УМФ Тихонов (965259), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Такая зависимость от температуры характерна, в частности, для коэффициента электронной теплопроводности в полностью ионизованной плазме, при этом и является очень существенным (см. об этом ниже). Интегрируя один раз уравнение (24), находим 270 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 а = 5/2. Подставляя в уравнение (28) й(у) = ко у=, после интегрирования получаем для 7 (я) следующее выражение: аРср 1 ( — я)~ при я < О, йо 0 при я > 0 (постоянную интегрирования мы здесь также положили равной нулю).
Решение (23) принимает вид т !э/~ ио1? (1 — — ) при 0 < т < Р1, (,1) = (29) 0 прил>Р1, /аР срз! где введено обозначение ио = ( Рассмотрим решение (29) подробнее. Оно представляет собой характерный и наглядный пример так называемого обобщенного решения кваэилинейного вырождающегося параболического уравнения.
В чем ого основные особенности? Во-первых, функция (29) является финитной !! по т в любой конечный момент времени. Решения линейного уравнения теплопроводности, как известно, таким свойством не обладают. Во-вторых, решение (29), вообще говоря, не имеет всюду непрерывных производных, входящих в уравнение (17), что также неверно в случае линейного уравнения. Например, если а = 1, то производные ди/дг и ди/дт имекзт на прямой и = Р1 разрывы 1-го рода; если же а = 2, то в точках «фронта» тепловой волны т = Р 1 все производные: ди/ду, ди)дх и дзи/дхэ претерпевают разрыв 2-го рода.
В то же время вне множества т = Р1 решение (29) является достаточно гладким. Отметим, что! несмотря на укаэанные разрывы производных, тепловой поток (26) является непрерывной функцией. Действительно, из (29) получаем я-!-! 1! ,Ъ(1 ) п нО«,Р, Иг( 1) аР Р1 (30) 0 при т > Р й Отсюда И' (.Р 1 — О, 1) = 0 = И! (Р 1+ О, 1) прн любых 1 > О. з! Функция д(и) называется финитной (по и)! если существует постоянная А > О, такая, что д (я) = 0 при всех я > А.
П1. МЕТОД ПОДОБИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 271 1 ~Ь1 ( -~- со. й (л) (31) о Действительно, при выполнении условия (31) уравнение (28) можно переписать в виде у~И откуда получаем У 00 иц = — Рср (яо — я), й (и) Ц (32) о где яо постоянная интегрирования. Из (32) непосредственно следует, что решение 7" (я) обращается в нуль в точке я = яо, т.
е, функция (23) финитна. Отметим, что при выполнении условия (31) финитным по л является рассмотренное выше решение (19). Неравенство (31) является необходимым и достаточным условием конечности скорости распространения возмущений в процессах, описываемых уравнением (17) . Итак, из условия (31) следует существование конечного «фронта» тепловой волны, где может теряться необходимая гладкость решения. Это, в свою очередь, требует определения решения в некотором обобщенном смысле. Обобщенное решение вырождающегося уравнения (17) удовлетворяет не самому дифференциальному уравнению, а некоторым построенным на его основе интегральным соотношениям, которые не содержат производных ди/д1, ди/дя, дзи/дяз (претерпевающих,.
быть может, разрывы). Существенно, однако, то, что эти соотношения специальным образом учитывают непрерывность теплового потока (26). Перейдем теперь к исследованию других частных решений уравнения (17). Предварительно заметим, что рассмотренные выше решения (19) и (23) выбраны в первую очередь не случайно. Оказывается, Перечисленные особенности решения (29) в первую очередь связаны с тем, что коэффициент теплопроводности к(и) = кои обращается в нуль при и = О.
Параболические уравнения (17) с коэффициентами к (и), удовлетворяющими условию й(0) = О, называются в ы р о ж д а ю щ и м и с я. Отличительной особенностью вырождающихся уравнений (17) является то, что они могут описывать процессы с конечной скоростью распространения возмущений. Другими словами, их решения могут быть финитными функциями. Достаточное условие финитности по л решения типа «бегущей волны» без труда выводится из уравнения (28).
Оно имеет вид 272 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 это единственные типы нетривиальных автомодельных решений, которые допускает уравнение (17) при произвольных коэффициентах я (и). Здесь авто модельными мы называем такие решения нелинейного уравнения в частных производных, конкретный вид которых определяется путем интегрирования некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений (иногда под автомодельными подразумевают более узкий класс таких решений).
Наличие у рассматриваемой краевой задачи автомодельного решения существенно упрощает ее исследование. Новыс типы автомодельных решений появляются только у уравнений (17) специального вида. Рассмотрим уравнение со степенной не- линейностью (здесь и далее для простоты полагаем ср = 1) (33) Пусть температура на границе х = 0 степенным образом зависит от времени: (34) и(0,1)=ив!~, С>0; т=сопзс>0.
Пусть, кроме того, и (х, 0) = О, х > О. (35) Краевая задача (33) — — (35) допускает автомодельное решение следующего вида. (х ~) = ис г / (х) х = 1уз 7зх: (36) Д'~' 1г-~ «1-~-м-П2' где Функция / (я) определяется из обыкновенного дифференциального уравнения, получающегося после подстановки выражения (36) в уравнение (33): и / с~/! 1-~-то с~/ з — — гл/ =О,. г >О. (37) сЬ ! 6Ь) 2 сЬ В силу (34) и (35) функция / (х) должна также удовлетворять таким краевым условиям: (38) /(0) =1, /(+со) =О.
Поскольку уравнение (33) является вырождающимся и допускает конечную скорость распространения возмущений, необходимо дополнительно потребовать, чтобы «тепловой поток» вЂ” /и д//дх был непрерывной функцией. При т ф 1/и задачу (37) — (38) можно решить лишь численно (в случае т = 1/и решение (36) в точности совпадает с «бегущей волной» (29)). С помощью замены ~ =!пх, у(~) = х ~ /(х) (39) П1.
МЕТОД ПОДОБИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 273 уравнение (37) сводится к автономному виду (проведите эти выкладки) и допускает понижение порядка. Тем самым в новых переменных становится возможным его анализ на фазовой плоскости. Это позволяет доказать существование и единственность решения задачи (37) (38), а также определить его основные свойства. Например, при любых значениях параметра т > 0 функция 1 (я) является финитной: существует такое яо —— яо (т, и) > О, что 7' (я) = = 0 длЯ всех з > Яо и 1(х) > 0 пРи 0 < в < го. ПоэтомУ Решение (36) также финитно по х и представляет собой топловую волну, движущукюя по невозмущенному фону температуры (последнее, в частности, свидетельствует о том, что решение и(х, 1) удовлетворяет уравнению (33) в обобщенном смысле).
Из выражения (36) для переменной следует, что положение точки «фронта» волны хф (г), характеризующееся равенством я = яо, определяется в каждый момент времени по формуле 11/3 с/2 О-,.—,в~Но (40) Таким образом, в отличие от рассмотренных выше решений (19) и (23) тепловая волна (36) ускоряет со временем свое движение и в пределе при 1 — з -~- оо нагревает до бесконечно больших температур все пространство х > О. При незначительных нарушениях краевых условий (34) и (35) основные закономерности процесса нагрева, которые дает пространственно-временная структура автомодельного решения (36), сохраняются. Например, вместо (35) можно взять произвольную ограниченную финитную начальную функцию и (х, 0) = ио (х) > О, т > О, и тем не менее при достаточно больших г с высокой степенью точности будет выполняться равенство (40).
Иными словами, автомодельное решение (36) является асимптотически устойчивым при г — ~ + со относительно «малых» возмущений краевых данных (более того, установлено, что оно асимптотически устойчиво по отношению к «мэлым» отклонениям коэффициента теплопроводности Й (и) от стопенной зависимости и = йо и ).
И хотя в реальных задачах физики и техники бесконечных температур достигнуть нельзя, все это позволяет говорить об автомодельном решении (36) как о промежуточной асимптотике рассматриваемого процесса нагрева, которая всегда реализуется при не слишком малых и не очень больших временах. Уравнение со степенной нелинейностью имеет также автомодельное решение другого вида: и(х, 1) = иоесэу(я), я =,, (41) кйийС йе~х о о где С произвольная постоянная. Мы рассмотрим ниже случай С > > О. Функция 7' (я) определяется из краевой задачи для обыкновенного 18 А.
Н. Тихонов, А. А. Самарский ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 дифференциального уравнения д / <11'1 и <11 — — ~-~- — з — — 1=0, з>0, <1х (, 4з/ 2 <1я (42) ~(0) — 1 1" (+со) = 0 Краевые условия, порождающие данное автомодельное решение, определяются видом функции Г" (з). Из (41) непосредственно следует, что они таковы: ц(0, 1) = мое~', 1 > О, (43) и (х, 0) = ио 1 . .
. х > О. ~,й 'и 'С '"-/ '< 'о "о Решение задачи (42) сушествует и единственно, функция 1 (я) финитна (следовательно, решение (41) является обобщенным). Точка «фронта» тепловой волны движется со временем по закону (здесь яо = яо (<г) > 0--- длина носителя функции ( (я)). При 1 — ~ + со волна полностью «заполняет» пространство х > О. Все качественные заключения, сделанные выше по отношению к автомодельному решению (36), справедливы и в данном случае. 3. Режимы с обострением. Эффект локализации тепла.
В этом пункте мы рассмотрим новый класс автомодельных решений уравнения (33), которые обладают целым рядом отличительных особенностей. Пусть температура на границе х = 0 изменяется в режиме с обострением; и (О, 1) = ио(Т вЂ” 1)'", О < 1 < Т; Т = сопзФ > О. (44) Предполагается, что постоянная п < О, поэтому и (О, 1) -+ + оо при 1-+ Т = Т вЂ” О. Режимом с обострением называется такой закон изменения некоторой величины, который обеспечивает ее неограниченное возрастание в течение конечного времени (в данном случае равного Т < + со).
Режимы с обострением, аналогичные (44), используются при описании многих существенно нестационарных физических процессов. Оказывается, таким специфическим граничным условиям отвечают решения с очень интересными и весьма необычными свойствами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
