УМФ Тихонов (965259), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В силу принципа максимального значения и„(х, 1) < Уо(х), так как это неравенство имеет место при х = О, х = 1 и 1 = О. Таким образом, ип (х, 1) есть монотонно не убывающая последовательность, Функции и» (х, 1), определенные при помощи формулы (19) для Зз» (х), являются непрерывными решениями уравнения теплопроводности с нулевыми граничными условиями и начальными условиями 220 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П ограниченная сверху функцией (Го (х), откуда следует, что эта после- довательность сходится.
Нетрудно видеть,что и (х, 1) = 1пп и„(х, 1) = !пп / С (х, ~«1) 1о„«(~) с!с = о 1 = ( О'(х,61)Ю(С)«(С < б'о( ), о так как переход к пределу под знаком интеграла законен. В силу примечания на с. 212 эта функпия удовлетворяет уравнению и нулевым граничным условиям при 1 > О. Покажем, что эта функция непрерывна при ! = 0 для 0 < х < 1. Пусть хо < 1. Выберем п так, чтобы хо < 1(! — 1)и). В этом случае «««в (хо) = 1«о (хо).
Принимая во внимание«что и„(х, 8) < и (х, Й) < 11о (х) !пп и,„ (х, 1) = !!т 11о(х) = у«(хо), *-«~о х-«ко « — «о заключаем, что существует продел !пп и (х, 1) = О«(хо) « ~-«*о « — «о не зависящий от способа стремления х — г хо и 1 — г О. Отсюда и следует непрерывность и (х, 1) в точке (хо, 0). Эта функция ограничена, так как она не превосходит 11о (х). Итак, для «««(х) = сх теорема доказана. Заменив х на 1 — х, убеждаемся в том, что теорема верна для (2") !о (х) = й (! — х) .
Отсюда следует, что она верна для любой функции типа «д(х) = В+ Ах« так как подобная функция может быть получена суммированием (2') и (2"). Палее, отсюда следует также, что теорема верна для любой непрерывной функции без предположения о том, что о«(0) = оз (1) = О. В самом деле, любую функцию ««о (х) такого типа можно представить в виде ~р (х) = ~р (0) + — (~р(1) — о«(0))) + ф (х)« где слагаемое в квадратных скобках линейная функция, а «!«(х) непрерывная функция, обращающаяся в нуль на концах отрезка: ~ г) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 221 ф (0) = ф(1) = О.
Так как мы убедились уже в том, что для каждого слагаемого теорема применима, то отсюда следует, что теорема верна и для зз (х). Обратимся теперь к доказательству теоремы для произвольной кусочно-непрерывной функции Ээ(х). Формула (19) и в этом случае определяет решение, удовлетворяющее уравнению и нулевым граничным условиям. Пусть точка хе какая-либо точка непрерывности функции х(х).
Докажем, что для любого е можно найти б(е), такое, что ~и(х, 1) — х(хо)~ < е, если ~х — хе~ < б(е) и 1 < 6(е). В силу непреРывности фУнкции ~Р(х) в точке хе сУществУет ~1(е), такое, что ~Ф (т) 9~ (хо)) < для (х — хе~ < 7~ (е), 2 откуда е е ~Р(хо) — — < ~Р(х) < У(хе) + — длЯ ~х — хо~ < Д(е). (23) 2 2 Построим вспомогательные непрерывные функции у (х) и ~р (х): е 'Р(х) = 'Р(хо) + для ~х — хо~ < Ч(е) 2 (а) Д (х) ~ ~ф (х) длл ~х — хе( > Д (е), е ~р (х) = зз (хо) — — для ~х — хе( < Д (е), (б) ~Р(х) < Зз(х) длЯ !х — хе/ > Д(е).
На интервале !х — хе! > ц (е) функции р (х) и р (х) удовлетворяют только условиям (а) и (б), а в остальном произвольны. В силу неравенств (23) (24) Ч (х) < Ч (х) < Э (х). Рассмотрим функции и (х, 1) = / С (х, я, 1) ~р (б) дс, о и(х, 1) = / С(х, б, 1) ~р(б) с~б. о 222 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П Ввиду непрерывности функций ~р (х) и ~р (х) функции и (х, «) и и (х, «) непрерывны в точке хе, т. е.
найдется такое б (е), что е ~и(х, «) — р(х)~ < —, для ~х — хо( < б (е), «< б (е), е ~И(х, «) — ~р(х)~ <— откуда а (х,. «) < р (х) + '- = р (хе) + е, 2 для ~х — хе~ < д(е), «< б(е). и (х, «) > р (х) — — = ~р (хе) — е В силу неотрицательности функции С (х, С, «) из формулы (24) сле- дует, что и(х, «) < и(х, «) ( и(х, «). (25) Отсюда получаем неравенства р(хо) — е < и(х, «) (~р(хе)+с для ~х — хо~ < б(е) «< б(е) или с начальным условием и(х, О) =О (26) и граничными условиями и (О, «) = О, и («, «) = О. Будем искать решение этой задачи и (х, «) в виде ряда Фурье по собти ственным функциям задачи (11), т. е, по функциям яш — х: яп и (х, «) = ~ и„(«) зш — х, и=1 (27) ~и(х, «) — ~р(хе)~ < е для ~х — хе~ < б(е).
«< б(е), что и требовалось доказать. Ограниченность функции ~и (х, «)~ следует из (26) и из ограниченности функций и(х, «) и и(х, «). Этим теорема доказана. 4. Неоднородное уравнение теплопроводности. Рассмотрим неоднородное уравнение теплопроводности ис — — а и„+1(х, «) ~ г) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 223 считая при этом 1 параметром.
Для нахождения функции и (т, 1) надо определить функции ип (с). Представим функцию 7 (т, с) в виде ряда 7 (т, с) = ~ (и (с) зсп — т, п=1 где 7п (Г) = — / 7 (С, 1) зш — С сСС. 2 Р нп ~/ о (28) Подставив предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1), будем иметь — ( — ) ' . (о+в,.(е — 1.(е) = ° . п=1 Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты разложе- ния равны нулю, т. е. , скотт исс (1) — о ( с исс Ф + асс Й). (29) Пользуясь начальным условием для и (т, 1) и(т, 0) = ~ив(0)гйп — к=О, п=1 получаем начальное условие для ип(г): ип(0) = О. (30) Решая обьскновенное дифференциальное уравнение (29) с нулевым на- чальным условием (30) Ц, находим „С 1 и„(1) = / е (чт) с ~ („(т) Йт. о (ЗЦ Подставляя выражение (31) для ип (1) в формулу (27), получаем ре- шение исходной задачи ввиде ~с См.
текст, набранный мелким шрифтом в конце п. 4 З 3 гл. П. и (т, г) = ~ п=1 с 1 = е (чн) ' 0 '1 Г"„(т) с1т зш — т. (32) о 226 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. 1П Введем новую неизвестную функцию и (х, 1): и (х, 1) = 17 (х, 1) + и (х, 1), (37) представляющую отклонение от некоторой известной функции 1С(х, 1).
Эта функция и (х, 1) будет определяться как решение уравнения ис — о и,,=1(х,1), ~ (х, 1) = ~ (х, 1) — [Пс — азу„[, с дополнительными условиями и (х, 0) = ~р (х), ср (х) = ср (х) — (7(х, 0); и (О, 1) = слс (1), дс (1) = слс (1) — 17 (О., 1); и (1 1) — слз (1) слз (1) ря (1) 1' (1 1) Выберем вспомогательную функцию 1С (х, 1) так, чтобы 1лс(1) =0 и рз(1) =О., для чего достаточно положить (см. гл. П, 'з' 3, и.
5) сс (х 1) — дс (1) + [Слз (1) дл (1)[ Таким образом, нахождение функции и (х, 1), дающей решение общей краевой задачи, сведено к нахожденикс функции и (х, 1), дающей решение краевой задачи с нулевыми граничными условиями. Метод нахождения функции и (х, 1) дан в п. 4. Изложенная выше формальная схема решения задач при наличии неоднородностей в уравнении и граничных условиях не всегда удобна для представления искомой функции и (х, 1). Трудности, возникающие при нахождении вспомогательной функции о(х, 1), зависят от функции 1с (х, 1), от которой ищется отклонение.
В частности, для задач со стационарными неоднородностями удобнее выделять стационарное решение и искать отклонение от этого решения (см. гл. 11, 3 3, и. 6). Рассмотрим, например, задачу для ограниченного стержня (О, 1), концы которого поддерживаются при постоянных температурах ио и ил. ис=а и х, 2 и (х, 0) = ср (х), и(0,.1) =ио, и(1, 1) = ис. Решение будем искать в виде суммы и(х, 1) = и(х) + и (х, 1), ~ г) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 227 где и (г) стационарная температура, а и (х, 1) отклонение от стационарной температуры.
Для функций и (т) и о (г, г) будем иметь условия пс=а нк,; г ил=О, и (0) и (1) и (г, 0) = пг(г) — й (т) = уг (г); н (О, 1) = о (1, 1) = О. = ио, = иы Отсюда находим п (и) = ио + — (нг — ио). 1 Задачи 1. Вывести уравнение для процесса нагревания однородной тонкой проволоки постоянным электрическим током, .если на ее поверхности происходит теплообмен с окружающей средой. 2. Вывести уравнение диффузии в среде, равномерно движущейся в направлении оси х со скоростью гп.
Рассмотреть случай одной независимой переменной. 3. Исходя из уравнений Максвелла, предполагая Ез = Е- = О, 11. — = 0 и пренебрегая токами смешения, показать, что в однородной проводящей среде составляющая электромагнитного поля Ек удовлетворяет уравнению д Ек 4ка дЕп дзг сг дг где а.— проводимость среды, с- — скорость света. Вывести уравнения для н,. 4. Дать физическоо истолкование следующих граничных условий в задачах теплопроводности и диффузии: а) и (О, г) = О, б) и (О, г) = О, в) из (О, г) — й и (О, г) = О, из(1, С)+Ьи(1,г) =0 (Ь > 0). 5.
Решить задачу об остывании равномерно нагретого однородного стержня при нулевой температуре на концах, предполагая отсутствие теплообмена на боковой поверхности. 6. Начальная температура стержня и(к., 0) = ио = сопзс при 0 < х < 1. Температура концов поддерживается постоянной: и (О, г) = ис, и (1, г) = иг при 0 < г < оо. Найти температуру стержня, если теплообмен на боковой поверхности отсутствует. Найти стационарную температуру. 7. Решить задачу б при следующих граничных условиях: на одном конце поддерживается постоянная температура, другой конец теплоизолирован. 15* Функцию и (г, 1), определяемую начальным условием и однородными граничными условиями, без труда находим методом разделения переменных.
228 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 8. Решить задачу о нагревании тонкой однородной проволоки постоянным электрическим током, если начальная температура, граничная температура, а также температура окружающей среды равны нулю. 9. Цилиндр длины 1, заполненный воздухом при давлении и температуре окружающей среды, открывают с одного конца в начальный момент времени, и из окружающей атмосферы, где концентрация некоторого газа равна ие, начинается диффузия газа в цилиндр. Найти количество газа, диффундировавшего за время 1, осли начальная концентрация газа в цилиндре равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
