УМФ Тихонов (965259), страница 42
Текст из файла (страница 42)
А Оценим влияние сделанного предположения о стационарности температуры на получаемое значение геотермического градиента. Рассмотрим для этого решение уравнения теплопроводности дю г дгю А — 0<г<Х, с ср 02 г>Н, с нулевыми начальными и граничными условиями ю (г, О) = О, ю (О, 1) = О. Решение этой задачи представляется, как мы видели в з 3, интегралом 22 С ю (г, 1) = / / С (г, ~, 1 — т) 1 ((,') (1т (Л(, о о где С вЂ” функция источника для полубесконечной прямой, равная э)*,(.2- ) = 2 )2 — )( и сопоставляя его с наблюдаемым значением у = 3 10 ~ Кс)см, нахо- дим, что П. ВЛИЯНИЕ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 263 н с г дю А /' /' е с'г о- с с1с асс = ' ' ' »Сгто — ет о о иг с »Сс — с А /' 1 т" т г»'т:е о А /' 1 ="лl л о .— ганг = о ! лг 1 1 — е с го Ю, где о=1 — т.
Таким образом, дю А /2зй Н /' „г сЬ~ дз срзт ~ а аг/' г/' »о где йт аз с10 Н а= 2 зта~д Н 2 отаг1 сто Н' тта2 д ' Вычислим интеграл — 2 /е »о г »» сЬ= — 2/ е йт, ао — »»» г е а »о ео откуда +Н вЂ” / е 4т . (Ц л l й гас гс 2а зстс дю А дя ср аг Отметим, что дю А 1пп — = — Н, дг,о й так как ср аз = Й, предел первого слагаемого в фигурных скобках равен нулю, а предел второго слагаемого равен Н. Вычислим отклонение дю,тдз от его предельного значения для 1=2 10 летнаб 10сос. Вычислим значение градиента при з = О., принимая во внимание значение функции у; 264 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 Значение пе мало: Н 10в 1 оо — — 0 025. 1 ЗЧ 2 6 1О 6 Ч' 2 ~9 Разлагая функции, входящие в формулу (1), в ряды, получим А дю А ( — 1 2 ) А — Н вЂ” — = — ЕЕ~ ~пе + .) + — пе) — = — ЕЕ 0,014 к дя е й 1з7к с ",Ея ) й 111.
Метод подобия в теории теплопроводности Для решения ряда задач теплопроводности весьма полезен м е т о д подобия. В качестве примера рассмотрим две задачи. 1. Функпии источника для бесконечной прямой. Уравнение теплопроводности, как нетрудно видеть, остается неизменным при преобразовании переменных х!=Ах, И=121 (1) т.
е. если масштабы длины меняются в й раз, то масштаб времени следует изменить в йя раз. Будем искать сначала решение уравнения теплопроводности 2 иС = а икк (2) с начальным условием (ио при х > О, в(х, 0) = О при х(0. (3) Н Тихонов А. Н. О влиянии радиоактивного распада на температуру земной коры /Е Изв. АН СССР. Отд. матем. и естеств. наук, сер. геогр. 1937. Ей 3.
С. 431 469. т. е. дю/дг ~, с отличается от своего предельного значения на 1,4г%. Нетрудно было бы вычислить функцию и (я, 1) для я > 0 и убедиться, что при я > Н она далеко еще не достигает своего предельного значения для 1, равного возрасту Земли Н (хотя, как мы видим, градиент у поверхности практически равен своему предельному значению). Приведенные выше рассуждения носят, конечно, лишь оценочный характер. Однако, принимая во внимание весьма большую устойчивость скорости радиоактивного распада, не изменяющейся под воздействием доступных нам температур и давлений, мы должны прийти к заключению о том, что концентрация радиоактивных элементов должна быстро убывать с глубиной, если основываться на значении А для верхних слоев земной коры, установленном многочисленными измерениями. Физическое объяснение, позволяющее установить закон убывания концентрации радиоактивных элементов с глубиной, до сих пор отсутствует.
П1. МЕТОД ПОДОБИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНООТИ 265 1 2 з/1 (5) получаем и(х,1) =и, — =ио/ (6) Таким образом, и зависит только от аргумента 2 з/1 Вычисляя производные для и из формулы (6); (7) дзи (1з/ 1 дхз сЬз 41' ди х ио г//' з о/ — ио — —, д1 41з/г дг 21 оЬ подставляя в уравнение теплопроводности (2) и сокращая на множи- тель ио/41, получаем б/ а = — 2з— ~Ь <:Ь при дополнительных условиях /( — со) = О, /'(оо) (8) =1, соответствуя>щих начальному условию для функции и. Интегрируя уравнение (8), будем иметь а — = — 2з, /'=Се ~! (9) /а о ао / 2 /=С / е ~ /и л(=Сз / с С гк,. Здесь нижний предел выбран так, чтобы выполнялось первое условие (9). Чтобы удовлетворить второму условию (9), следует положить 1 Со = —.
з/я При указанном выше изменении масштабов начальное условие (3) остается также без изменения, поэтому для функции и(х, 1) должно иметь место равенство и (х, 1) = и (йх, Й 1) (4) при любых значениях х, 1 и /о. Полагая ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1П 266 Таким образом, где (интеграл ошибок).
Если начальное значение имеет вид ~ ио при х > х, и(х, 0) = 0 при х < х, то (12) и(х, 1) = — 1+ Ф Обратимся теперь к решению второй вспомогательной задачи, где начальные значения задаются в виде Оприхз <х, и(х, 0) = ио при хз < х < хз, Оприх<хм В атом случае и(х, 1) = — Ф вЂ” Ф Начальная температура ис соответствует количеству тепла ч' С (хз х1) пс. Если 1„' = ср, то Функция влияния источника, сосредоточенного в точке, очевидно, представляет предел функции и (х, 1) при хз — хз — з О.
Предельный переход в формуле (14) дает и(х, 1) = — — — Ф Н1. МЕТОД ПОДОБИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 267 так как в правой части формулы (14) стоит разностнос отношение, пределом которого является производная в (15). Производя дифференцирование, находим 1 1 <*- ~) и(х г)= е 4 зг (10) 2 игх Хсзв т. е. и (х, 1) = С (х, хы 1) функция мгновенного точечного источника.
2. Краевые задачи для квазнлннейного уравнения теплопроводности. Рассмотрим квазилинсйнос уравнение тсплопроводно- сти — й(и) — = ср— (17) (20) — (1+ аи)— с начальными и граничными условиями и (х, О) = О, и (О, 1) = 1. с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры. Найдем решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному и начальному условиям и(0, 1) = иы и(х, О) = ию (18) В этом случае преобразование (1) также не меняет уравнения (17) и дополнительных условий (18).
Отсюда следует, что и(х, 1) =1 = 7" (г) х = . (19) Пользуясь этим выражением, получаем для 1 уравнение и () й7' — ~й(7) — ~ = — 2срх— ~Ь ~Ь ~Ь с дополнительными условиями 1 (О) = иы 1(оо) = иг. (21) Функция 1, в тех случаях когда ее не удается найти аналитически, может быть найдена при помощи численного интегрирования. Уравнение (20) при весьма общих предположениях относительно функций й и ср имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям (21).
Однако на доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. Рассмотрим в ка зестве примера уравнение (17), где й (и) = йе + + йз и линейная функция, а ср постоянная величина. Изменяя масштаб времени и шкалу значений и, .|юлучим для преобразованной функции уравнение 268 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1П Полагая и (х, 1) = 1 (з), 2 зй получаем для 1 краевую задачу — ~(1+ау) — ~ = — 2з —, 1(О) = 1, у'(со) = О.
(22) На рис. 42 приведены результаты численного решения задачи (22) для различных значений сс цо о,е о,о о зд о,з 2,О Рис. 42 Рассмотрим некоторые другие частные решения уравнения (17). Одним из них является решение типа «бегущей волны» (ср, с гл. П, з 2). Оно имеет вид и (х, 1) = 1 (я), я = х — 111, (23) где В > О произвольная постоянная (скорость движения волны). В каждый фиксированный момент времени пространственный профиль решения (23), определяемый видом функции 1" (я), остается неизменным, перемещаясь со временем в положительном направлении оси х со скоростью .0 (тепловая волна неизменной пространственной структуры «бежит» в указанном направлении с постоянной скоростью, отсюда название «бегущая волна»).
Если постоянная 11 ( О, то волна будет двигаться в противоположном направлении. П1. МЕТОД ПОДОБИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 269 Подставляя (23) в (17), получаем для 7 (з) обыкновенное дифференциальное уравнение д / д~'1 дУ' — Й(() — 1 = — Рср —. ьЬ сЬ ьЬ (24) Из (23) следует, что решение и(х, 1) определено при всех 1> 0 и х > 0 и удовлетворяет дополнительным условиям и (О, 1) = 1 ( — Р 1), 1 > О, и (х, 0) = ~ (х), х > О. (25) Первое условие (25) показывает, что граничное условие при х = 0 определяется значениями функции у (з) при отрицательных з, а для задания начальной функции при 1 = 0 необходимо найти 1 (з) при всех з > О. Таким образом, для того чтобы определить решение уравнения (17) в виде (23) в области 1 > О, х > О, необходимо найти функцик1 у (я), удовлетворяющую уравнению (24) на всей оси — оо < я < < + оо.
Уравнение (24) интегрируется в квадратурах. Исходя из физических соображений, будем искать непрерывное решение этого уравнения, обладающее непрерывным «тепловым потоком» вЂ” Й(1(з)) х х ду"(з)/дя, что обеспечивает непрерывность по х и 1 реального теплового потока Иг (х, 1) = — Й (и (х, 1) ) ди(х, 1) дх (26) Й 0) — = — Рсру+ Св, и'1 сЬ (27) где Со — произвольная постоянная. Предположим для определенности, что «бегущая волна» начала свое движение по невозмушенному (нулевому) фону температуры, т.
е. 7 (з) — э 0 при я — э + со. Тогда в силу априорной непрерывности «теплового потока» Й®х)) . д7/дз — э 0 при з — г + оо, т, с, Се = О, уравнение (27) принимает вид Й(1) Ду — = — Рср сЬ (28) и легко интегрируется. Рассмотрим, например, случай, когда коэффициент Й(и) является степенной функцией температуры: Й(и) = Йэи", где Йо и и-- фиксированные положительные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
