УМФ Тихонов (965259), страница 15
Текст из файла (страница 15)
21) заданы начальные отклонения (1э = 0), как для случая неограниченной струны, так и для случая полуограниченной струны с закрепленным (или свободным) концом. 86 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П 4. В начале длинной цилиндрической трубки, заполненной газом, находится поршень, движущийся по произвольному закону т = 1 (1) со скоростью е = 1~ (1) < о. На запалое смещение и скорость частиц газа равны нулю. Найти смещение газа в сечении с абсциссой х.
Рассмотреть случай движения поршня с постоянной скоростью с < о. Что можно сказать о решении задачи, если начиная с некоторого момента скорость поршня е > а? (гм. Приложение 1У к гл. П). 5. Пусть по неограниченной г струне бежит волна и(в, 1) Рис. 22 ~(т — а1). Состояние струны в момент 1 = 0 принять за начальное и решить уравнение колебаний при соответствующих начальных условиях. Сравнить с задачей 1а. О.
Неограниченный упругий стержень получен соединением в точке т = = 0 двух стержней с характеристиками ?гы ры аг = ъу?йг?Рг при и < О, Рю пз = ~уЖРа при и > О а) Пусть из области к < 0 бежит волна и (т, 1) = 1 (С вЂ” — ), где 1 . заданная функция. Найти коэффициенты отражения и преломления волны при прохождении через точку стыка (т = 0). Установить, при каких условиях отраженная волна отсутствует. б) Решить аналогичную задачу, если задано локальное начальное отклонение 0 при х<ты п(ХО)=у(х)при из<и<ха<0 0 при т>тз, а начальная скорость равна нулю.
7. Пусть в некоторой точке струны к = то подвешен груз массы М и из области к < 0 бежит волна и (т, 1) = У (1 — — ) . Найти выражения для преломленной и отраженной волн. 8. Полуограниченная трубка (т > 0), .заполненная идеальным газом, имеет на одном конце, к = О, свободно перемещающийся поршень массы М. В момент времени 1 = 0 поршню при помощи удара сообщают начальную скорость ео.
Исследовать процесс распространения волны в газе, если известно, что начальные отклонения и начальная скорость частиц газа равны нулю. Указание. Рассмотреть решение уравнения колебаний в области х > О. Использовать граничное условие Мисс(0,1) =8 роит(0,1) ~ з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 87 (ре - — начальное давление газа, д -- площадь поперечного сечения трубки, у = ср>>с,) и начальные условия на границе и СО, О) = О, из СО, 0) = хо. 9. Бесконечная струна, имеющая в точке х = 0 сосредоточенную массу М, находится в положении равновесия. В начальный момент времени 2 = 0 ударом молоточка массе М сообщается начальная скорость ео.
Доказатгч что в момент времени 2 > 0 возмущенная струна имеет вид. указанный на рис. 22, где и> (х, 2) и иг (х> 2) определяются формулами 2Т ~ Р (Мог ~ ))! >пРЯмак волна). ~ о при х — аг > 0; иг(х,г) = ( Мапо ( ( 2Т при х — аг ( 0 )1 — ехр (— х-Ьаг 2Т ' " М 2 ~ ))! (обратная волна), а 0 при х — ог > О.
Указание. Воспользоваться условием дг дг 10. Решить задачу о распространении электрических колебаний в бесконечном проводе при условии и при произвОльных начальных уелевиях. 11. Найти решение интегрального уравнения колебаний для полуограниченной струны при граничных условиях 3-го рода (см. и. 9).
12. На конце х = 0 полуограниченного стержня укреплена момбрана, оказывающая сопротивление продольным колебаниям стержня, пропорциональное скорости ис (О, 2). Исследовать процесс колебания, если заданы начальныо смешения и и> (х, 0) = ф> (х) = О. $ 3. Метод разделения переменных 1. Уравнение свободных колебаний струны. Метод разделения переменных, или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными.
Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Решение указанной задачи мы рассмотрим с исчерпывая>щей подробностью н при дальнейшем изложении курса будем ссылаться на этот параграф, опуская повторения доказательств. Итак, будем искать решение уравнения 2 им=а их„ удовлетворяющее однородным граничным условиям и (О, 1) = О, и (), 2) = О (2) 88 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П и начальным условиям и (г, 0) = тр (я), 1 ит (я, 0) = ф (т).
/ 2 им=а и«е, не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным гра- ничным условиям тл(О,Ф)=0 1 и(1,С) =0) (4) и предстпаваиое в виде произведения и(г, т) = Х (г) Т(т), (5) где Х (г) -- функция тп,олька переменного г, Т1т) - - функция только переменного й Подставляя предполагаемую форму решения (5) в уравнение (1), получим ХвТ = — ТвХ, аз или,после деления на ХТ, Х" (г) 1 Тв 1л) Х(г) аз Т(1) ' (6) Чтобы функция (5) была решением уравнения (1), равенство (6) должно удовлетворяться тождественно, т. е.
для всех значений независимых переменных 0 < г < 1, 1 ) О. Правая часть равенства (6) является функцией только переменного т, а левая только х. триксируя, например, некоторое значение л и меняя 1 (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (6) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение Хв(г) 1 То1т) Х(г) аг Т11) (7) где Л постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком «минус», ничего не предполагая при этом о ее знаке. Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.
Поставим основную вспомогательную задачу. Найтпи решение уравнения МКТОД РАЗНКЛКНИН ПКРКМКННЫХ Из соотношения (7) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций Х (х) и Т (1): Хп (х) + Л Х (т) = О, Х (х) ф О, (8) т" (1)+азлт(1) =О, т(1) и-:О. Граничные условия (4) дают (О) и(0, 1) = Х (0) Т(1) = О, и (Р, 1) = Х (1) Т (1) = О. Отсюда следует, что функция Х (х) должна удовлетворять дополнительным условиям Х(0) = Х(1) = О, (10) так как иначе мы имели бы Т(1) = 0 и и(х, 1) = О, в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Пля функции Т (1) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.
Таким образом, в связи с нахождением функции Х (х) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях. Найти те значения параметра Л, при которых сушествуют нетривиальные решения задачи хп (х) + Л х (х) = о,( х (о) = х (г) = о,./ (х) С1 р~ — Лх + Сзе ъ' — Ла Граничные условия дают Х(0) =Сз+Сз =О, а такако найти зти решения. Такие значения параметра Л называются с о б с т в е н н ы м и з н а ч е н и я м и, а соответствующие им нетривиальные решения собственными функциями з ад а ч и (11) . Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма.
Лиувилля. Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр Л отрицателен, равен нулю или положителен. 1. При Л ( 0 задача не имеет нетривиальных решений. Пействительно, общее решение уравнения (8) имеет вид 90 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П т. е. С1= — Сз и С1(е — е )=О. Но в рассматриваемом случае о действительно и положительно, так что е — е в ~ О. Поэтому Се=о С1=0, и, следовательно, Х(х) = О. 2.
При Л = О также не существует нетривиальнык решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (8) имеет вид Х (х) = С1х + Сз. Граничные условия дают Х (0) = (С1х + Сз1 — в = Сз = О, Х (1) = С,1 = О, т. е. С1 = 0 и Сз = 0 и,. следовательно, Х(х) = О. 3. При Л > 0 общее решение уравнения может быть записано в виде Х (х) = 111 соз ъ' Лх + Вя зш чгЛх. Граничные условия дают Х (О) = В, = О, Х(1) =.0зз1пь'Л1 = О. Если Х (х) не равно тождественно нулю, то 11з ф О, поэтому (12) вшъЛ1=0, или л= —, где и любое целое число.
Следовательно, .нетривиальные решения задачи (11) возможны лишь при значениях Этим собственным значениям соответствуют собственные функции кп Хи(х) = 11 зщ — х, 13) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ БЕРЕМЕННЫХ 91 где 11п произвольная постоянная. Итак, только при значениях Л, равных л„= ( —,") . 113) существуют нетривиальные решения задачи (11) пп Х„(х) = з1п — х, (14) определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице.
Этим жс значениям Лп соответствуют ре- шения уравнения 19) пп кп Т„11) = Ап соз — а1+ В зш — а1, 1 (15) где Ап и В„произвольные постоянные. Возвращаясь к задаче 11) 13), заключаем, что функции и, 1х,. 1) = Х„1х) Т„11) = (А„соз — а1+ Впзш — ас) зсп — х (16) кп яп 1, яп иСх, 1) = ~~ ип(х, Г) = ~~с (Апсоз — ас+В„зш — ас) з1п — х (17) ) п=1 п=1 также удовлетворяет данному уравнению и граничным условиям (2). На этом вопросе мы подробнее остановимся несколько позже (см.
и. 3 этого параграфа). Начальные условия позволяют определить А„и В„. Потребуем, чтобы функция (17) удовлетворяла условиям (3): и(х, О) = ср(х) = ~~с и„сх, О) = ~~с Апзсп — х, п=1 и=-1 (18) дип ис(х, О) = с(с(х) = ~~ (х, д1 п=1 птс, пп О) = ~ — аВпсйп — х. 1 п=1 являются частными решениями уравнения (1)., удовлетворяющими граничным условиям 14) и представимыми в виде произведения (5) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая от й Эти решения могут удовлетворить начальным условиям 13) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций ссс(х) и ус1х).
Обратимся к решению задачи 11) 13) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения 11) сумма частных решений 92 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерыв- ная и кусочно-днфференцнруемая функция 1 (х), заданная в проме- жутке О ( х ( 1, разлагается в ряд Фурье 77 77П г (х) = ~б„яп — х, в=1 (19) где 2 1 .Гп ) 1 ь Г ь о (20) Если функции Гр(х) и ф(х) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то вп Гр(х) = ~ Гр„вш — х, и —.-1 ял уг (х) = ~ ф„яп — х, п=1 2 г", гги ф7е = — / ф ® вш — ( г(~. (22) е-1/ Сравнение этих рядов с формулами (18) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить А„= ГРги Вв = (23) хна Л Обычно рассматриваготся периодические функции с периодом 21 7ГП Г(х) = — -~- ~ (овсов — х -Е бч в1п — х), 2 2~(, 1 ' 1 Если функция Г(х) нечетка, то ав = О., так что 1 / яп 2 1 Ггп 6„= — / Г(6) яп — 6716 = — / Г(6) яп — 6716.
1/ ' 1 г/ Г(х) = ~6 Если функция Г (х) задана только в промежутке (О, 1), то мы можем про- должить ее печатно и вести разложение в промежутке от — 1 до -1, что и приводит нас к формулам (19) и (20). (Смз Будах Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М... 1967.) 1 1 7ГП а„= — / Г ® сов — 6 716, — 1 2 Р яп ГР„= — / Р (Я) ЯП вЂ” ~ ОГСл (21) "-1/ о 1 7Гп Ь~ = — ( Г®яп — 6716.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
