УМФ Тихонов (965259), страница 4
Текст из файла (страница 4)
г г (5) Пусть х = р(х, у) какое-нибудь частное решение этого уравнения. Если положить 5 = дг(х, у), то коэффициент ап, очевидно, будет равен нулю. Таким образом, упомянутая выше задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (5). Докажем следующие леммы. 1. Если г = р (х, у) лвллетсл частным решением уравнения ап г, + 2агг г,гн + агг г„= О, г г то соотношение 1о(х, у) = С представллет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения ап дд — 2агг йх дУ + агг дхд = О. (6) 2. Если у(х, у) = С представляет собой общий интегрил обыкновенного дифференциального уравнения ап ду — 2игг дх йу + игг дх = О, то функция х = ~р (х, у) удовлетворяегл уравнению (5).
Докажем первую лемму. Поскольку функция х = р (х, у) удовлетворяет уравнению (5), то равенство г ап — — 2агг — — * + агг = О (7) является тождеством; оно удовлетворяется для всех х, у в той области, где задано решение. Соотношение ~р(х, у) = С является общим интегралом уравнения (6), если функция у, определенная из неявного соотношения уг (х, у) = С, удовлетворяет уравнению (6). Пусть у = 1 (х, С) есть эта функция; тогда ду ~у. (х, у)~ 'срн (х у) 1 и=у (ы сэ (8) где квадратные скобки и индекс у = 1 (х, С) указывают, что в правой части равенства (8) переменная у не является независимой переменной, а имеет значение, равное 1(х, С).
Отсюда следует, что О Отметим, что если преобразование переменных линейно, то е' = Р, так как вторые производные от С и ц в формулах (3) равны нулю и г" не получает дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных. 2 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский т. е. уравнение остается линейным~1. Выберем переменные С и ц так, чтобы коэффициент ап был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-го порядка 18 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1 у = 7 (х, С) удовлетворяет уравнению (6), так как /ф'1 ' йу ап ( — ) — 2аы — + агг = (, 1*,) 1* г 9 '') 1'' Р*.'1 оп — — ) — 2агг( — — '(+агг =О, К4 1(я.
С1 поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при всех значениях х, у, а не только при у = 7 (х, С). Докажем вторую лемму. Пусть ~р(х, у) = С общий интеграл уравнения (6). Доказкем, что ап уг, + 2огг ~Рк~Рэ + огг Сг„= О (7') для любой точки (т, д). Пусть (то, уо) -- какая-нибудь заданная точка. Если мы докажем, что в ней удовлетворяется равенство (7'), то отсюда в силу произвольности (хо, уо) будет следовать, что равенство (7') есть тождество и функция 9г(х, у) является решением уравнения (7'). Проведем через точку (хо, до) интегральную кривую уравнения (6), полагая сг (хо, до) = Со и рассматривая кривую у = 7" (х, Со). Очевидно, что уо = 7 (хо, Со).
Для всех точек этой кривой имеем /Иу 1 с1у ап ( — ) — 2агг — + агг = дх 0х г Р*'1 1' 9" '1 ап — — ) — 2агг ( — — ( +агг = О. к=11' се1 Полагая в последнем равенстве х = хо, получаем оп ~р (ха, уо) + 2огг зг.„(хо, уо) ~ря (хо, уо) + огг ~рд (хо, до) = О, что и требовалось доказать О. Уравнение (6) называется характеристическим для уравнения (Ц, а его интегралы характеристиками. Полагая с = ~р(х, у), где ~р(х, у) = сопв1 есть общий интеграл уравнения (6), мы обращаем в нуль коэффициент при исс.
если гр (х, у) = сопэс является другим общим интегралом уравнения (6), независимым от 9г (х, у), то, полагая г1 = зц (х, у), мы обратим в нуль также и коэффициент при и„„. 1 Установленная связь уравнений (5) и (б) эквивалентна известной связи между линейным уравнением с частными производными 1-го порядка и системойобыкновенныхднфференциальных уравнений (смс Степанов В.
В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1969. С. 314; Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. Ц. М., 1974. С. б7.). В этом можно убедиться, разлагая левую часть уравнения (5) в произведение двух линейных дифференциальных выражений. з 1) КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНКНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 19 Уравнение (6) распадается на два уравнения: <~У а12 + а12 а11а22 г (9) ам с У а12 а12 а11а22 2 (10) аы Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1) а11ияя + 2азги „+ аг и„„+ Р = О.
Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением гиперболического типа, если в точке М а г — амагг > О, г параболического типа, .если в точке М а12 — амагг — — О, г эллиптического типа, если в точке М а 2 — аыагг ( 0 1. 2 1\ Нетрудно убедиться в правильности соотношения а12 а11й22 = (а12 а11а22) .0 1у = Ся 212 — 11в Ся„ — 2 — — 2 2 из которого следует инвариантность типа уравнения при преобразовании переменных, так как функциональный определитсль (якобиан) Р преобразования переменных отличен от нуля. В различных точках области определения уравнение может принадлежать различным типам. Рассмотрим область С, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип.
Через каждую точку области С проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа-.— комплексны и различны, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительны и совпадают между собой. Разберем каждый из этих случаев в отдельности. 1.
ДлЯ УРавнениЯ гипеРболического типа а11 — амаг > 0 и пРа- 2 вые части уравнений (9) и (10) действительны и различны. Общие интегралы их д (х, у) = С и уу (х, у) = С определяют действительные семейства характеристик. Полагая (Г1) приводим уравнение (4) после деления на коэффициент при исо к виду Р исв — — Ф (с, 21, и, ие, ив), где Ф =— 2а12 О Эта терминология заимствована нэ теории кривых 2-го порядка. 20 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1 Это так называемая каноническая формауравненийгиперболического типа1~. Часто пользуются второй канонической формой. Поло- жим с = а + )э', и = а — Н, т. е.
сг = (+О ( 0 2 ' 2 и „вЂ” иеэ = Ф1 (Ф1 — — 4Ф). 2. Для уравнений параболического типа агг — апагг = 0 уравнения (9) и (10) совпадают и мы получаем один общий интеграл уравнения (6): 1р (х, д) = сопзи Положим в этом случае ~ = ~р (х, д) н 0 = О (х, р), где п(х, у) любая функция, независимая от ~р. При таком выборе переменных коэффициент ап = ап с~ + 2агзс,~к+атэс„' = (т/а11сх+ чгаггся)г = О, 1 Для того чтобы было возможно введение новых переменных 4 и через функции зг и т, надо убедиться в независимости этих функций, достаточным условием чего является отличие от нуля соответствующего функционального определителя.
Пусть функциональный определитель згэ Згэ ~ в некоторой точке М обращается в нуль. Тогда должна иметь место про- порциональность строк, т. е. что, однако, невозможно, так как зг а1г З агг а11агг г агг — агг — апагг г Згэ а11 ап (а1г а11агг ) 0) г (при этом мы считаем а11 ~ О, что не является ограничением общности). Тем самым независимость фунхций зг и ф установлена. где а и 1) - новые переменные. Тогда 1 1 и~ = — (и +из), ич = — (и — ив), 2 ' " 2 В результате уравнение (4) примет внд 1 иб„= — (и — идв).
4 з 1) КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 21 так как агг = згап зуагг, отсюда следует, что аЧг = ап ~*г1у + агг Ы~г1у + су%) + агг ~уг1у = (игам п~~ + зУагг ~у) (ч'ап г1* -~- эй22 г1у) = О. После деления уравнения (4) на коэффициент при ил„получим каноническую форму для уравнения параболического типа Р '1 иу„= Ф(С, г1, и, иг, и,„) Ф = —— .—. ) Если в правую часть не входит ис, то это уравнение будет обыкновенным дифференциальным уравнением, зависящим от С как от параметра.
3. Для уравнения эллиптического типа а~ — апагг ( 0 и правые части уравнений (9) и (10) комплексны. Пусть д(т, д) =С комплексный интеграл уравнения (9). Тогда ~р*(я, р) = С, где уг" сопряженная к уг функция, будет представлять собой общий интеграл сопряженного уравнения (10).
Перейдем к комплексным переменным, полагая 1 = Р (и, Р), О = Р" (*, Р). При этом уравнение эллиптического типа приводится к такому же виду,что и гиперболическое. Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем новые переменные о и Д, равные 2г уг уг так что О = о — ~, '13. В этом случае ап с~ + 2агг Ыу + агг ~ц —— = (ап о,, + 2агг о,оу + агг од) — (агг 11„+ 2агг 13,(Зу + агг 13у) + + 2г (ап а Д, + агг (оу;Зу+ ау~ ) + агг оуд ) = О, т. е.
и агг = О. ап — — агг 22 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФКРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНННИЙ [ГЛ. 1 Уравнение (4) после деления на коэффициент при и принимает вид г~ Г '1 и + иед = Ф (о, )з., и., и, ид) Ф = — — ) . агг Таким образом, в зависимости от знака выражения агг — аыагг имеют место следующие канонические формы уравнения (1): агг — амагг > О (гиперболический тип) агг — аыагг < О (эллиптический тип)-- агг аыагг = О (параболический тип) и„— и„„= Ф или и,„= Ф, и„+и„, = Ф, и„= Ф. 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми переменными. Рассмотрим линейное уравнение с действительными коэффициентами и п и а„.и..., +'у о,ик, +си+1" = О (аб = ам), (12) 1=1 г=г 1=1 где а, 6, с, 1 являются функциями хы хг, ..., .х, Введем новые независимые переменные Сю полагая ~к = ~к (хг, х, ..., х„) (к = 1, ..., и).
Тогда з п и, =~ ~из о,ь, и,, =~~ иг баско ~+~не (Сь)... к=1 1=-1 где д6 оы = ох~ аыизьь + ~Ььи1, +сиз'-1' = О, к=1 1=1 у=1 ~ Подобное преобразование законно только в том случае, если коэффициенты уравнения (1) аналитические функции. Действительно, если а~г— г — аыагг < О, то правые части уравнений (9) н (10) комплексны, а следовательно, функция у должна иметь комплексные значения. 0 решении этих уравнений можно говорить лишь в том случае, когда коэффициенты ася (х, у) определены для комплексных значений у. При приведении уравнения эллиптического типа к канонической форме мы ограничимся случаем аналитических козффндиентов. Подставляя выражения для производных в исходное уравнение, полу- чим з 1) КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 23 где П 22 и11 = ~~ а21а21г2,1, Ьь = ~ ~Ь;г221+~ ~~и1(сг) 2=1 1=1 2=1 2=1 1=1 Рассмотрим квадратическую форму 'П 22 ~С;,ему у (13) 2=1 1=1 коэффициенты которой равны коэффициентам а1 исходного уравнения в некоторой точке Ме (хв1м ..., т~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
