УМФ Тихонов (965259), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Решение задачи при а = О существует не всегда. Если частота вынужденных колебаний ы совпадает с собственной частотой ы„ колебаний струны с закрепленными концами: яп о~ =ы„= — а, то знаменатель в формулах для иО1 (х, «) и ицз~ (х, «) обращается в нуль и решения задачи без на шльных условий не существует. Этот факт имеет простой физический смысл; при ы = я„наступает резонанс, т. е, не существует установившегося режима.
Амплитуда, начиная с некоторого момента « = «о, неограниченно нарастает. При наличии трения (а ф. О) установившийся режим возможен при любом значении я, так как япй« ~ О при комплексном к. Пусть «з1 («) = О, а рз («) периодическая функция, представимая в виде ряда Ао рз («) = — + ~(А„совал«+ В„япяп«), 2 а=1 (74) Ао яп(о~и,«а х) и (х, «) = — х+ ~(А„совал«+ В„япяп«) з1пОоп,«а «) п=1 если только ни одна из частот ып не совпадает с собственными частотами закрепленной струны.
Если же рз 1«) непериодическая функция, то, разлагая ее в интеграл Фурье, аналогичным методом можно получить решение в интегральной форме. Отметим, что решение задачи без начальных условий при а = = О определено неоднозначно, если только не накладывать каких-либо где ы — наименьшая частота, А„и В„.коэффициенты Фурье. Тогда решение задачи для случая а = О принимает вид 1 з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 115 дополнительных условий. В самом деле, прибавляя к какому-либо ре- шению этой задачи любую комбинацию стоячих волн яп пп т , яп (Ао сов — а(+ В„в(п — а1) сйп — х, )' где Ап и В„- произвольные постоянные, видим, что эта сумма будет удовлетворять тому же уравнению и тем же граничным условиям.
Чтобы получить единственное решение задачи (1„) при о = О, введем дополнительное условие «исчезающего трения». Рещение задачи (1о) мы называем удовлетворяющим условию «исчезающего трения», если оно является решением задачи (1 ) при а -+ — з О. Аналогично решается задача, если конец х = 1 закреплен, а прн х = О задан граничный режим. Решение общей задачи без начальных условий и(О, 1) = рд (1), и(1, 1) = рз(1) определяется в виде суммы двух слагаемых, для каждого из которых неоднородно лишь одно из граничных условий.
Докажем единственность ограниченного решения задачи без начальных условий для уравнении (ОЦ. При этом мы будем предполагать непрерывность решения вместе с ого производными до второго порядка включительно в области О < х < 1, — со < Е < ео, если граничные значения и(О Е) = де (8) и(1~ 1) =рз (1) определены в области — сю < Е < 1о.
Пусть и~ (х, Е) и иг (х., 1) два ограниченных решения рассматриваемой задачи (1), )из! < М, (из! < М, где М > О - некоторое число. Разность этих функций о(х, Е) =из(х,е) — из(х,8) ограничена (~о~ < 2М), удовлетворяет уравнению (61) и однородным граничным уСлОвиям о (О, 1) = О, о (1., 1) = О. Коэффициенты Фурье для функции о 2 1 яп о„(е) = — / о (х, е) сйп — хдх, — 1/ о очевидно, удовлетворяют уравнению 2 6„-~-ооп -~-шоо, = О ( шэ = — а), так как вторые производные функции о (х, 1) непрерывны для О < х < 1.
11б УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Общее решение уравнения (я) имеет внд до~~ я~Юг е„(Г) = А„ее + Вл еч" где яо н Е„коРнн хаРактеРистического УРавнениЯ, Равные 00 00 Так как о > О, то Вен„' < О. Следовательно решение (**) уравнения 11,2) (я) будет ограниченным при 1 — > — оо лишь для А„= 0 и Во = О, т.
о. е„(Г) = 0 для любого ть Таким образом, е(х,Г)=0 и иг(х,1)гииз(х,1) ° и (х, 1) = и, (х, 1) при 0 < х < хо, ~ и(х,1) =ив(х, 1) при то < х <1.)г (75) Эти функции должны удовлетворять уравнению 2 им=а и,„при тахо, (76) граничным и начальным условиям иг (О, 1) = О, и (х, О) = ~р (х), ( из (1, 1) = О, и~ (х, О) = ~~ (х) ) (77) и условиям сопряжения в точке т = хо (см. (8) из з 1), состоящим из условия непрерывности функции и (х, 1): иг (хо, 1) = из (:го, й) (78) и условия, связывающего величину разрыва производной с силой 1 (г), сосредоточенной в точке хо. ои е диз диг 1 (1) ® 8.
Сосредоточенная сила. Рассмотрим задачу о колебаниях струны под действием сосредоточенной силы, приложенной в точке х = хо. Если сила распределена на некотором участке (хо — е, хо + + е), то решение находится по формуле (55). Совершая предельный переход при е — > О, можно получить решение поставленной задачи. С другой стороны, при выводе уравнения колебаний мы видели (см. (8) из О 1, п. 1), что в точке хо, к которой приложена сосредоточенная сила, происходит разрыв первой производной, а сама функция остается непрерывной. Решение задачи и (х, 1) о колебаниях струны под действием силы, сосредоточенной в точке хо, можно представить двумя различными функциями: 1 з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 117 Уф =Асояы1, — со <1<+со, и найдем решение, удовлетворяющее лишь граничным условиям, прсд- полагая,что сила действует все время, начиная от 1 = — со (устано- вившийся режим), т.
е. решим задачу без начальных данных. Будем искать решение в виде из (х, 1) = Хз (х) соя оЛ при 0 < х < хо, из (х, 1) = Хз (х) соя ы1 при хо < х < 1. Из уравнения (76) следует гызз а Хзл + ( — ) Хз = 0 при хе ~< х < <й а (80) Функции Хз и Хз, кроме того, должны удовлетворять граничным условиям Х (О) = О, Х (1) = О, вытекающим из (77), и условиям сопряжения (81) Хз (хо) = Хз (хо), Хз (хо) — Хз (хо) = —, Х' (82) вытекая>щим из (78) и (79). Из уравнений (80) и условий (81) находим Хз(х) =Сван — х, Хз(х) =Ряп — (1 — х); а а условия сопряжения (82) дают М ы Ся1п — хо — 11 я|п — Д вЂ” хс) = О., а а ы ы ы ы А С вЂ” соя — хе + 11 — соя — (1 — хе) = —.
а а а а и Заботиться о соблюдении начальных условий нет необходимости. Коли мы найдем частное решение уравнения (76), удовлетворяющее граничным условиям из (77), а также (78) и (79), то, прибавляя к нему решение однородного уравнения колебаний, мы всегда сможем удовлетворить заданным начальным условиям.
Рассмотрим частный случай 118 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Определяя отсюда коэффициенты С и й, получаем в1п — (1 — хо) Аа а ' . от ит = — в(тт — х сов М при О < х < хо, Йот г от а в1п — 1 и(х,1) = от в1п — хо Аа а от иэ = — в1п — (1 — х) совотв при Йот . ы а вш а хо<х<1. Аналогично записывается решение при ((1) = Авшотв.
Итак, получено решение для случая 1 (1) = Асовотр или ((1) = = А вшот1. Если ((1) --.периодическая функция, равная ( (1) = — + ~ ~(ао соя отпв + Д„вш отп1) гто 2 л=.г (от -наименьшая частота), то, очевидно, отп а вш — (1 — хо) (аох / хо 1 т а отпх в1тз х й( 2 (. 1) ~ отп а отп в1п — 1 а, х (гт„сов оттМ+ Д„в1пыпт), О < х < хо,. а в1п — хо 1 (аох / х1 т а отп(1 — х) иэ= — т (1 — — )+ у в1п х й ( 2 1) , ып а =т отпвш а и(х, С) = х (гттт совоттМ+ )1л вш оттй) хо<в<1. (83) О Если функция ( (1) непериодическая, то, представляя ее в виде инте- 1 ао т' хо1 ит (х, 1) = ит (х) = — — х ( 1 — — ) при О ~ (х ~ (хо, й 2 (~ 1) 1 ао т' хз иэ(х,1)=ив(х)= — — хо ~1 — — ) при хо<х<1.
1 2 1 1) Первые слагаемые этих сумм соответствуют стационарному прогибу, определяемому по величине силы ((1) = ао/2 = сопят, как нетрудно видеть, функциями ~ з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 119 грала Фурье, аналогичным методом можно получить решение в интегральной форме. Если знаменатель у этих функций (83) равен нулю: юп1 ейп =О, а хгп шп= а=ш т. е, если спектр частот возбуждающей силы содержит одну из частот собственных колебаний (резонанс), то установившегося решения не существует.
Если точка приложения силы хо является одним из узлов стоячей волны, соответствующей свободному колебанию с частотой ш„„то шт вш — хв = О, а шш в1п — (1 — хв) = О. а При этом числители соответствующих слагаемых для и обращаются в нуль и явление резонанса не имеет места. Если же точка приложения силы, действующей с частотой ш, является пучностью соответствуюшей стоячей волны с частотой ш,„, то шю в1п — хо = 1 а и явление резонанса будет выражено наиболее резко. Отсюда следует правило, что для возбуждения резонанса струны при действии на нее сосредоточенной силой надо, чтобы частота ее ш была равна одной из собственных частот струны, а точка приложения силы совпадала с одной из пучностей стоячей волны. 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
