УМФ Тихонов (965259), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Булак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы н ряды. М., 1967. г1 См. там же. ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 235 Для линейных уравнений Л (и) = О имеет место принцип супер- позиции, заключающийся в том, что функция и (т, 1) = ~ С, и; (т, 1), представленная в виде суммы конечного числа частных решений, является также решением уравнения.
Если мы имеем решение и (и, 1, а), зависящее от параметра, то интегральная сумма ~ и(т, 1, а„) С„(С„= ~р(а„) Ьа) (14) также является решенисм уравнения Е (и) = О. Доказанная лемма, как и лемма на с. 97, устанавливает условия, при которых предел суммы (14), в нашем случае равный и (и, 1) = / У (л, 1, а) р (а) Йт, также является решением уравнения 7,(и) = О. С этой точки зрения доказанную лемму, как и лемму на с.
97, естественно называть обобщенным принципом суперпозиции. Обратимся к изучению интеграла (12'). Докажем, во-первых, что если функция ~р(т) ограничена, )р(т)~ < М, то интеграл (12') сходится и представляет ограниченную функцию. В самом деле, ~и(т,1)~<М / е ~-~ ЙС = 2 чгя,/ зУоз1 =М вЂ” / е да=М л/ так как Докажем далее,что интеграл (12') удовлетворяет уравнению теплопроводности при 1 > О. Для этого достаточно доказать,что производные этого интеграла при 1 > О можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. В случае конечных пределов интегрирования это законно, .так как все производные функции е 4~за 2/ з1 при 1 > О непрерывны. Для возможности дифференцирования под зна- 236 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П1 ком интеграла при бесконечных пределах достаточно убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного после дифференцирования под знаком интеграла. Проведем это исследование на примере первой производной по т. Итак, для доказательства дифференцируемости функции (12) по и, а также равенства ди / д — = / — Ф(т,С,1))Э ЮЖ дл / дт — (15) и интеграл от которой сходится: ~1 / г (()ИС <со. / .5' (с) д~ < оо., (15') Величина тз обозначает некоторое число, начиная с которого выполняется неравенство (15). Найдем оценку сверху для абсолютной величины подынтегрального выражения в формуле для ди/дяс П м ~5~+2 н — э)я < е 4" М = г'(с) для с < и (16) 2 з/т 2 ~аз1,]7г при любых ~т~ < и и П < 1 < 1з.
Нетрудно убедиться в сходимости интегралов (15') от функции г ®. Интеграл ск О0 — з СС 3 — н — ю У 2 Уя 2[пзП)зй с,l 2 'я 2 ~пзП)зй достаточно убедиться в равномерной сходимости интеграла, стоящего справа; при этом для установления дифференцируемости в точке (те, 1с) достаточно доказать равномерную сходимость интеграла в некоторой области значений переменных, содержащей исследуемые значения (ле, ге), например в области П < 1е ( Гм ~т~ < и. Достаточным условием равномерной сходимости интеграла (аналогичным признаку равномерной сходимости ряда) является существование положительной функции г'®, не зависящей от параметров (т, 1), которая мажорирует подынтегральную функцию: 1 з) ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 237 сходится, так как под знаком интеграла стоит множитель типа (аС + + Ь) е '~ .
Отсюда заключаем, что ди Р дб — = / — (х,61)2 Ы) С дх,/ дх Аналогично доказывается возможность вычисления всех остальных производных под знаком интеграла. Тем самым доказано, что функция (12') удовлетворяет уравнению теплопроводности. Обратимся теперь к выяснению основного свойства интеграла (12'), а именно докажем, что и(х, 1) — 2 1р(хо) при 1 — > 0 и х — > хо во всех точках непрерывности функции 1Р (х).
Итак, пусть ~р (х) непрерывна в некоторой точке хо. Мы должны доказать,что 1пп и (х г) = о2(то) т. е. каково бы ни было е ) О, можно указать такое б (е), что )11 (Х, 1) — 22 (Хо)( < Е, коль скоро ~х — хо~ < й(е) и ф < Ь(е). В силУ пРедполагаемой непРеРывности фУнкции 22 (х) в точке хо сУ- ществует такое 21(с), что М(*) — ч'(* )~ < —: б' (17) если только ~х — хо~ < ц Разбивая промежуток интегрирования на части., представим и (х, 1) в виде суммы трех слагаемых: Я1 ю2 Р 1 1-ы' 1 и (х г) = / с 4 ~1 1р (~) о(б + / ... 1(( + 2 ъ''я з1азг 2 ь1т — СО Я1 1 +2 / 'К ц1(х~1)+п2(х 1)+цз(х 1) где (18) х1 =то — д и х2 =хо+гр 238 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
1П Главное слагаемое этой суммы из можно представить в виде нз(л 1) — / е 42~ 2зух,/ 1 з1 яз 2 1 Г 1 ы — ы + / е 4 Ч ~'рЫ) д1то)]с~С = 1з + 1з. лl~ Интеграл 1з вычисляется непосредственно: яг зч' г~ где ( — т Н~ Й~ = 2 ьРпз1' 2 чРпз1' (19) При ~т — то~ < ц верхний предел положителен, а нижний отрицателен, и при 1 — > 0 верхний предел стремится к + оо, а нижний к — оо. Отсюда следует, что 11пз 1~ = 9~(ло). с — ~с я -~я э Таким образом, можно указать такое ды что Е ~1~ — Ю(те)~ < —, 6' (20) если только яз / е ы~~ (~р (1) — р (те) ! Д~. 1 1 1 2ъ'я,/ ч' зе Из равенств (18) видно, что при и~ < с < из имеет место неравенство к — ло! < Л, ~я — те!<Аз и 14<6ы Покажем,чтоостальныеинтегралы: 1з, и~ и из малы.
Оценим прежде всего интеграл 1з. 13) ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 239 Пользуясь неравенством (17),а также тем,что и — / е " 22а< — / е 41а=1 л/' л/ при любых х' и х", получаем 2 2'424 ]12]( —. / е 4' 44С=— 6 2222я / згго21 6 / е ~ 41о<-, (21) 2;/я / 6' 22 242 22 < — / е сЬ вЂ” 20 при хзхс, С вЂ” +О. (23) Справедливость (22), (23) вытекает из того, что если х 4 хс, то хз— — х ) О и хг — х < О, и если 1 — 2 О, то в последних членах (22) и (23) нижний и, соответственно, верхний пределы стремятся к + оо и — со.
Следовательно, можно указать такое бз, что ]из (х, Ф)! < — и ]иг (х, 1)! < —, (24) если только ]х — хо]<62 и ]г]<д Пользуясь установленными выше оценками (20), (21) и (24), получаем ]24 (Х 1) 22 (ХО)! Ь. ]241 + [21 22 (ХО)] + 22 + 223! е е е е 3 6 6 3 < ]и,]+ ]12 — 42(хо)]+ ]12]+ [из! < — + — + — + — = е, (25) где новая переменная а определяется формулой (19), Оценим из (х, 1): ]из(х, 2)! = / е 4 г«р(с)дс < 2 Ьгл,/ Зггозз ' < — / е о да — 40 при хзхо, 1-40, (22) л / 222 24 и аналогично иг (х, 4): 22 ]из(х, 1)! = / е 4 24 ~р®21~ < 2 27'к ./ з242 2 2 240 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П если только (х — хо( <б и )1( <б, где б равно наименьшему из чисел б( и бз. Таким образом, мы доказали, что функция 1 / 1 (*-0 222 2 и(х,б) = е 4 ~) (р(С)дС 2 ч)я l ч)азг (12') ограничена, удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условии).
Если начальное значение задается не при 1 = О, а при 1 = ге, то выражение для и(х, 1) приобретает вид (*,2)= ( "'" "'2(4)46 2 ' ~ (2 — 2) (12в) и(х, с) = / е 4 з«р(б)й~ = 2 ч)Я / ч)аз4 — / е ()о+ ,Рб l 2 о,224 2 е Йо 1) Пользуясь методом, изложенным в З 22 п. 32 можно убедиться. что функция и (х, 4) перечисленными условиями определяется однозначно.
Единственность полученного решения для непрерывной функции (р (х) следует из теоремы, доказанной в ~ 2,п. 3. Если начальная функция (р (х) имеет конечное число точек разрыва, то интеграл (12в) представляет ограниченное решение уравнения (1), непрерывное всюду, кроме точек разрыва функции )р (х) ~). Рассмотрим в качестве примера следующую задачу. Нийти решение уравнения теплопроводносп)п, если ничилвния температура (при 1 = со = О) имееп) постоянные, но различные зничениядлях)0 и х<0, а менно; и (х2 О) = у)(х) = Пользуясь формулой (12'), получаем решение задачи в виде ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ гъ~ гг Т1 + Тг Тг — Тг 1 ог 2 ьгя,/ о (26) так как о / е — и с1а / е — о с1а /е — о с1а / е — о с1а И сс о — ' /..*»„=,-', — '~..*г.
=,-'+ — ')"..*г. (. = о В частности, если Тг = О, Т, = 1, то . м ) = -' (, — ' ~,—.* .) о Профиль температуры в заданный момент 1 дается кривой 1 1 Р г 1(я) = — + — / е с1а, 2 ьгя,/ о Ф (я) = — / е с1аг лl о называемый обычно интегралом ошибок, часто встречается в теории вероятностей и для него существуют подробные таблицы гг. Формула (26) при произвольных Тг и Тг может быть записана в виде Н См., например, кИсчислоние вероятностей» А. А. Маркова (Мо 1924), где даны таблицы этого интеграла с шестью десятичными знаками. См.
также табл. 1 в Дополнении П, ч. 1'х'. 16 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский где я представляет абсциссу точки,в которой определяется темпера- тура, если за единицу длины, в зависимости от 1, принимается значе- ние 2 ьгагй Построение этой кривой не представляет труда, так как интеграл 242 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 Отсюда видно, что в точке х = 0 температура все время постоянна и равна полусумме начальных значений справа и слева, так как Ф (0) = = О. Решение неоднородного уравнения ис = а и„+ 7' (х, 1) ( — оо < х < оо, Х > 0) с нулевым начальным условисм и(х.
0) = О, очевидно, должно представляться формулой ос и(х, 1) = / / С(х, С, 1 — т) 7'((, т) д~дт, (27) Π— ж как то следует из смысла функции С(х, с, т) (см. з' 2, и. 4). Мы не будем подробнее заниматься изучением этой формулы и условий применимости, которые надо наложить на функцию 1 (х, 1). 2.
Краевые задачи для полуограниченной прямой. Как мы уже отмечали в ~ 1, и. 4, в тех случаях, когда интересуются распределением температуры вблизи одного из концов стержня, а влияние второго конца несущественно, принимают, что второй конец находится в бесконечности. Это приводит к задаче об определении решения уравнения теплопроводности из — — ази „х>0, 1>0, на полубесконечной прямой х > 0 для значений 1 > О, удовлетворяю- щего начальному условию и (х, 0) = ~р (х) (х > 0) и граничному условию, которое в зависимости от заданного характера граничного режима берется в одном из следующих видов: и (О, 1) = р (г) (первая краевая задача), ди — (О, 1) = и (1) (вторая краевая задача) дх или ди, — (О, 1) = Л (и (О, 1) — д (г)) (третья краевая задача).
дх В дальнейшем мы ограничимся подробным исследованием только первой краевой задачи, заключающейся в отыскании решения уравнения теплопроводности при дополнительных условиях (28) и (х, 0) = ~р (х), и (О, 1) = р (г). ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 243 Для того чтобы условия задачи определяли единственное решение, необходимо наложить некоторые условия в бесконечности. Потребуем дополнительно, чтобы функция и (х, 1) была всюду ограничена: ~и (х, 1)~ < М для 0 < х < оо и 1 ) О, где М вЂ” - некоторая постоянная. Отсюда следует, что начальная функ- ция ьо (х) должна также удовлетворять условию ограниченности: ~р( )~ <М Решение поставленной задачи можно записать в виде суммы и (х, Г) = иь (х, 1) + из (х, 1), где из(х, 1) представляет влияние только начального условия, а из (х, 1) --.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
