УМФ Тихонов (965259), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Принцип максимального значения, которым мы пользовались при доказательстве единственности задачи для отрезка, здесь неприменим, так как в неограниченной области функция х (х, 1) может нигде нс достигать максимальных значений. Чтобы воспользоваться этим принципом, рассмотрим область 1х!<Ь, где Ь вЂ” вспомогательное число, .которое затем будем неограниченно увеличивать,и функцию 1г (х,. 1) = — + ~~1 (25) ~ г) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 209 И (х, О) > /о (х., О)! = О, 'к' (~Ь, й) > 2М > !о (~Ь, й)/. (26) Пля ограниченной области /х! < Ь, 0 < 1 < Т справедлив принцип максимального значения. Применяя следствие 2 из предыдущего пунк- та для функций и = — И (х, .1), и = о (х, 4) и и = И (х, 1) и учитывая (26),получаем — — +ау <о(х,г) < — +а г Фиксируем некоторые значения (х, 1) и, воспользовавшись произволом выбора То будем его неограниченно увеличивать.
Переходя к пределу при Ь -+ оо, получаем о(х, .~) =О, что и доказывает теорему. $2. Метод разделения переменных 1. Одиороднаи краевая задача. Перейдем к решению первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке: ис = аги,, +,1 (х, 1) (О < х < У, С > 0) (1) с начальным условием и (х, 0) = ус(х) (О < х < Ц (2) и граничными условиями (О ') = (') ~ (, > ,) (3) и(Д, г) = дз(г) ) Изучение общей первой краевой задачи начнем с решения следующей простейшей задачи Е Найти непрерывное в замкнутой области (О < х < 1, 0 < ~ < Т) решение однородного уравнения ис=аи,„О<а<1, 0<г(Т, (4) удав,летворяюшее начальному условию (2) и(х., 0) = у(х), 0 < х < 1, и однородным граничным условиям и(0, с) = О, и(~, с) = О, 0 < ~ < Т.
14 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Функция И (х, 1) непрерывна, удовлетворяет уравнению теплопровод- ности., в чем нетрудно убедиться с помощью дифференцирования, и, кроме того, обладает следующими свойствами: 210 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П Пля решения этой задачи рассмотрим сначала, как принято в методе разделения переменных, основную вспомогательную задачу. Найти решение уравнения 2 ис = а игсс, не равное тождесттсвенно нулю, удовлетворяющее однородным гра- ничным у слов и ям и(0, 1) =О, и тсредсшавимое в виде и(1,1) =0 1 Т' Хо — — = — = — Л, Т Х где Л = сопв1, так как левы часть равенства зависит только от 1, а правая только от и. Отсюда следует, что Хо+ЛХ = О, Т'+а ЛТ=О. (8) (8') Граничные условия (5) дают Х (0) = О, Х (1) = О.
(9) Таким образом, для определения функции Х (л) мы получили задачу о собственных значениях (задачу Штурма Пиувилля) Хо+ ЛХ = О., Х(0) = О, Х(1) = О, (10) исследованную при решении уравнения колебаний в гл. П, 3 3, и. 1. При этом было показано, что только для значений параметра Л, равных Лв=( — ) (тс,=1,2,3,...), существуют нетривиальные решения уравнения (8), равные Хн (т) = сйп — т. (12) Этим значениям Лв соответствуют решения уравнения (8') Т (1) С е — в ллс где Ссс - не определенные пока коэффициенты.
(13) и(т.. .1) = Х (т) Т(1), где Х (т) функция только переменного г, Т (1) функция только переменного й Подставляя предполагаемую форму решения (6) в уравнение (4) и производя деление обеих частей равенства на аз ХТ, получаем 211 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ являются частными решениями уравнения (4), удовлетворяющими нулевым граничным условиям. Обратимся теперь к решению задачи (1). Составим формально ряд и (х, 1) = ~ С„е ( г) ' з зш — х. о=1 (15) Функция и (х, 1) удовлетворяет граничным условиям, так как им удо- влетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий, получаем ~р(х) = и(х, 0) = ~ ~С„зш ™ х, (16) п=з т.
е. С„являются коэффициентами Фурье функции р (х) при разло- жении ее в ряд по синусам на интервале (О, 1): 2 Р яп С„= оо„= — 1 р(() з|п — (се. -- --1/ 1 о (17) Рассмотрим теперь ряд (15) с коэффициентами С„, опредсляемыми по формуле (17), и покажем, что этот ряд удовлетворяет всем условиям задачи (1). Для этого надо доказать, что функция и (х, 1), определяемая рядом (15), диффсренцируема, удовлетворяет уравнению в области 0 < х < 1., 1 > 0 и непрерывна в точкахграницы этойобласти (при 1=0, х=О, х=1). Так как уравнение (4) линейно, то в силу принципа суперпозиции ряд, составленный из частных решений, также будет решением, если он сходится и ого можно дифференцировать почлснно дважды по х и один раз по 1 (см.
лемму в гл. П, з 3, ц. 3). Покажем, что при 1 > 1 > 0 (1 любое вспомогательное число) ряды производных ди„ д1 о=1 д и„ дх' и=! сходятся равномерно. В самом деле, — С„( — )~а и е (чв) з1п — х < ~Св~( — ) а а е (ч ) В дальнейшем будут сформулированы дополнительные требования, которым должна удовлетворять функция р (х).
Предположим Возвращаясь к основной вспомогательной задаче, видим, что функции и„(х, 1) = Х„(х) Т„(1) = С„е " ~" з сйп — х (14) 1 212 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П сначала, что 1о(т) ограничена: ~уг(т)~ < ЛХ. Тогда 2 Г вп ~С„~ =- 1 р(5)в — 5д5 а-1/ о < 2М, откуда следует, что дип д1 ~1l и аналогично д и„ а.
',1/ Вообше дь'~и„ , яз гьа-( „г . 2М гьл! гя — ( — ") а 1 О1ь а* Ы яв г г и(т,1) =~Сг1е ( ~ ) а в1п — и а=1 г При доказательстве того, что ряд (15) удовлетворяет уравнению иг = а иаа пРи С > О, была иснтгьзована только огРаничонность коэффициентов г Фурье Са, которая, в частности, будет иметь место для любой ограниченной функции аг(т). Исследуем сходимость мажорантного ряда ~„„с сга, где о„= Асиле (ч ) " (15') По признаку Пвламбера этот ряд сходится, так как ( + 1)л — (в) а (и егаеО Г 1гт ~ = 1пп оа — (Г) агагт — Т 11п (1+ 1) е (~) ~г + 1 =Π— и( Отскгда вытекает возможность почленного дифференцирования ряда (15) любое число раз в области 1 > 1 > О.
Палее, пользуясь принципом суперпозиции, заключаем, что функция, определенная этим рядом, удовлетворяет уравнению (4). В силу произвольности 1 это имеет место для всех 1 > О. Тем самым доказано, что при 1 > О ряд (15) представляет функцию, дифференцируемую нужное число раз и удовлетворяюшую уравнению (4) ~г. Если функция уг (т) непрерывно, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям 1о(О) = О и ~р(1) = О, то ряд (15) ~ г) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 213 определяет непрерывную функцию нри 1 > О. Действительно, из неравенства !и„(х, 1)/ < !С„/ (при 1 > О., О < х < 1) сразу же следует равномерная сходимость ряда (15) при 1 > О, О < х < < 1, что и доказывает справедливость сделанного выше утверждения, если учесть, что для непрерывной и кусочно-гладкой функции 1р1х) ряд из модулей коэффициентов Фурье сходится, когда 1р (О) = 1р (1) = О (см.
гл. П, з 3, и. 3). Итак, задача нахождения решения первой краевой задачи для однородного уравнения с нулевыми граничными условиями и непрерывным, кусочно-гладким начальным условием решена полностью. 2. Функция источника. Преобразуем полученное решение (15), заменяя С„их значениями: и (х, 1) = ~ Сп е 1цд) и гвзп — х = п=1 с 1 — / 1р®згп — где, .е 111' зш — х = о г г ~1 — е ( г ) ' ззп — х. вш — ~ 1р(~е) д~. п.=1 Изменение порядков суммирования и интегрирования всегда законно при 1 > О в силу того, что ряд в скобках сходится равномерно по ~ при 1 > 0~1. Обозначим гю г С(х, С, 1) = — ~ е 1цп) ' 'ззп — х.
зш — Р. (18) г~=-1 Пользуясь функцией С (х, ~, 1), можно представить функцию и (х, 1) в виде и(х., 1) = / С (х, С, 1) 1р(С) дС. о 11 Ряд ~ ап, где оп определяется формулой (15'), при д = О является мажораитвым для ряда, стоящего в скобках. Функция С(х, с, 1) называется функцией мгновенного точеч- ного источника или, более подробно, функцией температурного влияния мгновенного точечного источника тепла. 214 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 Покажем, что функция источника С(х, ~, 1), рассматриваемая как функция х, прсдставляет распределение температуры в стержне 0 < х < 1 в момент времени 1, если температура в начальный момент 1 = О равна нулю и в этот момент в точке х = ~ мгновенно выделяется некоторое количество тепла (величину которого мы определим позже), а на краях стержня все время поддерживается нулевая температура.
Выражение «количество тепла 1,), выделяющееся в точке С» означает, как обычно, что мы имеем дело с теплом, выделившимся на «небольшом» интервале около изучаемой точки с. Изменение температуры оз,. (~), вызываемое появлением тепла около точки, будет, очевидно, равно нулю вне интервала (С вЂ” е, 4 + с), на котором выделяется тепло, а внутри этого интервала у, (С) можно считать положительной, непрерывной и дифференцируемой функцией, для которой (20) так как левая часть этого уравнения и прсдставляет количество те- пла, вызвавшее изменение температуры на величину 1о, ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
