УМФ Тихонов (965259), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если ш достаточно велико, то функцию и, (!) можно рассматривать как фунхцию влияния мгновенного импульса интенсивности Х = Х, (тз) Хзт = у" (т;) з.'зт, так что и(!) = ~~ У(! — тП) у (т,) Ьт — — > / У(! — т) у'(т) с!т, ьт- о з=з о т. е. мы приходим к формуле с и(!) = / У(! — т) У (т) Йт, о 108 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П ()+( — 1 а СС=О, П(0) =О, С)(0) =1, с,С/ так что з.п СС(С) = зсп — ас. лпа Отсюда и из (3') получаем формулу (52): с и„(С) = с Н (С вЂ” т) 1„(т) сСт = ~ з1п — а (С вЂ” т) )„(т) йт.
сс) С С . ггн яна / о о Полученное выше интегральное представление (3') решения обыкновенного дифференциального уравнения (1*) имеет, яак мы убедились, тот же физический смысл, что и формула (59), дающая интегральное представление решения неоднородного уравнения колебаний. б.
Обтцая первая краевая задача. Рассмотрим о б щ у ю первую краевую задачу для уравнения колебаний. Найти решение уравнения исс = а~и„+,((х, С), О < х < С, С ) Ог (45) с с)ополнительныжи рсловияжи и (х, 0) = ср (х), ( и ( , О) = Сс(х) ) (46) (О, С) = а, (С). ( и (С, С) = рз (С),.) (47) Введем новую неизвестную функцию о (х, С), полагая и(х, С) = сг(х, С) +о(х, С), так что о(х, С) представляет отклонение функции и(х, С) от некоторой известной функции Н (х, С). Эта функция о (х, С) будет определяться как решение уравнения оп =ахилл+С (хг С)г ( (хг С) = У(х, С) — (Нп — а~Н„) с дополнительными условиями о (х, 0) = ср (х), ез(х) = ср (х) — Н (х, 0), и, (хг 0) = ср (х), сСс(х) = ф (х) — Нс (х, 0); о (О, С) = рс (С), Ссг (С) = рс (С) — Н (О, С), о (С, С) — Ссз (С), Ссз (С) — Ссз (С) Н (С, С) ° показываюгней, что влияние непрерывно действующей силы можно представлять суперпозицией влияний мгновенных импульсов.
В рассмотренном выше случае ин удовлетворяет уравнению (50) и сс1 условиям и„(0) = ич (0) = О. Лля функции влияния СС (С) имеем 1 з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 100 Выберем вспомогательную функцию (Г (х, ~) таким образом, чтобы Глл(л) =0 и рг(л) =0; для этого достаточно положить Н (х, И) = Н (И) + ллллг (л) ллл Я.
Тем самым общая краевая задача для функции и (х, ~) сведена к краевой задаче для функции и(х, 1) при нулевых граничных условиях. Метод решения этой задачи изложен выше (см. п. 4). 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями. Весьма важным классом задач являются краевые задачи со стационарными неоднородностями, когда граничные условия и правая часть уравнения не зависят от времени: ии = а'и..
+ Го(т), (45') лл (х, 0) = лр (х), ( ил (х, О) = ллл(х),) (46') и(0, л) = ил. ид = сопяС, '( 'а (1, л) = ллг, 'ллг = сопяа ) (47') В этом случае решение естественно искать в виде суммы а'и" (х) + Го(х) = О, и(0) =ил, и(л) =иг, а о (х, ~) отклонение от стационарного состояния. Нетрудно видеть, что функция и (х) равна 6 (х) = ил + (иг — ил) — + — / лЛСл / лЛСг / алол / лтог х т Г ГУо((г) Г ГУо(ьлг) ,/,/ аг,/,/ аг о о о о В частности, если Го = сопвл, то и (х) = ил + (иг — ил) — + (~х — х ). Уо Р 2аг Функция т (х, ~), очевидно, удовлетворяет однородному уравнению г ти —— а ия, а(х, 1) = и(т) + о (х, 1), где и (х) стационарное состояние (статический прогиб) струны, определяемое условиями 110 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П с однородными граничными условиями в(0, С) =О, в(С,С) =0 и начальными условиями в (х, О) = ссз (х), ср (х) = ссс (х) — и (х) ,. вс (х., О) = ф(х). Таким образом, в является решением простейшей краевой задачи, рассмотренной нами в и. 1 настоящего параграфа. При выводе уравнения колебаний струны и в ряде других случаев мы не принимали во внимание действие силы тяжести.
Из сказанного выше следует, что вместо явного учета силы тяжести (и вообще сил, не зависящих от времени) достаточно сформулировать задачу для отклонения от стационарного состояния. Решим простейшую задачу подобного типа при нулевых начальных условиях: исс = а'сса к -> Со (*), (4ба) (46а) и (х, 0) = О., ис(х, 0) = О, (47а) и(0, С) = иы и(С, С) = из. В этом случае для функции в (х, С) получаем задачу 2 им=а вся, в(х, 0) = ср(х) = — и(х), .вс (х, 0) = О, в (О, С) = О, в (С, С) = О. Нетрудно убедиться., что для решения этой задачи нет необходимости пользоваться точным аналитическим выражением для и (х).
Выражоние для в (х, С) согласно формуле (17) имеет внд в (х, С) = ~(Аа соя а,сСЛпс+ Вп гйпа ЛсУЛп С) Хв (х), а=с где кит Ха(Х) = Ейа иСЛвХ (~Л„= — ) — 1) есть собственная функция слелующей краевой задачи: Х' -ьЛХ=О, (8) (10) Х(0) =О, Х(1) =О. Из начальных условий следует, что Во=О МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 18) 2 1 Ап — — — — / и (х) Хп (х) Ах.
1/ ' о Для вычисления этого интеграла весьма удобным является следуюший ме- тод. Пользуясь уравнением (8), находим Хп (х) = — — Х (х). и Подставим это выражение в формулу для Ап и выполним двукратное ин- тегрирование по частям: А = — и1х) Х„"(х) дх = 1Лп у о 2 — иХ„(х) — и Хп(х) + / и (х) Хп(х) Йх 1Л„~ о Отсюда, учитывая уравнение и граничные условия для и (х), находим Ап = — ив Хп (1) — иг Хп (О) — / Хп (х) 4х 1 уо1х) 1Лп / оз о 2 ТАМ Ап = — ( — 1)" из — из — / Хп (х) Их 7ги / о В частности, для однородного уравнения ()о 1х) = О) имеем Ап = — [( — Цп из — иг~ Этим методом удобно вычислять коэффициенты Фурье для граничных условий второго и третьего рода, а также в случае краевой задачи для неоднородной струны — [й (х) — ~ -Ь Лр(х) Х = О, НХ если известны собственные функции и собственные значения.
7. Задачи без начальных условий. Как было показано выше, задача о колебании струны при заданном граничном режиме может быть сведена к решению неоднородного уравнения с нулевыми граничными условиями. Однако этот прием зачастую усложняет решение задачи, которое может быть найдено непосредственно. 112 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Найти решение уравнения ии — — агин« вЂ” миг (о > 0), 0 < х < 1, при заданных граничных условиях и(0, 1) = р1(г), и (1, 1) = дг (г). 1 > — оо (6Ц Эту задачу назовем (1 ). Слагаемое миг в правой части уравнения соответствует трению, пропорциональному скорости. Рассмотрим сначала задачу о распространении периодического граничного режима: и(1, 1) = Асовагг (или и(Х, 1) = Вз1паг1), а (О, у) = О. (63) Пля дальнейшего нам удобнее записать граничное условие в комплексной форме и(1, 1) = Ае'л.
(64) Если и (х, г) = и~ ~ (х, г) +1и~ ~ (х, г) удовлетворяет уравнению (61) с граничными условиями (63) и (64), то и~О (х, г) и и00 (х, 1) . -его действительная и мнимая части в отдельности удовлетворяют тому жс уравнению (в силу его линейности), условию (63) и граничным условиям при х = 1 и01(1, г) = Асозшг, и~г~ (1, г) = Ав1пшй Итак, найдем решение задачи ивв = а и„— оио г и (О, 1) = О, и (1, 1) = Ае" а (65) При изучении влияния граничного режима важно найти какое- нибудь частное решение (однородного уравнения), удовлетворяющее заданным граничным условиям, так как вычисление поправки на начальные данные сводится к решению того жс уравнения с нулевыми граничными условиями.
Весьма важным классом задач о распространении граничного режима являются «задачи без на гальных условий». Если граничный режим действует достаточно долго, то вследствие трения, присущего всякой реальной физической системе, влияние начальных данных с течением времени ослабевает. Таким образом мы естественно приходим к задаче без начальных условий (1).
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 113 Полагая и(х, 1) = Х (х) е'"'' Х +к Х=О ~~й = — — ин и 2 2 О/ . СО аг аг,/ (66) Х(0) = О, Х(1) = А. (67) (68) Из уравнения (66) и граничного условия (67) находим Х(х) = Сяпкх. Условие при х = 1 дает С= А з1пЫ' (69) так что янах Х(х) =А =Хз(х)+гХ2(х), япИ (70) где Хз (х) и Хг (х) действительная и мнимая части Х(х). Искомое решение можно представить в виде и (х, 1) = [Хз (х) + 1Хг (х)) е'м~ = и01 (х, г) + 1 и00 (х, 1), где и01 (х, Ц) = Х1 (х) созо2с — Хг (х) з1пыз, и60 (х, г) = Хз (х) яп ы1 + Хг (х) соз оЛ.
Переходя к пределу при о — з О, находим, что о/ Й= 1пп к=в — ~о а (71) и, соответственно, и1 1(х, г) = 1пп и1 1(х, 1) = А гозы1, (72) яп(оз/а х) а-~о ' зш(ы/а . 1) и1 1 (х, 1) = !шз и1 1 (х, 1) = А, ядсой (73) з1п(ы; а х) — ~о ' яп(со/а 1) 8 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский и подставляя это выражение в уравнение, получаем для функции Х (х) следующую задачу: 114 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Рассмотрим следующую задачу: им=ахи„,О<х<«, «> — со; < (1о) и (О, «) = «зз («), «> — оо; и («, «) = рз («), которую будем называть задачей (1о). Очевидно, что и«П (х, «) и ибб (х, «) являются решениями задачи (1о) при граничных условиях иП«(О, «) = О, иЧП («, «) = Асозя«, ибб (О, «) = О, ицз«(«, «) = Аяпы«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
