — +6(и — уз) =О на К (третья краевая задача), дп где 4ы зз, зз; 6 заданные функции, ди!дп производная по внешней нормали к поверхности К ~1. Физический смысл этих граничных условий очевиден (см. гл, П1, 1). Первую краевую задачу для уравнения Лапласа часто называют задачей Лирихле, а, вторую краевую задачу задачей Неймана. Если ищется решение в области То, внутренней (или внешней) по отношению к поверхности Е, то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) краевой задачей. 2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля.
В качестве второго примера рассмотрим потенциальное течение жидкости без источников. Пусть внутри некоторого объема Т с границей Е имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность р = сопв1), характеризуемое скоростью ч (х, у, я). Если течение жидкости не вихревое,то скорость ч является потенциальным вектором,т. е. ч = — игаса р, (3) где ~р скалярная функция, называемая потенциалом скорости.
Если отсутствуют источники, то 41гч = О. (4) з 1) ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯ1ЦИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 297 Подставляя сюда выражение (3) для и, получим с11н 8гас1 сгг = О, или (5) т. е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа. Пусть в однородной проводящей среде имеется стационарный ток с объемной плотностью г (я, гр, я).
Если в среде нет объемных источников тока, то с11н1 = О. (6) Электрическое поле К определяется через плотность тока из дифференциального закона Ома Е= —, Л' (7) где Л - проводимость среды. Поскольку процесс стационарный, то электрическое поле является безвихревым, или п о те н ц и аль н ы м ~г, т. е. существует такая скалярная функция сгг (и, р, я).
для которой Е = — 8гас1 сг Д = — Л 8гас1 сг ). (8) Отек>да на основании формул (6) и (7) заключаем, что ЬР=О, т. е, потенциал электрического поля стационарного тока удовлетворяет уравненикг Лапласа. Рассмотрим электрическое поле стационарных зарядов.
Из стационарности процесса следует, что го1К = О, (10) т. е. поле является потенциальным и Е = — 8гас1 сгг. (8') Пусть р (и, у, я) -- объемная плотность зарядов, имеющихся в среде, характеризуемой диэлектрической постоянной е = 1. Исходя из основного закона электродинамики ~~Е„с1о = 4я~е, = 4л~~~ рс1т (где Т некоторый объем, о поверхность, его ограничивающая, е, сумма всех зарядов внутри Т) и пользуясь теоремой Остроградского--- Гаусса (12) гг Из второго уравнения Максвелла — Н = — гог Е следует, что гогЕ = О.
И с 298 УРАВНКНИЯ ЭЛЛИПТИЧКОКОГО ТИПА (ГЛ. 1У получаем йнЕ = 4яр. Подставив сюда выражение (8) для Е, будем иметь Ьэг = — 4яр., (13) т. е, электростатический потенциал цг удовлетворяет уравнению Пуас- сона. Если объемных зарядов нет (р = О), то потенциал гг должен удовлетворять уравнению Лапласа Чг =~з(и, у. г), Чг =,6(и, у;г), цз = 6(и, у,г), (14) разрешая которые относительно и, у, г, можно написать и = згз (Цы Чг, Чз), У = згг (Чы Чг, Чз), г = Фз (Цы Чг, Чз) (15) ПолагаЯ Ч1 = См цг = Сг, цз = Сз, где Сы Сг, Сз постоЯнные, получим три семейства координатных поверхностей: уг(л, У, г) = Сы уг (и, У, г) = Сг, (з (и, У, г) = Сз (1б) Рассмотрим элемент объема в новых координатах, ограниченный тремя парами координатных поверхностей (рис.
44). Вдоль ребра АВ Чг = сопзФ, Чз = сопз1, вдоль АВ Чз — — сопз1э Чг — — сопзФ, вдоль АС Чз = сопзФ, цз = сопзс. Направляющие косинусы касательной к ребрам АВ, АС и АР пропорциональны соответственно д'рз дцгг дцгз дцз ' дцз ' дцг ' др| дцгг дцгз дЧг дЧг дцг д~рг д Рг дцгз дцз дцз дцз Условие ортогональности ребер будет иметь вид доз доз д~Рг дрг доз доз 11 (. ~ й) (17) дц; дць дц, дць дц,, дця Основные краевые задачи для рассмотренных процессов относятся к трем типам, приведенным выше. Мы нс будем здесь останавливаться на некоторых других краевых задачах, характерных для различ1з ных физических процессов. Некоторые 1 из этих задач будут приведены в при- ЬГ ложе ниях. 3.
Уравнение Лапласа в криво- линейной системе координат. ВыА Л1Ия1 ведем выражение для оператора Лапласа в ортогональной криволинейной системе координат. Пусть в пространстве вместо декартовых координат и, у, г введены криволинейные координаты Чы Чг, Чз с помощью соотношений з 1) ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 299 Вычислим элемент длины в новых координатах; х 2 сЬ =Йт +ЙУ +сЬ = ЙЧ1+ ЙЧ2+ ЙЧз + 2 2 2 2 д1р1 дЧ21 д1р1 ~, дч1 дчг дчз / дсрг д1рг дугг +1д Йчг+д Йчг+д Йчз + ~, дч1 дчг дчз 2 с'доз д1рз дугз + 1 ЙЧ1 + ЙЧ2+ ЙЧз Ч1 Ч2 Чз (18) Раскрывая скобки и учитывая условия ортогональности (17), получаем сЬ = Н1 ЙЧ1 + Н2 ЙЧ2 + Нз ЙЧз (19) где Нг д1Р1 + д1Рг + д'Рз Н ~р1 дарг Йрз (20) Вдоль каждого из ребер элементарного объема меняется только одна координата, поэтому для длины этих ребер согласно формуле (19) будем иметь Й21 = Н1 ЙЧ1, Йз2 = Н2 с1Ч2) сЬЗ = Нз ЙЧз, (21) так что элемент объема равен сЬ = Йз, сЬ2 сЬз = Н1 Нг Нз ЙЧ, ЙЧг ЙЧз.
(22) Рассмотрим теперь некоторое векторное поле А (я, у, г). Вычислим Й12 А, определяемую известной формулой векторного анализа Йсгя А = 11п1 и — со ем (23) где Н поверхность, ограничивающая некоторый объем ем, содержащий рассматриваемую точку М. Применим эту формулу к элементу объема Йе, изображенному на рис. 44. Пользуясь теоремой о среднем, можно представить разность потоков вектора А через противоположные грани, например через правую и левую, в виде 1,11 — — А1 Йзг сЬз ~21-~аяс — А1 сЬ2 сЬз ~21 зоо УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1У Принимая во внимание формулы (2Ц, получим О1 = Нз нз Аг~дсз.ссзс — нз нз Аз~21 с1Ч2 с(Чз = д (Н2 Нз А1) с)Ч1 сзЧ2 с)112.
(24) Аналогично вычисляются две другие разности потоков через противо- положные грани: д Оз = — (Нз Н1 -42) с1Ч1 с1Ч2 11Чз, ач, (25) д Оз = — (Н1 Нз 4з) с1Ч1 с1Ч2 асЧз дЧз (26) Подставляя в формулу (23) значение Ц А„с1д = С,сз+ 1„12+ с22 и поль- 5 зуясь формулой (22), получаем выражение дивергенции в криволинейных ортогональных координатах: 1 ( д д д с(1тА = ~ — (НзнзА1) + — (НзН1-42) + — (Н1 НгАз) Н1Н2нз аЧ1 дЧг дЧз (27) Предположим, .что поле А потенциальное, т. е. (28) А = ягас1и. Тогда ди 1 ди А1 = аз1 Н, аЧ1' 1 ди 1 ди Аз = — —; Аз = — —. (29) Нз дЧ2 Нз дЧз 1 ( д 1'Нзнз аи11 и, и, н. (ач, (, н, ач,,1' Таким образом, уравнение Лапласа Ьи = 0 в ортогональных криволинейных координатах Ч1, Чз и Чз записывается следующим образом: 1 ~ д (Нгнз ди'~ Н1Н2нз ~дЧ1 1, Н1 дЧ1( д ни д д нн д Подставив в (27) выражения (29) для А1, Аз, Аз, получим выражение для оператора Лапласа: з 1) ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯ1ЦИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 301 Рассмотрим два частных случая.
1. Сферические координаты. В этом случае дз = т, уз = д, уз = яз и формулы преобразования 115) принимают вид и = тя1пдсовр,,у = твшдвш~р, з = з совд. Вычислим йяз: йвз = 1яшдсояВзй + тсовдсовуйд — тяпздя1п байр)~+ +(я1пдяшрйт+тсоядя1пуйд+тя1пдсовуйу) + + (сов д йт — т вш д йВ); после раскрытия скобок и упрощений находим йвз = йт + т йд +т в1п Вйр', т. е. тз в1п В дт дт или окончательно 1 д ( диз) 1 дзи — яш — +,, = О. ввчд дд1 дВЕ зя|пРВ ар' = ' (32) 2. Цилиндрические координаты.
В этом случае дз = р, уз=уз, уз=хи и = рсоа уз, д = рашпер, з = з, так что Нз = 1, Нз = р, ЕЕз = 1. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах принимает вид 1 д Е ди'1 1 д'и д'и Если искомая функция и не зависит от з, то уравнение 133) упроща- ется: 1 д / ди'1 1 дзи Ьр,,и= — — 1р — /+— = О. Р др др Р д'Р (34) 4.
Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Большой интерес представляют решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией, т. е. зависящие только от одной переменной т или Р. Нз = 1 ЕЕз = т Нз = твшд. Подставив значения Н„Нз, ЕЕз в формулу (31), получим уравнение Лапласа в сферических координатах: 302 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. 1У Решение уравнения Лапласа и = С (г), обладающее сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения Интегрируя это уравнение,находим Сз С= — +Сг, где Сз и Сг произвольные постоянные.
Полагая, например, Сз = 1, Сг = О, получаем функцию 1 Со = —, т (35) которую часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Аналогично, полагая и пользуясь уравнением (33) или (34), найдем решение, обладающее цилиндрической или круговой симметрией 1в случае двух независимых переменных), в виде С (р) = Сз 1в р + Сг . Выбирая Сз = — 1 и Сг = О, будем иметь 1 оо =1П Р (36) е и = —. г Аналогично функция 1п(1/р) удовлетворяет уравнению Лапласа всю- ду, кроме точки р = О, где она обращается в (положительную) беско- нечность, и с точностью до множителя совпадает с полем заряженной линии (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
