УМФ Тихонов (965259), страница 24
Текст из файла (страница 24)
2. Решить задачу 2 из з 4, считая, что начальная температура системы равна ио, а температура на конце трубы все время поддерживается равной ео > во. 3. Решить систему телеграфных уравнений (см. З 1, (21)) 1 +Се2+Се=О, ех ->Ьй+Л1=0 для бесконечной линии при начальных условиях 1(х, 0) = аа(х), с(х, 0) = ф(х). 10' 148 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П Указание. Свести систему уравнений (3 1 (21)) к уравнению 2-го порядка для одной из функций 1 (х, 1) или х (х, 1), например 1хх = СЬ1ц «-(СЛ«-Сй) й «- СЛ1 с начальными условиями 1 (х, 0) = х (х), д1 /1 Д А 1 р Л вЂ” = — ( — хх «- — 1) = — — ф (х) — — у(х) = Фо (х), Ь ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П 1. О колебании струн музыкальных инструментов Колеблющаяся струна возбуждает колебания воздуха, воспринимаемые ухом человека как звук, издаваемый струной. Сила звука характеризуется энергией или амплитудой колебаний, тон периодом колебаний, а тембр соотношением энергий основного тона и обертонов~).
Не останавливаясь на физиологических процессах восприятия звука и на процессе передачи звука по воздуху, .мы будем характеризовать звук струны ее энергией, периодом и распределением энергии по обертонам. В музыкальных инструментах Рвс.
29 обычно возбуждаются поперечные колебания струн. Различают три типа струнных инструментов: щипковые, ударные и смычковые. В ударных инструментах (например, рояль) колебание возбуждается ударом, придающим струне начальную скорость без начального отклонения. В щипковых инструментах (например, арфа, гитара) колебания возбуждаются приданием струне некоторого начального отклонения без начальной скорости. Свободные колебания струны, возбуждаемой произвольным способом, .могут быть представлены в виде (см.
гл. 11, 3 3) х= о яп г яп и(х, 1) = ~ (а„созшл1+ бчз)пш„1) зш — х (шл = — а) . 1 (,л 1 ч=з П Р элей Д ж. В. С. Теория звука. М., 1955. Т. 1, гл. Ч1. и воспользоваться затем формулой (35). 4. Исследовать решение телеграфного уравнения, полученное (формула (35)) для случая малых С и Н. Рассмотреть предельный случай С вЂ” ~ О, Л вЂ” э 0 и получить из формулы (35) формулу Даламбера для решения уравнения колебаний струны. 1. О КОЛЕБАНИИ СТРУН МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ 149 В качестве упражнения к э 3 была предложена задача 1, лежащая в основе простейшей теории возбуждения струн щипковых инструментов.
Решение этой задачи показывает, что если начальное отклонение струны представлено в виде треугольника с высотой 6 в точке т = с (рис. 29),то 261 япс Ь„ = О. Энергия и-й гармоники равна 12 2 и убывает обратно пропорционально пз. В задаче 4 к з 3 рассматривается простейшая теория ударного возбуждения струны при помощи сосредоточенного в точке с удара с импульсом К. Решение этой задачи представляется в виде 2К 1, япс, япт / ггп и (ж, 1) = ~ — ейп ьйгг з1пагп1 ) геч = — а), (3) ггар п 1 1 1 и=1 К ггпо ,; г (4) Таким образом, при возбуждении струны ударом, сосредоточенным на небольшом интервале длины б, энергии различных гармоник (для которых б мало по сравнению с расстоянием между узлами) будут мало различаться мсжду собой и тон, издаваемый так возбужденной струной, насыщен обертонами.
Это заключение легко проверяется экспериментально. Если натянутую струну (на монохорде) ударить лезвием ножа, то струна зазвенит: звук будет насыщен обертонами. В рояле струна возбуждается ударом молоточка, обтянутого кожей. Такое возбуждение струны можно представить при помощи следующих схем. 1. Струна возбуждается заданием постоянной начальной скорости ие на интервале (с — б, с+ б). Этот случай будет соответствовать плоскому жесткому молоточку, имеющему ширину 2б и ударяющему в точке с.
Процесс колебаний описывается функцией (см. задачу 3 из 4ие1 с 1 япс япб япх и (я, 1) = з ~ — з згп згп згп я!паг~1, 2 2~ 2 и=1 и энергии отдельных гармоник равны 4Мие я япс з япб г ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П 150 2. Струна возбуждается начальной скоростью х — с л со сов ' — при ~х — с~ < б, б 2 ди — (х, О) = а1 О при )х — с( > б. хпб ггпс сов яп 8ггоб ~ 1 и(х,б) = ггзл и Г2бпй з п=г ) кпх яп в1п ог„1, и энергии гармоник равны 1-гоооб Р 1 вкпб зяпс сов .
яп [1 — (2бгг)1) ~ 3. Молоточек, возбуждающий колебания струны, нс является идеально жестким. В этом случае колебания определяются уже не начальной скоростью, а силой, меняющейся со временем. Таким образом, мы приходим к неоднородному уравнению с правой частью г(х,1)= х — с я лг Ро сов — яп —, если )х — с~ < б, О < 1 < т, т если ~х — с~ >б, 1> т. О, Решение этого уравнения для 1 > т представляется в виде япб ог„т хпс сов сов вш "" ''~-('"Л~--"Г .гих г т; х яп вшог„~1 — — ) .
2) Рассмотренные примеры показывают, что ширина интервала, по которому производится улар, и продолжительность времени удара имеют весьма существенное влияние на величину энергии высоких Этот случай соответствует жесткому выпуклому молоточку ширины 2б. Такой молоточек в центре интервала 2б возбуждает наибольшую начальную скорость, что схематически может быть описано приведенной выше функцией.
Возбужденное таким образом колебание имеет вид (см. задачу 3 из 3 3) Н, О КОЛЕБАНИИ СТЕРЖНЕЙ ннс обертонов. Отметим, кроме того, что присутствие множителя зш показывает, что если центр удара молоточка приходится на узел и-й гармоники, то энергия соответствующей гармоники равна нулю.
Наличие высоких обертонов (начиная с 7-го) нарушает гармоничность звука и вызывает ощущение диссонанса ц. Наличие низких обертонов, наоборот, вызывает ощущение полноты звука. В рояле место удара молоточка выбирают близко от точки закрепления струны между узлами 7-го и 8-го обертонов, чтобы уменьшить их энергию. Регулируя ширину молоточка и его жесткость, стремятся увеличить относительную энергию низких (3-го и 4-го) обертонов. В старых конструкциях рояля, обладавших более резким, даже до некоторой степени звенящим тоном, пользовались узкими и жесткими молоточками. 11.
О колебании стержней В курсах методов математической физики основное место отводится уравнениям 2-го порядка. Однако большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т. д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера уравнения 4-го порядка рассмотрим задачу о собственных колебаниях камертона, эквивалентную задаче о коле- Рис. ЗО баниях тонкого прямоугольного стержня, зажатого одним концом в массивные тиски.
Определение формы и частоты колебаний камерто- И Например, если основная частота (первая гармоника) в 440 колебаний в секунду соответствует ноте «ля» первой октавы, то в семь раз ббльшая частота соответствует ноте «соль» четвертой октавы. Интервал «ля соль», так называемая малая септима,имеет неприятный для слуха, диссонирующий характер. 152 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П на сводится к решению «уравнения поперечных колебаний стержня» д2, д4 др дц д'ц дэг = — ' — — = — дт.
д, д,,„, дг Слой материала, отстоящий от оси стержня у = 0 на расстояние гб изменяет свою длину на величину и аЬр 1рис. 31). По закону Гука сила натяжения, действующая вдоль слоя, равна г11т' = Е. Ьг)Л Л вЂ” = — Е Ь Лдтб сЬр дгд 41и ди2 где Е --модуль упругости материала, стержня. Полный изгибающий момент сил, действующих в сечении и, равен 6,'2 — М2 12) где 6/2 Ьлз ,7=Ь у1 0' Ь1=— 12 — Мг момент инерции прямоугольного сечения относительно своей горизонтальной оси. Обозначим через М (т) момент, действующий на правую часть стержня в каждом сечении. В сечении л+ дт, очевидно, действует момент сил, равный — 1М+ ЙМ).
П См., например: Крылов А. Н. Вибрация судов. СПб., 1907; Собрание трудов академика А. Н. Крылова. Т. Х. Мб Л., 1948. М К этому уравнению приходят во многих задачах о колебаниях стержней, при расчете устойчивости вращающихся валов, Г -~- кл] а также при изучении вибрации кораблей П. Приведем элементарный вывод уравРис. 31 пения 11).
Рассмотрим прямоугольный стержень длиной 1 10 ( и ( 1), высотой 6 и шириной Ь (рис. 30). Выделим элемент длины дт. После изгиба торцевые сечения выделенного элемента стержня, предполагаемые плоскими, образуют угол о92. Если деформации малы, а длина оси стержня при изгибе не меняется 1411 = 41т), то Н. О КОЛЕБАНИИ СТЕРЖНЕЙ 153 Избыточный момент — 41М уравновешивается моментом тангенциальных сил дМ = Е41х. Отсюда в силу равенства (2) получаем величину тангенциальной силы з' дМ д'у (3) Приравняв действующую на элемент результирующую силу аЕ д4у с~Е = — 41х = — Еэ сЬ дх а4 произведению массы элемента на ускорение где р плотность стержня, Я площадь поперечного сечения (при этом мы пренебрегаем вращательным движением при изгибе), получаем уравнение поперечных колебаний стержня Граничными условиями для заделанного конца х = О являются неподвижность стержня и горизонтальность касательной: (4) На свободном конце должны равняться нулю изгибаюгций момент (2) и тангенциальная сила (3), откуда следует, что д2 дз (5) Пля того чтобы полностью определить движение стержня, нужно еще задать начальные условия -начальное отклонение и начальную скорость у = У (х) и — = 42(х) (О < х < 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
