УМФ Тихонов (965259), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ЗЗ), что, в частности, имеет место для выпуклой изотермы. Введя обозначение для обратной функ- )) ции будем искать асимптотическое решение по- ставленной задачи в вице распространяю- щейся волны 0: й=ф®, й=р(О, (18) АО)' где о скорость распространения волны, Рис.
ЗЗ подлежащая определению. Это означает, что на больших расстояниях (при х е оо) или через большой промежуток времени (1 — з оо) п (х, 1) = й = ез (х — ц1), и (х, 1) = й = зр (х — о1). Концентрации и и и должны при х = оо или 1 = оо удовлетворять условию равновесия или и = г'(с). Из условия (17) вытекает, что и)*= = у(+со) = О, ф(+со) = и~ = = Г(0) = О. (20) Условия (19) означают, что при 1 — > со (~ — ~ — оо) должно установиться всюду насыщение.
Подставляя предполагаемую форму решения в уравнения (14), .по- лучим ф~ — озр~ = О, (21) — = ф — и (~р). Из (21) и (20) заключаем, что ф (с) — сор (с) = О. (22) (23) Н Для упрощения записи вместо хы 1з будем писать х, К 12* и = уз (и), Из условия (16) тогда следует и~ =о =ф( — со)=1, С=ос ~р( — со) = и! =о = уз (1) (19) С=ее 180 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Н Из уравнений (19) тогда следует, что Ф(1) 1 РЫ), Л(1)' (24) или, в размерных величинах, ио — э=У( о). ао (24') Из (22) и (23) находим — н дф = д(.
Р-Г(Ф (25) 4'= пю '(~-4о) (28) Выясним, может ли быть определена функция ы «и будут ли функции р и у«удовлетворять поставленным условиям при ~ — «+ со и 5 — « — оо. Покажем, что производная с1ь« 1 — = — и <О, 4' ю — У« '(Ф (29) т. е. ~-Се =ю(~) монотонно убывающая функция у. В самом деле, знаменатель в (29) равен 1 Р—,( '(Д) = Ю вЂ”,«" '(Ф .«'«(Ц Первое слагаемое есть принадлежащая ординате е«абсцисса точки, лежащей на луче, идущем из начала координат в точку (1, «"«(1)) (рис. 33). Так как мы условились, что кривая сэ = 1«(з) лежит вы- ше этого луча, то .«"« ' (~ ) < К (О < Р < «"«(1)) 1 Л (1) и, следовательно, с«у — 1 ~ (~««) ) О.
После интегрирования будем иметь ~(Р) =1-1е, (26) где ю (с«) какой-либо интеграл левой части, а ~е постоянная интегрирования. Отсюда искомая функция у (с) определится с точностью до неизвестной постоя««ной ~« = ы ' (с - со), (27) 181 Ч. ДИНАМИКА СОРВЦИИ ГАЗОВ Кроме того, р-у (р) =о при ссс = 0 и при ссз = Л (1). Отсюда следует, что с — со = ы (ссс) = + со при ссз = О, С вЂ” Со = ас(ссс) = — оо при сСс = ус (1).
Для обратной функции получаем ссс = ос ~ (с — со) = с"с (1) при с = — оо, ссс = ос с (с — со) = 0 при ( = + сю. Далее в силу равенства (29) имеем 1 ссс = ссссс = со = 1 при с = — оо, Л (1) 1 ссс = оса = у = 0 при с = + оо. Л (1) Итак, все условия (19) и (20) удовлетворены и тем самым доказано, что система уравнений имеет решение в виде распространяющейся волны, содержащей неопределенную постоянную Со.
Для определения Со интегрируем первое уравнение по 1 в пределах от 0 до 1о и по х в пределах от 0 до хо: с со со *о ~о ) З... с.-).З, )с. + ).З,~рс*-).р.,огас] =а. о о о о (30) Полученное равенство выражает закон сохранения вещества.
Переходя к пределу при хо -о сю и пользуясь начальными условиями для и и и, находим со п(х, 1о) с1х = ~и(0, т) с1т = 1о. Допустим, что для больших значений 1 решение нашей задачи приближается к функциям й и о, найденным выше в виде распространяющихся волн.
Если мы опрЕделим ~о из условия о(х; 1о) с1х — 1о — 'с 0 (1о — > со), о У. ДИНАМИКА СОРВЦИИ ГАЗОВ 183 11срсйдсм к пределу при 1о + со. Тогда (32о) пр ( — пао — 1о) т «т«р ( — оо) = сг,(т (1) = 1. Чтобы вычислить предел выражения п1о«р ( — о 1о — Со) — со, воспользуемся уравнением (25). Разлагая Гт ~ (р) = г'(от) вряд вблизи точки «Ро = ут (1)т получаем спр — и («Р) = о («Р — «Ро) + 1 — г (Р) = = о" ('Р— 'Ро) — [г («Р) — г («Ро)1 = [и — г (О«о)1(«р — «Ро) -> откуда и, — ссС, с1«р [и — р" (ро)](р — ро)+ " (33) 1 («Ро) > ст = Л (1) ' Из уравнения (33) находим порядок роста «Р при с — т — со; р = Ае "«+ «ро, (34) где А и и ) О некоторые постоянные.
Из (34) следует, что 11ш 1о [пср( — ст1о — со) — Ц = 11ш 1оАсте ь1 'о+«от = О. (32о') то — т«с то — т«с Совершив в формуле (32') предельный переход при 1о — т со и принимая во внимание (32о) и (32"'), получаем тт От (35) Тем самым профили волны (й, 6) определены полностью. Особый интерес представляет случай изотсрмы Лснгмюра. Найдем асимптотическое решение для процесса сорбции газа, подчиняктщегося изотерме Ленгмюра. Уравнение (25) примет вид сЬР— ст «га†1 — р«р (36) где точками обозначены члены более высокого порядка относительно (р — ро). Из требования 3 для функции уз следует, что 184 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П где а = 1/~111) = 1 + р скорость волны. Из (36) находим б — сс = (р), где ь1(у) = а + А = (1-~р)й~ р — ар (1- рФ а 1 — !п(а — 1 — ра1с) — 1п у1 + А.
а — 1 а Очевидно, что когда у меняется от О до 11 (1), то ю (р) меняется от 1,О 0,8 о,в 0,4 0,2 о,о х 28 4 8 12 16 го Рис. 35 + со до — со. Выберем А так, чтобы 1 2 т. е. чтобы 1 1 1 ы (~р*) = О при 12' = — г'1 (1) =— 2 21+р При этом условии А = — — 1п -р — 1п 185 Ч1. ФИЗИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ и ~1 ю(р) = ~ — 1п2(1 — а~р) — 1п2(1+р)~р н — 1 и Значение сэ определяется формулой Л Н1 и не зависит от р = ис/д, т. е. от подаваемой концентрации. Искомое асимптотическое решение имеет вид 81л., 1) = ш (и — п1 — ~е), б1х., 1) = нш 1х — лг — Сс), (37) где ш з ® обратная для ы(ф функция.
На рис. 35 приведены результаты численного интегрирования уравнений (14) для изотермы Ленгмюра методом конечных разностей. Эти графики даны для значений 0 ( 1 ( П = 10. При 1 = 1з результаты численного интегрирования совпадают с асимптотическим решением с точностью до 1%. Пля значений 1 > П можно пользоваться асимптотическими формулами. '1г1. Физические аналогии При рассмотрении явлений в различных областях физики мы часто обнаруживаем общие черты в этих явлениях.
Это приводит к тому, что при математической формулировке задачи мы получаем одни и те же уравнения, описывающие различные физические явления. Простейшим примером может служить уравнение 12 а +бт=О, ,11г описывающее различные колебательные процессы простейших систем; математический маятник, колебание груза под действием силы упругости пружины, электрические колебания в простом контуре с индуктивностью и емкостью и т. д. Общность уравнений для различных физических процессов позволяет на основании изучения свойств одного явления делать заключение о свойствах другого, .менее изученного явления. Так, изучение различных акустических явлений может быть значительно облегчено предварительным рассмотрением подобных электрических схем.
Распространение электрических колебаний в системах с распределенными постоянными описывается, как известно, телеграфными 18б ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П уравнениями — — = С вЂ” -гав, д1 дГ дл д1 др д1 — — =Ь вЂ” +Ш, дл д1 где С, С, Ь, Л -распределенные емкость, утечка, индуктивность и сопротивление системы. Если можно пренебречь сопротивлением и утечкой тока, то для )г и 1 получаются обычные волновые уравнсния дзИ дз7 для д1з дз1 дз1 а уравнения (1) принимают вид =С вЂ”, д'г' д1 = Ь вЂ”.
д1 д1 (2) При решении задачи о распространении звука в одном направлении, например при изучении движения воздуха в трубах, мы приходим к уравнениям де ='д1' 1 др т дс' др дк дц дл (3) где е скорость колеблющихся частиц, р плотность, р давление, а т = роу коэффициент упругости воздуха. Подобие уравнений (2) и (3) позволяет установить соответствие между акустическими и электрическими величинами. Разности потенциалов соответствует давление, току --- скорость смещения частиц. Индуктивности электрической цепи соответствует плотность, определяющая инерционныс свойства газа, а емкости электрической цепи соответствует 1(т, т, е, обратная величина коэффициента упругости. Это же соответствие можно установить и из выражений кинетической и потенциальной энергий для электрической и акустической систем.
Возвращаясь к уравнениям (1), мы можем ввести акустические аналоги сопротивления и утечки. Величину акустического сопротивления приходится учитывать в тех случаях, когда при рассмотрении 187 Ч1. ФИЗИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ дп 1 дТ дТ дп =Р дх Й д1' дх д1' где Т натяжение стержня, и скорость колеблющихся точек, р плотность и й -- коэффициент упругости стержня.
Сравнивая зто уравнение с уравнением (2), мы можем установить подобие между механическими и электрическими величинами. Так, установив соответствие между электрическим напряжением и натяжением струны, током и скоростью движения частиц, мы получим, что обратная величина коэффициента упругости соответствует емкости, а плотность индуктивности.
Таким образом., рассмотрение подобных динамических задач приводит к установлению соответствия между рядом электрических, акустических и механических величин. Это соответствие можно иллюстрировать следующей таблицей ~~: Акустическая сислвми Электрическая система Механическая система Натяжение 1сила) Т Скорость смешвния х Смешение х Напряженно 1~' Ток 1 Лавление р Скорость частиц и Заряд Смсщение и Инертность (плотность) Индуктивность Ь Плотность массы р~ и а Ы в и а 1 т 1 Мягкость Сы =— й Акустическая емкость Емкость С Акустическое сопротивление Механическое сопротивление Сопротивлонив Л Н См., например: Ольсон Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
