УМФ Тихонов (965259), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В этом случае ставится задача об отыскании решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего граничным условиям одного из трех типов, заданным для всех 1 > — оо. Если стержень ограничен, то задаются граничные условия на обоих концах стержня. Для полубесконечного стержня задается лишь одно граничное условие.
Рассмотрим первую краевую задачу для полубесконечного стержня. Найти ограниченное. решение уравнении теплопроводности в области х > О, удовлетворяющее условию и (О, .1) = р (1), (1) где р(1) заданная функция. Предполагается, что функции и(х, 1) и д(1) ограничены всюду, т. е. (и(х, 1)~ < М, ~д(1)~ < М. з 4) ЗАДАЧИ БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ 251 Как будет показано ниже (см. текст, набранный мелким шрифтом), функция и (х, 1) определяется однозначно. Возьмем наиболее часто встречаюшийся случай граничного условия сл(1) = А сов асй (2) Эта задача изучалась еще Фурье и впервые была применена при определении температурных колебаний почвы (см.
Приложение 1). Запишем граничное условие в виде сл(1) = Ае™ (2') Из линейности уравнения теплопроводности следует, что действительная и мнимая части некоторого комплексного решения уравнения теплопроводности, каждая в отдельности, удовлетворяют тому же уравнению. Если найдено решение уравнения теплопроводности, удовлетворяюшее условию (2'), то его действительная часть удовлетворяет условию (2), а мнимая -- условию и (О, ~) = слл (1) = А сйпасй Итак, рассмотрим задачу г ил=а ияс, (3) и,(О., г) = А е' '.
Ее решение будем искать в виде и(х, .1) = Аеаседс (4) где о и Сс - не определенные пока постоянные. Подставляя выражение (4) в уравнение (3) и граничное условие, находим о = — ~3,,3=и, г аг откуда г ссс г г+с г Для и (х, л) имеем и(х, ~) = Асхр х х + с ~ — х+алг Действительная часть этого решения и(х, с) = Аехр ~ — х сов х — х+ал1 (6) 252 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П и(х, 1) = Аехр — — х соз — — х+ы1 .
(7) Аналогично решается задача. без начальных условий для ограниченного отрезка г ис — — а и,„, и (О, .1) = Асовыг, и(1, 1) = О. (8) Переписывая граничные условия в виде й (О, 1) = А е '"', й (1, 1) = О, будем искать решение в форме й(х,1) =Х(х)е (9) Подставив зто выражение в уравнение (8), получим для функции Х (х) уравнение Х" + — Х = О, или Х" + узХ = О., аг (10) 'у аг у' 2аг и дополнительные условия Х (0) = А, Х (1) = О. Отсюда для функции Х (т) будем иметь Х (х) = А = Хз (х) + 1Хг (х), зуп у(1 — х) яп у1 (12) где Хг и Хг. - вещественная и мнимая части функции Х(х). Пля функции й (х, 1) получаем выражение яп у(1 — х) й(х,г) =А е яп у1 Выделяя вещественную часть функции й (х, «), находим решение исходной задачи без начальных условий в виде и (х, 1) = Хг (х) сов агг+ Хг (х) згп ый (14) удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному условию (2).
Формула (6) в зависимости от выбора знака определяет не одну, а две функции. Однако только функция, соответствующая знаку «минус», удовлетворяет требованию ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи получаем в виде 4) ЗАДАЧИ БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ 253 Докажем единственность решения эалачи без начальных условий для полуограниченной прямой.
Будем исходить из формулы г ссг Г х и(х С) = г " с С' "с и(О, т) сгт-'т 2, ~Я / (ог (с — т))зГг со г сс Сс — со'с е с 4Сс — сос в (С С ) с(Г— 2,' Сто.з (' о = 11 т 1г (1б) (с > со), которая представляет любое ограниченное решение уравнения теплопроводности через его начальное значение и (х, Со) и граничное и (О., С) = д (С) в области х > О,. С > Со. Покажем,что 1пп 1г(х, С) = О., Со — с — сс (1б) если только (и (х., С)~ < М при любом С. Действительно, / е 'с(ос — / М 11г~ < зсх ог с г с(аг ~/ 'г Π— ьр с зссог Сс — со) Π— 'оС где с — х с -с-х ос и ог= 2, Ро — о 2,/Р$ — о Отсюда и следует равенство (1б), .так как х и С фиксированы, а Со с — сю.
Если в формуле (1б) фиксировать х и С и устремить Со о — оо, то и (х, С) Мы не даем здесь явного выражения для Хс и Хг, хотя это и нетрудно сделать. Если граничная функция представляет собой комбинацию гармоник разных частот, то решение такой задачи может быть получено как суперпозиция решений, соответствуя>щих отдельным гармоникам. 254 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 будет равно пределу только первого слагаемого и мы получим формулу 2 с ,г 2 з/Я ) [аз (1 — т))з7з (17) доказываюшукд что цвух различных решений нашей задачи быть не может. Можно также доказать, что для любой ограниченной кусочно-непрерывной функции д (1) формула (17) представляет решение поставленной задачи.
Аналогично может быть исследована задача без начальных условий для ограниченного отрезка (О < х < 1). Эта задача без условия ограниченности имеет многозначное решение, так как функция ип(и,1) =Се [ 1 ~ гйп — х — азг . яп при любом п представляет решение этой задачи с нулевыми граничными значениями. Однако решения такого типа при 1 — г — оо не ограничены и не составляет труда доказать единственность ограниченного решения поста- вленной задачи. ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ П1 п опри 0 < х < 1, Р(Я) = 0 вне интервала (О, 1); 3) тепловые источники распрецелены с плотностью 1 (я, 1) по всему стержню, а начальнал температура равна нулю, рассмотреть, в частности, случай 1 = по = сопзс (стационарные источники). 4.
Полуограниченный стержень с теплоизолированной боковой поверхностью был равномерно натрет до температуры и (я, О) = ио = совзФ (т ) О). 1. Найти функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для: а) полуограниченного стержня при граничных условиях 1-го и 2-го рода и при отсутствии теплообмена на боковой поверхности; б) неограниченного сторжня при наличии тсплообмена на боковой поверхности; в) полуограниченного стержня при наличии теплообмена на боковой поверхности и при граничных услОвиях псрвых двух типОв. 2.
Найти функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для полуограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью дп для третьей краевой задачи (граничное условие вида — (О, 1) — 6 и (О, 1) = дх = У(1И. 3. Решить уравнение теплопроводности для случаев, описанных в задачах 1а 1в, если: Ц в точке х = (о действует источник тепла () = () (1), в частности Ю = Юо = сопзС; 2) задало начальное распределение температуры и(я, О) = Зз(я) в частности 255 ЗАДАЧИ К ГЛАВК РП Конец стержня, начиная с момента 1 = О, поддерживается при температуре, равной нулю; и (О, .1) = 0 (1 > 0). Найти температуру стержня и(к, 1) и, пользуясь таблицами интеграла ошибок построить графики по х на интервале 0 ( я ( / функции и(т, 1) при 1 = = ( /16а, 1 = / /2а, 1 = ( /а . Указание.
Удобно ввести безразмерные переменные х =х/(, в=а 1/(, в=и/ио. 5. Конец полуограниченного цилиндра в начальный момент времени 1 = 0 открывают в атмосфере, где концентрация некоторого газа равна ио. Найти концентрацию газа в цилиндре и (я, 1) для 1 > 0 и в > О, если начальная концентрация и (х, 0) = О. Пользуясь таблицами интеграла ошибок, установить, через какое время в слое, отстоящем на расстояние ( от конца цилиндра, концентрация газа достигнет 95% внешней концентрации. Найти закон движения фронта постоянной концентрации. б. К концу полуограниченного стержня, начальная температура которого была равна нулю, подводится тепловой ноток 1 ия (О, 1) = д (1). Найти температуру и (х, 1) стержня, если: а) стержень теплоизолирован с боков; б) на боковой поверхности стержня происходит теплообмен (по закону Ньютона) со средой нулевой температуры.
Рассмотреть частный случай д = Оо = сопчй 7. Конец полуограниченного сторжня поддерживается при постоянной температуре ио:, на боковой поверхности стержня происходит теплообмен со средой, постоянная температура которой равна иы Начальная температура стержня ранна нулю. Найти и (х, 1) --- температуру стержня. 8. Решить задачи ба, бб, считая, что и (в, 0) = иО = соней 9. Найти установившуюся температуру вдоль полуограничонного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью,на конце которого а) задана температура и(0, 1) = Асозый б) задан тепловой поток („З(1) = Взшый в) происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой меняется по закону с (1) = С зшый 10.
Пользуясь методом отражения, построить функцию влияния мгновенного точечного источника для ограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью при граничных условиях 1-го и 2-го рода. 11. Неограниченный стержень составлен из двух однородных стержней, соприкасающихся в точке г = 0 и обладающих характеристиками аы кг н аз, йз соответственно. Начальная томпература Т пи*>0 Найти температуру и (и, 1) стержня для случая, когда боковая поверхность теплоизолирована. 256 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 ПРИЛОлКЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 1.
Температурные волны Задача о расп1юстранении температурных волн в почве является одним из первых примеров приложения математической теории теплопроводности, развитой Фурье, к изучению явлений природы. Температура на поверхности земли носит, как известно, ярко выраженную суточную и годовую периодичность. Обратимся к задаче о распространении периодических температурных колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное полупространство 0 < < т < оо. Эта задача является характерной задачей без начальных условий, так как при многократном повторении температурного хода на поверхности влияние начальной температуры будет меньше влияния других факторов, которыми мы пренебрегаем (например, неоднородность почвы). Таким образом, приходим к следующей задаче П.
Найти ограниченное решение уравнения тенлопроводности ди де и — =ог 1О<х<оо, — со<1), дс дяг удовлетворяюшее условию (2) и(0, 1) = Асозшй Эта задача была рассмотрена в гл. 1Н. Ее решение имеет вид (см. гл. 1Н, ~ 4, (7)) и(т, 1) = Аехр — и соз — и — ш1 . (3) На основании полученного решения можно дать следующую характеристику процесса распространения температурной волны в почве. Если температура поверхности длительное время периодически меняется, то в почве также устанавливаются колебания температуры с тем же периодом, причем верны следующие утверждения.
1. Амплитуда колебаний зкспоненциально убывает с глубиной: А(х) = Асхр — — и т. е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый закон Фурье). 2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время о отставания максимумов (минимумов) температуры в почве от Л К ар слоу Х. С. Теория теплопроводности. Мл Л., 1947. Гл. П1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
