УМФ Тихонов (965259), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Количество электричества, притекающее на элемент провода йх за время й1, [г(х, Г) — 1[х+ йх, 1)]й1 = — зяйхйг (19) равно сумме количества электричества, необходимого для зарядки элемента йх, и количества, теряющегося вследствие несовершенства изоляции: С [о (х, 1+ й1) — о [х, 1)] йх + С йх . о й1 = [Сос + Со) йх й1, (20) ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 35 где С и С коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины, причем величину потерь мы считаем пропорциональной напряжению в рассматриваемой точке провода. Из формул (18) (20) получаем систему 1, +Соз+Со = 0,~ оя + 11~+ Л1' = О,/ (21) 1яя + С о — СЛ ап — СЛь = О.
Заменяя о, его значением из второго уравнения (21), получаем урав- нение для силы тока 1 я = С1 гп + (СВ + СЛ) ъ', + СРьъ'. Аналогично выглядит уравнение для напряжения: (22) ия = СБим+ (СЛ+СТ) пэ+ Ст1о. Уравнение (22) (или (23)) называется телеграфным уравнением. Если можно пренебречь потерями через изоляцию и если сопротивление очень мало (С = Л = 0), то мы приходим к известному уравнению колебаний (23) (24) 5. Поперечные колебании мембраны. Мембраной называется плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Рассмотрим мембрану, натянутую на плоский контур С.
Будем изучать поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно к плоскости мембраны. Пусть Ыз элемент дуги некоторого контура, взятого на поверхности мембраны и проходящего через точку ЛХ (х., у). На этот элемент действует натяжение, равное Т де.
Вектор Т вследствие отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу лежит в касательной плоскости к мгновенной поверхности мембраны и перпендикулярен к элементу Нз. Можно показать, что отсутствие сопротивления сдвигу приводит к тому, что величина натяжения не зависит от направления элемента да, так что вектор натяжения Т = Т (х, р, к) является функцией х, у и Эти уравнения являются приближенными в рамках теории электромагнитного поля, поскольку оии не учитывают электромагнитных колебаний в среде, окружающей провод. называемую системой телеграфных уравнений ц. Чтобы получить одно уравнение, определяющее функцию г, продифферснцируем первое равенство (21) по х, второе по 1, умножив его на С.
Произведя вычитание в предположении постоянства коэффициентов, найдем 36 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Е Эти свойства вектора Т служат математическим выражением отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу. О С Будем изучать малые колея = я2 бания мембраны, пренебрегал квадратами первых производных и и ию где функция и(х, у, 1) определяет форму мембраны в момент времени Е Из этого предположения сразу же следует, что Рис. 3 Ть Ух, у, 1) проекпия натяжения на плоскость (х, у) — равна абсолютной величине натяжения. В самом деле, при любой ориентации дуги Нв угол у' между вектором Т и плоскостью (х, у) не превосходит угла 7, образуемого нормалькв к поверхности мембраны в точке (х, у) с осью ю Поэтому о 1 сову'>сову= =1, + цз + цз т.е.
сову'=1,и Тк (х, р, з, 1) = Т сов у = Т (х, р, з, 1). (25) Вертикальная составляющая натяжения, очевидно, равна Т„= Т вЂ”. дц дп Т'= ~ Тдв. (26) Анси В силу отсутствия перемещения вдоль осей х и у проекции Т* на эти оси равны нулю: Т* = / Т (хз, у, 1) г16 — / Т (хы у, 1) ду = / ~ Т (хз, у, 1) — Т (хы у, 1) ) дв = О. ю Выделим на поверхности мембраны элемент плошади, проекция которого на плоскость (х, у) является прямоугольником АВСР со сторонами, параллельными осям координат (рис. 3). На этот элемент действует сила натяжения, равная 38 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П Пля перехода к дифференциальному уравнению предположим, что функция и (т, у, 1) имеет непрерывные вторые производные. С помощью теоремы Остроградского --ГауссаВ контурный интеграл преобразуется в поверхностный: ди — сЬ = ~~(и, +и„„) Й:сс1у, ди вследствие чего интегральное уравнение колебаний приводится к виду ~~(рии — То (и„+ и„„) — г (я, у, 1)) с7х с7у с11 = О. В 31 Пользуясь теоремой о среднем, произвольностью выбора дз и промежутка времени (1ы 1з), делаем заключение о тождественном равенстве нулю выражения в фигурных скобках.
Таким образом, приходим к дифференциальному уравнению колебаний мембраны рии = То(и„+ ик„)+ Р(т, у, 1). (31) Пля однородной мембраны уравнение колебаний можно записать в виде ии = а (иск+пик) +1 (т., у. 1) а = — ~, (32) р/ где 7' (х, у, 1) плотность силы, рассчитанная на единицу массы мембраны. 6. Уравнении гндродинамики и акустики. Для характеристики движения жилкости пользуются функциями из (т, у, з, 1), из (т, у, з, 1), ез (т, у, з, 1), представляющими компоненты вектора скорости ч в точке (л, у, з) в момент 1 (эйлеровы переменные). Величинами, характеризующими движение жидкости, являются также плотность р(я, у, з, 1), давление р(к, у, я, 1) и плотность внешних действующих сил Г (х, у, з, 1) (если они имеются), рассчитанная на единицу массы. Рассмотрим некоторый объем жидкости Т и подсчитаем действующие на него силы. Пренебрегая силами трения, обусловленными вязкостью, т. е.
рассматривая идеальную жидкость, получим для результирующей сил давления выражение в виде поверхностного интеграла (33) где д поверхность объема Т, и единичный вектор внешней нор- 1 Смл Смирнов В. И. Курс высшей математики. 'Г. П. М, 1974. С. 207; Будак Б. М., Фомин С.
В. Кратные интегралы и ряды. М., 1907. 40 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Преобразование поверхностного интеграла в объемный дает Я ('— ' ~М„.) ~.=0. т Так как это равенство справедливо для сколь угодно малых объемов, то отсюда следует уравнение непрерывности др — + о11ч(рч) = О, д1 или — +ч йгабр+ РО1чч = О.
др д1 (38) К уравнениям (36) и (38) следует присоединить термодинамическое уравнение состояния, которое мы здесь возьмем в виде Р = 1(р). Следовательно, мы получаем систему пяти уравнений с пятью неизвестными функциями о, оо, п„-, р и р. Если бы уравнение состояния содержало температуру, то нужно было бы добавить еще уравнение теплопереноса (см. Приложение 1Ч). Таким образом, система уравнений дч 1 — + (чЧ) ч = Š— — 8гас1р, д1 Р— + п1ч(рч) = О,. др д1 р= 1(р) представляет замкнутую систему уравнений гидродинамики. Применим уравнения гидродинамики к процессу распространения звука в газе. Сделаем следующие допущения; 1) внешние силы отсутствуют; 2) процесс распространения звука является адиабатическим, поэтому уравнением состояния служит адиабата Пуассона Р Р я я(т, у,з,о) = Р— Ро Ро (40) где ро и ро начальная плотность и начальное давление, с„ и с, теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме; 3) колебания газа малы, можно пренебрегать высшими степенями скоростей, градиентов скоростей и изменения плотности.
Назовем конденсацией газа величину о (т, у, я, 1), равную относительному изменению плотности: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ откуда р = ро (1+ в). (4Ц Уравнения гидродинамики при сделанных предположениях принимают вид 1 нс = — — Кгас1р, Ро (42) р, + ро с(1н н = О, р=ро(1+в) Вро(1+7в); так как 1 1 1 — угас1р = — (1 — в + ...) кгас1р = — Игас1р + .. Р Ро Ро с11н рн = н кгас1 р + р дт и = ро с11н н +..., где точками обозначены члены второго и высшего порядков малости. Введя обозначение аг = уро/ро, перепишем систему (42) в следующем виде: нс = — а' кс ас1 в, вс + с11н и = О.
(42') Применяя к первому уравнению (42') оператор дивергенции и меняя порядок дифференцирования, будем иметь дн д с11н — = — с)1нн = — а с)1н(кгас1в) = — и и в = — а Ьв, де Д1 где дг дг дг д.г д„г д г оператор Л ап л а с а. Используя второе уравнение (42'), получаем уравнение колебаний 1 гав = — вм, (43) аг или а (ввя + зуу + згЛ = всс. Отсюда и из (40) получаем уравнение для плотности а (Р,*+ Руу + Р =) = Рн. (43') Уравнения (43) и (43') являются уравнениями колебаний. Введем теперь потенциал скоростей и покажем, что он удовлетворяет тому же уравнению колебаний (43), что и конденсация.
42 УРАВНЕЕ1ИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Из уравнения чз = — а ягас) я следует (44) где т (х, у, з, О) -- начальное распределение скоростей. Если поле ско- ростей в начальный момент потенциально: ъ')з — о = — 8гас) 1 (и, Р, Я), (45) то имеет место соотношение ъ = — 8гаг)сг, 1 з = — 15. о (47) Подставив эти значения в уравнение непрерывности аз + с11чч = О, получим уравнение колебаний для потенциала 2(11 +11 +11 ) 11 или им=о ЬГ (48) Для давления р и скорости е также можно получить уравнение коле- баний вида (48), называемое часто уравнением акустики. П Из формулы (46) видно, что потенциал П определен с точностью до слагаемого, являющегося произвольной функцией и Из уравнения чз = г 1 = — а 8гас1з и соотношения (4б) следует агасси (з — — Уз) = О, т. е. з = „г 1 = — 0з при соответствующей нормировко потенциала П.
аз которое означает, что существует потенциал скоростей П (и, у., з, 4). Знания потенциала скоростей достаточно для описания всего процесса движения 1: ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ При решении задач для двумерного и одномерного случаев надо в д' д' уравнении (48) оператор Лапласа заменить оператором + и дт др дг соответственно. Постоянная дх имеет размерность скорости и, как будет показано в ~ 2, является скоростью распространения звука. Вычислим скорость звука в воздухе при нормальном атмосферном давлении. В этом случае 7 = 7/5, ро = 0,001293 г/смз, ро = = 1,033 кг/смз; следовательно, а =,~ = 336 м/с.
М Ро В случае колебаний газа в ограниченной области на ее границе должны быть заданы определенные граничные условия. Если граница представляет собой твердую непроницаемую стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что приводит к условиям — =0 дП ди дз или — = О. да (49) 7. Граничные и начальные условия. При математическом описании физического процесса надо прежде всего поставить задачу, т. е.
сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с обыкновенными и, тем более, с частными производными имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия.
В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка решение может быть определено начальными условиями, т. е. заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента (задача Коши). Встречаются и другие формы дополнительных условий, когда, например, задаются значения функции в двух точках (задача о цепной линии) Для уравнения с частными производными возможны также различные формы дополнительных условий. Рассмотрим сначала простейшую задачу о поперечных колебаниях струны, закрепленной на концах. В этой задаче и (я, 1) дает отклонение струны от оси т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
