УМФ Тихонов (965259), страница 39
Текст из файла (страница 39)
только граничного условия. Эти функции можно определить как решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям из (х, 0) = 1о (х), иь (О, 1) = 0 (28') (28о) из (х, 0) = О, из (О, 1) = д (1). Очевидно, что сумма этих функций будет удовлетворять условиям (28). Докажем предварительно две леммы относительно функции и (х, с), определяемой интегралом Пуассона: (29) 1. Если фунт иия ф (х) является нечетной., т, с.
Ф(х) = -Ф(-х), то 1рунниия (29) и(х,1) = / е 4 з~ ф(~)ь1~ 2.„Я ./ обращается в нуль нри х = 0: и (О., 1) = О. При этом, конечно., предполагается, что интеграл, определяющий функцию и(х, 1), сходится, что имеет место, если ф(х) ограничена. Подынтегральная функция в интеграле и(О,г)= / е 4 ~ф®с~8 2,/т,/ з/аз 1 244 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П нечетна относительно (, так как являотся произведением нечетной функции на четную. Интеграл же от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, равняется нулю; сле- довательно, и (О, Х) = О, что и доказывает лемму 1 2.
Если функция зз (х) является четнон, т. е Ф(х) =Ф( — ), (х, 1) из формулы (29) равна нулю лри х = то производная функции и =0: — (0,1) =О дх для всех 1 > О. В самом деле, ди 1 Р (х — с) е 4 ф(ед~ =О, дх о 2 з/к,/ 2 (аз1) д так как при х = 0 подынтегральная функция нечетная, если уз (с)-- четная. Перейдем теперь к построению функции и1(х, 1), удовлетворяющей условиям (28'). Введем вспомогательную функцию П(х, «), определенную на бесконечной прямой — оо < х < со и удовлетворяющую уравнению, а также условиям 11(0, 1) =О, 11 (х, 0) = ~р (х) для х > О.
Эту функцию, пользуясь леммой 1, можно определить при помощи начальной функции Ф (х), совпадающей с ~р(х) для х > 0 и являющейся нечетным продолжением у(х) для х < О, т, е. у(х) для х > О, — у( — х) длях < О, так что Рассматривая значения функции о' (х, 1) только в интересующей нас области х > О, получим и~ (х, 1) = 11(х, 1) при х > О.
ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 245 13) Пользуясь определением функции Ф (х), будем иметь Г(х, () = о г / с ыгг ф(~)о(~+ ~ с 4 го гр(С)оц 1 ( 1 ыоыг причем в первом интеграле сделана замена С' = — С и использовано равенство ф (с) = -р (-4) = -р (4'). Соединяя оба интеграла вместе, получим искомую функцию 1 ( 1 ( <*-О' Мабг 1 пг(х, () = / ~е 4 г — е 4 ~г 'г р(4)до (30) 2 ьгя з(аг( о в виде, не содержащем вспомогательных функций. Заметим, что при х = 0 выражение в фигурных скобках обращается в нуль и иг (О, () = О. Пользуясь леммой 2, нетрудно убедиться, что решение уравнения теплопроводности с однородным граничным условием второго рода диг (О, .() = 0 и начальным условием иг (х,.
0) = у (х) представляется дх в виде 1 7 1 ( м-ы' ы.бг1 иг(х,() = / '(е 4 ~г +е 4 ~г ~р®о(~. (30~) 2 ~/я,( о Применим полученную формулу к решению задачи об остывании равномерно нагретого стержня, на границе которого поддерживается постоянная температура, которую мы примем равной нулю. Задача состоит в определении решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям гц(х,(о) =Т, гц(0,() =О. Учитывая, что начальное условие задается не при 1 = О, а при ( = (о, вместо формулы (30) получим () с 4 ' о — го) с ~г(г — 'о> (31) 2 ( гггг — ~) о 246 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П Разбивая интеграл на два слагаемых и вводя переменные получаем (31') где Ф(з) = — / е ' Иа лl о интеграл ошибок.
Обратимся теперь к отысканию функции из (т, .1), представляющей вторую часть решения первой краевой задачи. Пусть д (1) = дз = сопзц Функция (32) является решением уравнения теплопроводности, удовлетворяющим условиям й (л; 1о) = рз, и (О, 1) = О. Отсюда следует, что функция п(л 1) рз п(и, 1) — рз 1 Ф (33) ~2 З вЂ” 1)! и является искомой,так как она удовлетворяет тому же уравнению и условиям п(т,1з) =0 (и >О) и е(0,1) =до (1>1з). Представим и (и, 1) в виде е (и, «) = ра о (т; г — 1з), где 13) ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 247 является решением той же задачи, что и с (х, 1), при де = 1. По определению функция Г(х, ~ — ~е) имеет смысл только при 1 > ~е.
Продолжим определение этой функции, полагая (7 (х, С вЂ” Ь ):— 0 для Ю < Ю . Очевидно, что это определение согласуется со значением функции сГ(х, 1) при ~ = 0 и определенная таким образом функция будет удовлетворять уравнению теплопроводности для всех ~ при х > О. Граничное значение этой функции (при х = О) является ступенчатой функцией, равной нулю при 1 < 1е и равной единице при т > 1е.
Функция У (х, а) весьма часто встречается в приложениях и является вспомогательным звеном для нахождения функции из (х, ~). Рассмотрим вторую вспомогательную задачу, заключающуюся в нахождении решения уравнения теплопроводности со следующими начальными и граничными условиями: е(х, йе) = О, е(0, й) = д(й) = (О для й > П.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что е (х г) — до П(х, г — го) — с' (х, г — П) Вообще, если граничная функция д ф задается в виде ступенчатой функции: ро для го<~~И, дз для Й<1<1з, дИ) = р — з для г — з <1<1„, то, рассуждая совершенно аналогично, получим, что решение краевой задачи с подобной функцией д(1) может быть записано следующим образом: Пользуясь теоремой о конечном приращении, получаем и(х, 1) = ~ д; ' Ьт+ди 1П(х, ~ — ~„г) (36) дУ (х, 1 — т) д1 =о для 1, < т, < С, гы 248 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П Обратимся теперь к задаче о нахожцениии решения и (х, 1) уравнения теплопроводности с нулевым начальным условием и граничным условием и(0, с) = р(с) (1>0), где р (1) произвольная кусочно-непрерывная функция. Приближенное решение этой задачи легко получить в виде (36), если функцию д (с) заменить кусочно-постоянной функцией.
Переходя к пределу при уменьшении интервалов постоянства вспомогательной функции, получаем, что предел суммы (36) будет равен д77 — (х, с — т) р, (т) дт, д1 о так как при х > 0 !пп р„г 77 (х, 1 — 1„г) = О. с-с„г — со Очевидно, что искомое решение аз (х, С) второй задачи должно быть равно ГдП из (х, 1) = / — (х, 1 — т) 7с (т) с7т. о (37) ю / е с(о г 'гс 1 азх г е 4г~с 2 зсх [аз1)з,'г дП д 2 — (х,1) =— д1 ' дс ьгх 2 д~ 2 да 1 1 -'* гы — 2аз — (х,б,с)=2аз — С= е с гс Таким образом, искомое решение в случае произвольной функции р (1) может быть представлено в виде с, г сг2 С х из(х, С) = / е 4" 0- С 7г(т)с7т, 2 згх,/ [аз (1 — т))згг со Мы не будем подробно останавливаться на правомерности предельного перехода и выяснении условий применимости этой формулы в отношении функции 7с (т).
Нетрудно убедиться в том, что ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ или ия (т, 1) = 2а у1 — (и, О, 1 — т) р(т) йтц. I' дС lж (38) 'а У (О, 1) = 1 для 1 > О, У (и, О) = О для т > О или )1 для1>0, (О для1(0. Очевидно, что когда мы имеем дело с решением какого-либо линейного дифференциального уравнения при граничном условии и (О, 1) = р (г) (г > 0), нулевых начальных условиях и нулевых дополнительных граничных условиях, если такие имеют место (например, при т = 1), то решение этой задачи может быть представлено в виде Г дУ и (т, 1) = / — (и, 1 — т) р (т) Йт, о (39) где У (т, 1) решение аналогичной краевой задачи при У (О, 1) = 1.
Сформулированный здесь принцип, называемый принципом Д ю г а м е л я, показывает, что основную трудность при решении краевых задач представляет постоянное граничное значение. Если краевая задача с постоянным граничным значением решена, то решение краевой задачи с переменным граничным условием выражается формулой (39). Этим принципом часто пользуются при решении многих краевых задач, приводя решение только для постоянного граничного условия, не оговаривая, что решение краевой задачи с переменным р (1) дается формулой (39). П Это представление решения первой краевой задачи с нулевыми начальными условиями дано здесь для удобства сравнения с решением той же задачи, полученным в гл.
Ъ'1, З 4 другим методом. Отметим, что в процессе получения формулы (38) мы не пользовались никакими специальными свойствами уравнения теплопроводности, кроме его линейности. Мы нигде нс пользовались также аналитической формой функции У (т, 1), для нас было важно только то, что она удовлетворяет граничным и начальным условиям 250 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П Сумма функций из (х, 1) + из(х, 1) дает решение первой краевой задачи для полубесконечной прямой для однородного уравнения. Пользуясь формулой (27) из З 3, п.
1 и принципом нечетного продолжения, нетрудно убедиться в том, что решение неоднородного уравнения ие — — а'ия, +,( (х, 1) (О < х < оо, г > 0) при нулевом начальном и нулевом граничном условиях (и (О, 1) = 0) дается формулой из(х 1) = г 1 ( м-еР м~-О' — е 4 тц — 1 е 4„за — 1 7'(С, т) с1С дг (40) 2 ' ~ ачг )( в в Сумма иг(х,1)+из(х, 1)+из(х,1) =и(х,1) дает решение первой краевой задачи ие — — агц,, + 7' (х, 1), и (О, 1) = а (1), и (х, .0) = вз (х). $4. Задачи без начальных условий Если изучается процесс теплопроводности в момент, достаточно удаленный от на 1ального, то влияние начальных условий практически не сказывается на распределении температуры в момент наблюдения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
