УМФ Тихонов (965259), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Этот случай можно получить как пре- т10) о,оз '2,0 о,от О,ое 1Д а,оэ 0,04 о,оз 1,О 0,ОЯ 0,О1 ол 1,4 ц о.о ' о 05 1О 1я то дельный при е -4 О, когда скрытая теплота выделяется нс мгновенно, а Рис. 43 на некотором промежутке ( — е, +е), причем должно выполняться усло- вие с (и) пи = Л. Е Однако эту задачу можно решить и непосредственно, пользуясь методом подобия. Нетрудно убедиться, что все условия задачи останутся неизменными, если масштаб длины увеличить в й раз, а масштаб времени в Йз раз.
Это значит, что решение задачи зависит от аргумента л/тУ4, т. е. что и(л,1) =у Отсюда, в частности, следует, что движение нулевой изотермы будет описываться уравнением Р = азУ4, где о значение аргумента, при котором 1 (а) = О. Пля определения функции 1 мы имеем следующие е Воспользовавшись графиком функции 1э(Д) =, данным на рис. 43, легко графически опреде- 282 11РИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 условия: 2 ~Хз 2 1 2 гХ Хз = — 2я для 0<я<о, ~Ь луг =-2я для о<я<ос., ~Ь Хз (0) = сы Хз(оо) = с, Хг(о) = Хз(о) = О, й~ Д (~) — ля Д (~) = Лл —,.
Поэтому функция Х (з) имеет вид Хз (з) = Аз + Вз Ф вЂ” ~, если 0 < я < о, Х()= Хз (з) = Аз + Вз Ф вЂ”, если о < я < оо. 12аз/ ' Ъ'. Уравнение Эйнштейна — Колмогорова Микроскопические частицы, находящиеся в среде в свободном, взвешенном состоянии, совершают беспорядочное движение, называемое броуновским. Обозначим вероятность для частицы, вышедшей из точки ЛХе в момент 1о, находиться в момент 1 в малой окрестности Ь И точки ЛХ функцией И'(ЛХ, 1; Лх, Хо) . Хз ~'.
(1) Вероятность здесь понимается в том смысле, что если в течение некоторого малого промежутка Ь1 = 1 — 1е из точки ЛХе выходит Для определения постоянных Аы Вы Аз, Вз мы должны использовать условия (2) и (3), из которых вытекают формулы (6). Пля определения о получается условие (7). Таким образом, аналитическая часть решения в обоих методах одинакова. Изложенные здесь соображения показывают, что задачу о промерзании можно решать также и в тех случаях, когда скрытая теплота выделяется не при фиксированной температуре, а на некотором интервале температур.
Подобным же методом можно решить задачу, если имеется не одна, а несколько критических температур, что встречается при фазовых превращениях в процессе перехода от одной кристаллической структуры к другой, например при перекристаллизации стали. Наиболее эффективным методом численного решения задач о фазовых переходах является метод конечных разностей, который применим для случая двух и трех пространственных переменных при наличии нескольких фазовых переходов (см. Пополнение 1, ~ 4).
'1г. УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА--КОЛМОГ01эОВА 283 И" (М; й Мо, 1о) сЛ'м = 1 (1 > 1о) (2) и что если начальная концентрация частиц в некоторый момент вре- мени 1е равна 9з(М), то концентрация и(М, 1) этих частиц в момент 1 > гэ будет равна и(М, 1) = / Иг(М, Й Р, 1о) д(Р) ЖЪ, (3) где интеграл берется по всему пространству. Из последнего равенства следует уравнение В И (М й:, Мо 1о) = / И'(М й, :Р, В) И'(Р; 9; Мо, 1о) дранг, (4) имеющее место для любого значения го < 9 < й Это последнее уравноние называют уравнением Эйнштейна Колмогорова. Покажем, что при определенных условиях, наложенных на функцию И~(М, Й Мо, 1е), решение уравнения Эйнштейна Колмогорова удовлетворяет некоторому уравнению с частными производными параболического типа.
Рассмотрим случай, когда положение точки М характеризуется одной координатой т. Предположим, что функция И' (и, Й иэ, 1о) удовлетворяет следующим условиям. 1о х — 4 1 11ш =!пп — / (я — Я) И'(т, 1 + т; ~, 1) йх = А ф 1). (5) Если за время т частица переходит из положения 4 в положение и, то (т — С)/т является средней скоростью частицы. Таким образом, первое условие означает требование существования конечной скорости упорядоченного движения частицы. Леонтович М. А.
Статистическая физика. Мч Л., 1944. Гл. Ч1, Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей О УМН. 1938. Выл. 5. С. 5 41. достаточно большое количество частиц Х (причем взаимодействие между ними пренебрежимо мало), то концентрация этих частиц при Ы вЂ” > 0 в точке М в момент г будет равна И'(М, Й Ме, ге). При этом за единицу массы частиц принимается вся масса выходящих из точки Ме частиц.
С подобным же явлением мы встречаемся при диффузии газа, происходящей в какой-либо (например, воздушной) среде. Функция И'(М, Й Мо, 1в) представляет функцию точечного источника, соответствующего единичной массе. Очевидно, что 284 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ РП 2а 1пп =11ш — ~ (х — 8) И'(х,1+т; ~,1)дх=2В(~,1). (6) (х з) 1 2 о т т,/ Величина (х — ()~ не зависит от направления смещения точки х отно- сительно точки С.
Срсднее значение квадрата отклонения за время т (х — С)з = ~(х — С) И'(х 1+т С 1)г1х обычно рассматривается как мера неупорядоченности движения за этот промежуток времени. Требование 2' означает предположение линейной зависимости среднего квадрата от времени при малых т. 3' 1пп = 1пп — / ~х — $~ И'(х, 1+т; ~, 1)г1х = О. (7) ~х — Ц 1 Г з -эо т т / Функция И'(х, Г+ т; С, 4), являющаяся функцией точечного источника, для малых значений т должна быстро убывать, когда ~х — (~ — з оо, и возрастать, когда 1х — ~~ мало. Для получения дифференциального уравнения Эйнштейна Колмогорова умножим обе части уравнения (4) на произвольную функцию ф (х), обращающуюся в нуль вместе со своей производной на границах области интегрирования, и проинтегрируем по всей этой области: И'(х, 1+ т1 хо, 1о) ф(х) Нх = = / И' (6 1; хо, 1о) д4 / И' (х, 1+ т; ~, 1) ~ (х) г1х.
Разложив в правой части функцию 1О (х) в ряд Тейлора по х — 6: 2 3! з' Ы) 2 т (ь ) где С' среднее значение, заключенное между х и С, и разделив на т, после простых преобразований будем иметь Ит (х, 1+ т; хо, 1о) — И' (х, 1; хо, 1о) ф(х) ' Нх = (х — с)з = /И'(8, И*,1) ~ф'(Ы) +ф" Ю ~ 8+ + — ~'о (С*) (х — С) И' (4, 1; хо Го) И' (х, 1+ т; С, 1) о(~ дх. 3!т /,/ предполагая, что 1у"(х) ограничена: ~ф"'(х)~ < А, Ч.
УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА -- КОЛМОГОРОВА 285 и учитывая, что И' Ы Й хо; 1о) пч = 1, мы получим — 1 1 фп'(4*) (х — 4) И'Ы, Й хо ге) И'(х, 1+ т; ~, 1) ~КАх < т /,/ < — / ~х — (~ И'(х, 1+ т; ~, 1) 4х = А Г з А(х — ф~з т т Из условия 3' вытекает, что это выражение при т -э О стремится к нулю. Поэтому, переходя к пределу при т — э О и используя условия 1', 2', получаем дИ' (х; ~:, хо, 1о) „ /Ф() Ф (х) д1 с~х = = /И(6,й": е)И'ЯАа1)+4'ЮВК,.1)1К. После интегрирования по частям правой части, принимая во внимание, что функция ф обращается в нуль вместе со своей производной на границе области интегрирования, получим ~ди д(АИ) дг(ВИг)1 д1 дх дхг Так как это соотношение должно иметь место для произвольной функции уг(х), то для функции вероятности И'(х, Й хе, 1о) мы получаем дифференциальное уравнение Эйнштейна Кол- могорова дИ' д (АИ') дг (ВИ') д д (8) дхг дИ' д дИг дИ" (9) где д= — А, +В,, =м, Из уравнения (9) видно, что величина В имеет физический смысл коэффициента диффузии.
Если рассматриваемый процесс однороден в пространстве и времени, т. е. функция И' зависит только от разности С = х — хе и й = 1 — 1е, то коэффициенты А и В не зависят от х Полученное уравнение является уравнением параболического типа, подобным уравнению теплопроводности, и может быть записано в виде 286 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 и 1 и являются постоянными. Уравнение (8) в этом случае является уравнением с постоянными коэффициентами = — А +В (10) д1 дх ох Если функция зависит только от ~т — ~~, т.
е. вероятности смещения направо и налево на одинаковые расстояния от точки С равны, то очевидно, что А должно быть равно нулю. Аналитически это следует из формулы (5) в силу того, что подынтегральная функция нечетна. В этом случае уравнение (8) является простейшим уравнением теплопроводности пИ изИг д1 дяз Ч1. й-Функция 1. Определение и-функции. Наряду с непрерывно распределенными величинами (масса, заряд, тепловые источники, механический импульс и т. и.) часто приходится иметь дело с сосредоточенными величинами (точечная масса, точечный заряд, точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и т. д.). Не следует забывать, что эти понятия являются «предельными образами» и могут быть охарактеризованы при помощи понятия «обобщенных функций» з~.
Имея ввиду физический смысл задачи, рассмотрим потенциал в точке М (см. гл. 1Ч, 9 5) единичной массы, сосредоточенной внутри некоторого объема Т в окрестности точки Ме. Возьмем какую-либо последовательностьфункций 1 р„) (р„> О), каждая из которых равна нулю вне шара о'згз радиуса е„с центром в точке Ме, где е„— з 0 при и — з сю, и для которых, начиная с некоторого и, ~~~ р„(Р) г1тр = ~~~ р„(Р) Игр = 1. Рассматривая последовательность функций ип=ф — Нт, т являющихся потенциалами масс, распределенных с плотностями р„, и совершая предельный переход при и — з оо, получаем 1 (2) 1пп и„= ге„ы П Подробнее смс Курант Р.
Уравнения с частными производными. М., 1964; Гельфанд И. М., Шилов Е. Г. Обобщенные функции и действия над ними. М., 1959. (Обобщенные функции; Вып. Ц. 287 У1. Ь-ФУНКЦИЯ где 1 (М) - произвольная непрерывная функция точки М. Имея в виду, что при и — ~ оо функции р„равномерно стремятся к нулю во всякой области, не содержащей точки Ме, и неограниченно возрастают в окрестности озге точки Ме, иногда определяют Ь-функцию формально при помощи соотношений М ) О и р и М ф М 0 ) ) оо при М = Ме (4) (5) Равенство (5) является очевидным следствием формулы (3) при г" = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
