УМФ Тихонов (965259), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В этом случае телеграфное уравнение допускает решение в виде затухающей волны: Л С 1 г(т,1)=е у(т — а1), у= — = —, а,= где 1 произвольная функция. Отсутствие искажения волн при их распространении по кабелю имеет особо важное значение для телефонной н телеграфной связи на больших расстояниях. 9. Интегральное уравнение колебаний. При выводе дифференциального уравнения колебаний (5) в З 1 мы исходили из закона сохранения количества движения, который привел нас к уравнению колебаний в интегральной форме (3). 1(ля того чтобы от интегрального уравнения перейти к дифференциальному, мы предположили, что функция и (к, $) имеет вторые производные. Всякое предположение об ограничении класса рассматриваемых функций некоторым свойством означает отказ от изучения функций, не обладающих предполагаемым свойством.
Таким образом, переходя от интегрального уравнения колебаний к дифференциальному, .мы исключаем из рассмотрения процессы колебаний,не удовлетворяющих требованию двукратной дифференцируемости. Покажем, что всю теорию можно развить в классе непрерывных кусочно-дифференцируемых функций, исходя из интегрального уравнения колебаний кг гг к, гг й'-') -('-') 1 "=й"-) -("-') !""П"". гг П (28) Этому уравнению можно придать следующую форму. Рассмотрим в плоскости (т, 1) область С, ограниченную кусочно-гладкой кривой С, и покажем, 80 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П что ддя этой области имеет место интегральное соотношение )0 (29) С С Ддя однородной среды эта фОрмула принимает вид ) ( — ~ — Г)) О)) Пп) [)и — ). )~9) Ф(х,, 6) дх или [ Ф(х, 6))66, Сп Сп где Ф (х, 6) — непрерывная функция и ф— дуга контура С, аппроксимирующая дугу С (рис.
17). Пусть 6 = 6п (х) --. уравнение ломаной Сп и 6 = 6 (х) -- уравнение кривой С. Очевидно, что 6п (х) равномерно сходится к 6 (х) и !цп / Ф[х) сп (х)))!х = ~Ф[х, 6(х)))1х, а, а что и доказывает законность предельного перехода 1) 1) Посхольку )гх = 0 на вертикальных звеньях ломаной Сп) то в этой формуле 6 = 6п (х) есть уравнение горизонтальных звеньев кривой С„. С С Если кривая С является контуром прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, то формула (29) совпадает с формулой (28).
Если кривая С состоит из кусков, параллельных осям, то область С можно представить как сумму прямоугольников. Суммируя контурные интегралы, соответствующие отдельным слагаемым, мы подучим, что слагаемые, относящиеся к внутренним границам, взаимно уничтожаются, так как интегрирование произ- С ведитея в противоположных направлсни- ях, а остающиеся слагаемые дадут фор- С мулу (29).
Пусть, далее, кривая С со- держит дуги С, не параллельные осям и 6 и не являющиеся линиями разрыва поРис. 17 дынтегральной функции. Возьмем сетку со сторонами, параллельными осям координат, и рассмотрим ячейки сотки, пересекающиося с областью С. Обозначим через С' совокупность этих ячеек и через С . границу области С*. Формула (29) применима к С*. Переходя к пределу при уменьшающихся размерах сотки, нетрудно убедиться в справедливости формулы (29) для предельной кривой С. В самом деле, первое слагаемое формулы (29), примененной к области С'., состоит из слагаемых типа 62) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН 81 ( — 4хфа — сй) -ь~~ф(х,1)бхай=О ~(„ /ди г ди (29') и начальным услоеиям и (х, 0) = зз(х), ис (х, 0) = ф (х), где р(х) кусочно-гладкая функция, а функции ф(х) и 1(х.,с) кусочнонепрерьтнм.
Здесь С произвольный кусочно-гладкий контур, лежащий х х х-~- ое О А' В Рис. 18 Рис. 19 в области 1 ) О. Покажем, что эта задача имеет единственное решение, определяемое формулой Даламбера. Допустим, что функция и (х, 1) представляет решение нашей задачи. Рассмотрим треугольник АВМ (рис. 18), примыкающий к оси 1 = О, с вершиной в точке М(х, 1), со сторонами, являющимися отрезками характеристик х — а1 = сопв1 и х -~- а1 = сопес, и применим к нему формулу (29'). Вдоль отрезка АМ имеет место равенство дх/дс = а, так что ди з ди /ди ди — ' дх Ч- а — сй = а ( — ду Ч- — дх) = а дзь. д1 дх (,ду дх дх Вдоль отрезка МВ имеет место равенство — = — а, так что сй ди г ди /ди ди — дх+ а — сй = — а ( — ей+ — дх) = — ада.
дс д (,дс дх Следовательно, подынтегральное выражение вдоль характеристик является полным дифференииалом. Производя интегрирование вдоль отрезков ВМ 6 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Если кривая С содержит дуги, .являющиеся линиями разрыва подынтегральной функции, то формула (29) сохраняет силу, если брать в качестве значений подынтегральной функции ее продельные значения с внутренней стороны области С.
Таким образом, справедливость интегральной формулы (29) дохазана. Рассмотрим следуюшую задачу. Найти функцию и(х, 1)., определенную и кусочно-гладкую е области — сю < х < сю, 1 > О, удоелетеоряюиьую уравнению 82 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П и МА,получаем ~( /ди з ди ( — 4х А- а — (Ы) = — а (и (М) — и (В)), д1 дх в ~( Iди з ди ( — 4х -ь а — й) = а (и(А) — и(М)], (д1 д М так что формула (29') принимает вид и(М) = и(В) -1- и(А) 1 / ди 1 / -Ь вЂ” / — дх-~- — // удхЖ, 2 2а / дг 2о / АВМ или и(х, 1) = 1з(х А-а1) -1- х(х — а1) 2 + хьа (З вЂ” г) х-~-аЗ (С)г)С А- — ~ г1т / 1'(С, т) г1ф (30) з — ы о — (з — 1 Таким образом, если решение поставленной задачи существует, то оно однозначно определяется своими начальными значениями.
Б случае однородного уравнения (г = О) зта формула совпадает с формулой Лаламбера. Отсюда следует теорема единственности для рассматриваемой задачи. С помощью непосредственной подстановки нетрудно убедиться, что функция типа хьа д — г) и(х, 1) = 1'з (я+ аз)-'г 6з (х — а1) + / йт / З"з (С, т) ЙС, о х — ад — г! где 1Г и 1З кусочно-гладкие функции, а ГЗ кусочно-непрерывная функция, удовлетворяет уравнению (28), а тем самым и уравнению (29').
Это доказывает теорему сузцествования. Решения задач, рассмотренных в и. 3 в качестве примеров, являются кусочно-гладкими функциями и охватываются изложенной теорией. Обратимся теперь к первой храевой задаче на полуограниченной прямой. Будем искать решение уравнения (29) в некоторой точке М (х, 1) для 1 ) х,1а (рис. 19).
Так как в области 1 ( х/а (под характеристикой х = = а1) влияние граничного режима не сказывается, то решение определяется формулой (30). Применим формулу (29') к четырехугольнику МАА'В, в котором МА, МВ и АА'. отрезки характеристик. Выполняя интегрирование вдоль характеристик МА, АА' и ВМ, получаем В 2ои(М) = 2ии (А) + ни (В) — аи(А ) + ~ — Ах+ ц 1" Ах~В. )' ди / дг МАА'В А' 83 32) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН Подставив сюда координаты точек М, А, В и А', будем иметь х1 и(х-~-а1, 0) — и(ас — х, 0) и(х,1)=и 0,1 — — )-~- =( ) + а) 2 с хта (З вЂ” г) х-~-аЗ Йх -~- — ( Йг / 1" (С, т) аС, 2а / о )х — ар — В или х 1 1а (х 1- а1) — 1а (а1 — х) и (т, 1) = р 1 — - ~ -Ь =( ) -(- а) 2 хьа (З вЂ” г) — / у1(С) ае -'г — / Ат / 1" (С, г) ае (1 > — ) .
(ЗЦ о |х — а(з — В Из (31)непосредственно следует единственность решения рассматриваемой задачи. При 1 = 0 зта формула, как нетрудно заметить, совпадает с формулой (24) 3 2, п. б. Аналогичным способом изучается и вторая краевая задача, а также задачи для ограниченного отрезка. При изучении первой краевой задачи мы видели, что задания двух начальных условий и (х, 0) = 1а(х), из (х, 0) = 4 (х) и одного граничного условия и (О, 1) = д(1) достаточно для полного определения решения.
Отсюда следует, что должно существовать соотношение, связывающее функции аа, ф, р и и, где и(1) = = их (О, 1). Дифференцируя формулу (31) по х и полагая х = О, получаем и(1) = — (1а(а1) — (р (1) — аЗа (а1)! ), (32) а где для простоты положено 1 = О.
Пользуясь формулой (32)., можно, например, третью краевую задачу свости к первой краевой задаче. 10. Распространение разрывов вдоль характеристик. Обратимся к рассмотрению разрывов производных решений уравнения (29). Покажем, чте линиями разрыва прОизвОдных функций и (х', 1), удовлетворяющих уравнению (29), могут быть только линии семейств характеристик х — а1 = совзз, х+ а1= сопзй В самом доло, пусть некоторая дифференцирусмая хривая, определяемая уравнением х = х (1), является линией разрыва производных непре- Рис. 20 рывной, кусочно-днфференцируемой функции и (х, 1). Предположим для 84 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П определенности, что х11) -- возрастающая функция. Применим формулу 129') к прямоугольнику АВСР (рис. 20): Уди зди 1 Г /ди зди ( — дх+а — М) + 1 ) — дх+а — Ж) =О, '1д1 дх ) / '1а дх пс-~-св вя+яп а также к криволинейным треугольникам Ьг = ВАР и Ьз = ВРОО /ди з ди 1 /ди ~ з ди1 ( — дх-Ра — г)1) -~- ~ ( — х -~-а — ) 61 =0, '1д1 д, ) / '1д1 д,)г ВА-енП пв псэсв пв где скобки 1 )гд показывают, что надо брать предельные значения изнутри треугольников Ьг или гзя.
Вычитая из суммы последних двух равенств предшествующее, получим / ) ( — х -~а — ) — ( — х фа — ) )Й=О, пв или, в силу произвольной малости дуги РВ, [ — ~х-~-а [ — ~=0, 133) где, как обычно, скобками обозначается величина разрыва функции: Ы вЂ” 12 Хг Возьмем производную по 1 от значения функции и 1х, 1) вдоль линии разрыва производных: — и1х11),1)= ( — ) х ф ( — ) 11=1,2), причем в качестве значения производных можно брать предельные значения как из Ьг, так и из Ьз. Разность правых частей при 1 = 1 и 1 = 2 дает [ — ~+х [ — ~=0. Сопоставляя это равенство с равенством 133) и предполагая, что по край1ди1 1ди1 ней мере один из разрывов [ — ~, [ — ~ отличен от нуля, видим, что эти ~ д1! ' ~дх! равенства возможны одновременно, если детерминант этой системы равен нулю: х а ( ) 0 2 р 1 х~ или х = х а1+ сопэФ.
~ г) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 85 Таким образом, линии разрыва производных решения уравнения колебаний являются характеристиками. Задачи 1. Начертить профиль струны для различных моментов времени в слелуюшик случаях. 1. Неограниченная струна ( — оо « а) начальная скорость равна нулю (уЗ(х) = 0), а начальный профиль струны задан в виде рис. 21; б) начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость имеет постоянное значение из (х, 0) = узо на участке струны (хы хз) и равна нулю вне этого участка; в) начальные условия имеют вид х(х) = О, 0 при х<с, 6 Ф(х) = — х(2с — х) при с < х < 2с, 2сз прн х > 2с. П. Полуограниченная струна (О < х < оо): г) начальная скорость равна нулю (уз (х) = 0), а начальное отклонение задано в виде треугольника, изображенного на рис.
21. Конец струны закреплон; д)та же задача для струны со свободным концом х = 0; е) начальные условия имеют вид 0 при 0<я<с, Ф(х) = 0 ф(х) = фо = сопзз при с < х < 2с, 0 при х>2с, конец струны х = 0 закреплен; ж) аналогичная задача для струны со свободным концом х = О.
Профиль струны для всех задач 1а ж следует начертить для момен тов времени с 1о=О, 8а (й = 1, 2, ..., 8) Отметить для задач 1а---ж на фазовой плоскости (х, 1) зоны. соответствуюшие различным стадиям о х~ хг х процесса. 2. Найти решение задачи 1а для всех значений Рис. 21 переменных х и 1 (формулы, выражаюшис функцию и (х, $), различны для разных зон фазовой плоскости). 3. Определить отклонение в некоторой точке хо, 1о, пользуясь фазовой плоскостью (х, 1) и плоскостью (х, и), в которой (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
