УМФ Тихонов (965259), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(7Ц Мы ограничимся здесь этой формальной редукцией для того, чтобы характеризовать частные краевыс задачи, составляющие основные этапы при решении общей задачи. Аналогичная редукция может быть произведена и для предольных случаев общей краевой задачи. 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных. Мы подробно рассмотрели постановку краевых задач для случая одной независимой геометрической переменной х (и времени 1). Если число геометрических переменных и > 1 (например, п = 3), то первая краевая задача ставится совершенно сходным образом. Требуется найти функцию и (М, 4) = и (х, у, 2, 4), определенную при 4 > 0 внутри заданной области Т с границей Х, удовлетворяюигую при 4 > 0 внутри Т уравнению им=а Ли+7" (М,г) (М(х, у,г) ЕТ, 4>0), (72) граничному условию на Х и~в = Р(Р, 1) (Р(х, У, 2) б Е, г > 0), (73) 4 А.
Н. Тихонов, А. А. Самарский Указанный принцип суперпозиции относится, очевидно, не только к данной задаче, но и к любому линейному уравнению с линейными дополнительными условиями. Этим свойством мы в дальнейшем неоднократно будем пользоваться. Решение общей краевой задачи 50 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П где р(х, у, и, 1) функция, заданнаи на Е, и начальным условиям и(М, 0) = ю(М),1 щ (М, 0) = ф (М) ! (74) дзи д / диз р(х) д, = — ~ й(х) — )+Р(х,е) (р(х) >0,1(х) >О), (75) 0<х<1, ь>0, начальным и граничным условиям и (х, 0) = у (х), и~(х, 0) = уз (х), ( и (О, У) = рз (У), и (1, 1) = рз (1),/ (76) если выполнены условия: 1) функция и(х, ь) и производные, входящие в уравнение (75), а также лроизводнаи и,е непрерывны на отрезке 0 < х < 1 при и > >О; 2) коэффициенты р (х) и й (х) непрерывны на отрезке 0 < х < Е Допустим, что существует два решения рассматриваемой задачи: из (х, г), из (х, и), и рассмотрим разность и (х, 1) = и, (х, 1) — из (х, 1).
Функция и (х, 1), очевидно, удовлетворяет однородному уравне- нию (77) Разложение общей краевой задачи на ряд более простых происходит аналогично предшествующему. Отметим, что возможна также постановка предельных краевых задач для неограниченной области, полу- пространства и т. д. 10. Теорема единственности. При решении краевых задач надо убедиться в том, что: 1) дополнительные условия достаточны для выделения однозначного решения; это достигаетсядоказательством теоремы единственности; 2) дополнительные условия не переопределяют задачу, т.
е. среди них нет несовместных условий; это достигается доказательством т е о р е м ы с у щ е с т в о в а н и я; доказательство существования решения обычно тесно связано с методом нахождения решения. В настоянием пункте нами будет доказана следующая теорема единственности. Возможно существование только однао функции и(х, ь), определенной в области 0 < х < 1, ь > 0 и удовлетворяющей уравнению ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ и однородным дополнительным условиям о (х, 0) = О, ес (х, 0) = 0; (78) а также условию 1 теоремы.
Докажем, что функция и (х, 1) тождественно равна нулю. Рассмотрим функцию Е (1) = — / (й ( )э + ( )') 4 е (79) дЕ (1) г1г = ~(йохох~ + Рогом) 4х. о Интегрируя по частям первое слагаемое правой части, .будем иметь йокохс 4х = (йозо~)е — / оз (коз)я ~1х. l' (80) Подстановка обращается в нуль в силу граничных условий (из е(0, 1) = 0 следует из(0, 1) = 0 и аналогично для х =1). Отсюда г)Е (1) й = ~(Ртом — из ЯеМ г1х = ~ ез (Реп — (йо,),) Йх = О, т. е. Е (1) = солей Учитывая начальные условия, получаем Е (1) = сопэб = Е (0) = — 1 [й (оя) + р(ез)з)з=е дх = О, (81) 2,/ е так как о (х, 0) = О, оз(х, 0) = О. П Для дифференцирования под знаком интеграла достаточно, чтобы получаемое при этом подыитегральиое выражение было непрерывно иа отрезке О ( х < 1 при 1 ) О. Это требование в нашем случае выполнено, так как функция е (х, 1) удовлетворяет условию 1 теоремы, а р (х) и к (х) условию 2.
и покажем, что она не зависит от й Физический смысл функции Е (1) очевиден; это полная энергия струны в момент времени й Продиф- ференцируем Е (1) по 1, выполняя при этом дифференцирование под знаком интеграла О: 52 УРАВНЕЕ1ИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. П Пользуясь формулой (81) и положительностью 6 и р, заключаем, что ек (х, С) = О, е~ (х, С) = О, откуда и следует тождество е (х, С) = сопзС = Со. (82) Исходя из начального условия, находим е (х, 0) = Со = 0; тем самым доказано, что (83) е (х, С) = О.
е (О, С) = О, е, (1, С) = О, (84) и подстановка в формуле (80) также обращается в нуль. Пальнейшая часть доказательства теоремы остается без изменений. Пля третьей краевой задачи доказательство требует некоторого видоизменения. Рассматривая по-прежнему два решения: и1 и ию получаем для их разности е (х, С) = из — из уравнение (77) и граничные условия ех (О, С) — Ьзе (О, С) = 0 (Ьг > 0),1 е (1, С) + Ьзе (1 С) — О (62 > О) ° / (85) Представим поцстановку в (80) в виде [Ьехе1)з — [Ьяе (1 С) + Ьъе (О, С)с ° Ьа 2 2 дС сСЕ Интегрируя — в пределах от нуля до С, получаем гСС Е(С) — Е(0) = / ~ес [ром — (Ье,),) йхгСС— о о — — (Ьз [е (1., С) — е~ (1, 0)) + Ьс [е' (О, С) — ез (О, 0))), откуда в силу уравнения и начальных условий следует Е (С) = — — [Ьз е~ (1, С) + 61е~ (О, С)) ( О. (86) Следовательно, если существует две функции: и1 (х, С) и из (х, С), удовлетворяющие всем условиям теоремы, то и1 (х, С) = из (х, С).
Для второй краевой задачи функция е = иг — из удовлетворяет граничным условиям ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ Так как ввиду неотрицательности подынтегральной функции значения Е(1)>0, то Е® =О, (87) а следовательно,и о (х, 1) = О. (88) Задачи 1. Доказать, что уравнение малых крутильных колебаний стержня имеет вид 2 Оп=а Охк, а=~1 —, -~1 где О есть угол поворота сечения стержня с абсциссой х, О модуль сдвига, э полярный момент инерции поперечного сечения, а к момент инерции единицы длины стержня.
Дать физическую интерпретацию граничных условий 1, 2 и 3-го рода для этого уравнения. 2. Абсолютно гибкая однороцнвя нить закреплена на одном из концов и под действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия. Вывести уравнение малых колебаний нити. ди яд 1 ди1 Ответ, = а — [П вЂ” х) — ~, а = д, ' де д ~ дх! ' где и (х, 1) смешение точки, 1 длина нити, д ускорение силы тяжести. 3. Тяжелая однородная нить длины 1, прикрепленная верхним концом (х = 0) к вертикальной оси, врашается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью х. Вывести уравнение малых колебаний нити около своего вертикального положения равновесия.
дзи е д 1 ди1 е Ответ. = а — ~(1 — х) — ~ -1-х и, дез дх ~ дх~ где а =д. 2 4. Вывести уравнение поперечных колебаний струны в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости. 2 2 2 Ответ. вм = а вхв — Ь вм а б.
Вывести граничные условия для уравнения продольных колебаний упругого стержня (пружины) в случае, когда верхний конец стержня закреплен жестко, а к нижнему подвешен груз Р, если; Изложенный здесь метод доказательства теоремы единственности, основанный на использовании выражения полной энергии, широко применяется при доказательстве теорем единственности в различных областях математической физики, например в теории электромагнитных полей, теории упругости и гидродинамике. Доказательство единственности других краевых задач (задачи Коши и задачи без начальных условий) будет дано в дальнейшем в соответствующем месте.
54 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Осс 10, С) = ог Ос 10, С), Осс 1с, С) = — оз Оя 11г С). т. В некоторой точке х = хо струны 10 ( х ( 1) подвешен груз массы ЛХ. Вывести условия сопряжения в точке к = ко. 8. К концу х = 1 упругого стержня, упруго закрепленного в точке х = О, подвешен груз массы сгс . Написать уравнение и условия, определяющие продольные колебания стержня, предполагая, что на него, кроме того, действует внешняя сила.
Рассмотреть два случая: а) сила распределена по стержню с плотностью Р 1к, С): б) сила сосредоточона в точке к = хо и равна Ро 1С). 9. Рассмотреть процесс малых колебаний идеального газа в цилиндрической трубке. Вывести сначала основные уравнения гидродинамнкн, а затем, предполагая процесс адиабатическим, дифференциальноо уравнение: 1) для плотности р, 2) давления р, 3) потенциала 1С скорости частиц газа, 4) скорости е, 5) смещения и частиц.
Привести примеры реализации граничных условий 1, 2 и 3-го типов для этих уравнений. 10. Установить соотношения подобия между процессами механических, акустических и электрических колебаний сом. Приложение У1 к гл. П). 11. Привести примеры граничных условий 1, 2 и 3-го рода для телеграфных уравнений. 12. Рассмотреть задачу о продольных колебаниях неоднородного стержня Сй = йг при х ( хо, й = йз при х ) хо) и вывести условия сопряжения в точке стыка однородных частей стержня спрн х = то). 13. Дать физическую интерпретацию граничного условия оиз 10, С) -~- сгис 10г С) = О. 14. Привести пример механической модели, для которой реализовалось бы уравнение 2 гсм = а гсяя -С- Ьщ -~-си.
3 2. Метод распространяющихся волн 1. Формула Даламбера. Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа мы начинаем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны: г исс — а икк = О, и 1к, О) = гсз 1х), ~ ис (*, О) = ф (*).
/ 12) а) за положение равновесия принимается напряженное состояние стержня под действием неподвижного груза Р, подвешенного к нижнему концу 1сгтатическое растяжение), б) за положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня 1например, в начальный момент из-под груза убирается подставка и груз начинает растягивать стержень). 6. Написать уравнение и условия, определяющие процесс крутильных колебаний стержня, к обоим концам которого прикреплены шкивы. Опсвеги При и = О, х = 1 должны выполняться граничные условия вида ~ г) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯ1ОЩИХСЯ ВОЛН 55 Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему сме- шанную производную (см.
гл. 1). Уравнение характеристик Нт, — ай =0 распадается на два уравнения: дх — а Нг = О, дх + ааг = О, интегралами которых являются прямые х — а о = Сы х + а 1 = Сз. Вводя, как обычно, новые переменные С=х+а1, б=х — а1, уравнение колебаний струны преобразуем к виду (3) и~о = О. и(С, т)) = /,Г" (ц)йц+гз(С) = ~~(С) + 6з(ц), (4) где 71 и уз являются функциями только переменных С и и.
Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции 71 и )'з, функция и (с, ц), определяемая формулой (4), представляет собой решение уравнения (3). Так как всякое решение уравнения (3) может быть представлено в виде (4) при соответствующем выборе (з и то формула (4) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция и(х, 1) = зз (х+ а1) + 1з (х — а1) (5) является общим интегралом уравнения (1). Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует, тогда оно дается формулой (5) . Определим функции )'~ и 1"з таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия: и (х, О) = 7з (х) + уз (х) = оо (х), (б) ио(х, О) = ал (х) — а(з(х) = 4о(х).
Интегрируя второе равенство, получаем (7) Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (3) и, Ы: и) =7'*(и): где 7* (о1) некоторая непрерывная функция только переменного ц. Интегрируя это равенство по ц при фиксированном 5, получаем 56 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
