УМФ Тихонов (965259), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если концы струны 0 < т < 1 закреплены, то 44 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П должны выполняться «граничные условия» и(0,1)=0, и(1,С)=0. (50) Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать «начальные условии»: и (и, 1о) = у (я), 1 ис(т, го) = Ф (и) / (51) Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, где оз (а) и ф (и) заданные функции точки.
В дальнейшем мы покажем, что зти условия вполне определяют решение уравнения колебаний струны ип — — а и„. (52) Если концы струны движутся по заданному закону, то граничные условия (50) принимают другой вид: и (О, 1) = р1 (1), ( и(1. 1) = дз(1),~ (50') и (О, г) = 0; на свободном конце т = 1 натяжение пружины т(1,1) =й — ' дт (53) равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид и,(1, г) =О. Если конец и = 0 движется по определенному закону р, ®, а при и = 1 задана сила р(г), то и (О, 1) = д (Г)., иг (1, 1) = а (8) и (1) = — Р (1) 1 й Типичным является также условие упругого закрепления, скажем, для т, =1: й ия (1, 1) = — пи (1, 1), где д1 (1) и дз (1)-- .заданные функции времени й Аналогично ставится задача для продольных колебаний струны или пружины.
Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией. В точке подвеса х = 0 отклонение ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ или и («, «) = — Ьи(«, «) (6 = — ), (54) и, («, «) = — «з(и («, «) — й'(«)], 6 = — > О. (55) Условие упругого закрепления на левом конце х = 0 имеет вид и, (О, «) = А [и (О, «) — В («)], А > О (формально можно считать, что (55) имеет место и при я = О, но 6 < 0). Следует отметить, что в случае жесткого закрепления (о велико), когда даже небольшие сдвиги конца вызывают большие натяжения, граничное условие (55) переходит в условие и («, «) = р(«) (а = оо) при р(«) = ««(«).
В случае мягкого закрепления (о мало), при котором большие сдвиги конца вызывают слабые натяжения., граничное условие переходит в условие свободного конца и,(«,«)=0 (а=о). В дальнейшем мы будем говорить о трех основных типах граничных условий: граничное условие 1-го рода и (О, «) = р («) заданный режим, граничное условие 2-го рода и, (О, «) = и («) заданная сила, граничное условие 3-го рода и, (О, «) = 6 [и (О, «) — ««(«)] упругое закрепление. Аналогично задаются граничные условия и на втором конце я = = «. Если функции, задаваемые в правой части (р(«), и(«) или ««(«)), равны нулю, то граничные условия называются однородными.
Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, мы получим шесть типов простейших краевых задач. Более сложное граничное условие имеет место, например, при упругом закреплении, не подчиняющемся закону Гука, когда натяжение на конце является нелинейной функцией смещения и («, «), .так что и («, «) = — г' [и («, «)]. 1 (бб) при котором конец я = «может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение. Эта сила, согласно закону Гука, пропорциональна смещению и («, «); коэффипиент пропорциональности а называется коэффициентом жесткости закрепления. Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается и ее отклонение от начального положения дается функцией д («), то граничное условие принимает вид 46 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П Это граничное условие в отличие от рассмотренных выпсе является нелинейным. Возможны, далее, соотношения между смещениями и натяжениями на разных концах системы. Например, в задачах о колебании кольца, когда х = 0 и х = 1 представляют одну и ту же физическую точку, граничные условия принимают вид и (1, 1) = и (О, 1); ил (О, 1) = ил (1, 1), (57) й и (1, 1) = — ссис (1, 1). (58) Если к концу х = 1 пружины прикреплен груз массы т, то при х =1 должно выполняться условие тисе (1, 1) = — Й и, (1, 1) + ту. (59) Для поперечных колебаний струны все граничные условия записыва- ются в той же форме с заменой Й на То.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением трех простейших типов граничных условий, проводя основное изложение на примере первого типа граничного условия и отмечая лишь попутно особенно- сти, связанные со вторым и третьим условиями. Сформулируем первую краевую задачу для уравнения (5). Найти функцию и(х, 1), определенную в аблассли 0 < х < 1, 1 > О, удовленсвор юисую уравнению аи — — а ила+,с'(х, 1) для 0 <я <1, 1> О, грани сны.м и (О, 1) = рс (1), и(1, 1) = рз (1) (60') и начальным условиям и (х, 0) = ср(х), ис(т, О) = ф (т) (60в) Аналогично ставится задача для уравнения (1Ц. Если на обоих концах берутся граничные условия 2-го или 3-го рода, то соответствующие задачи называют второй или третьей краевыми задачами.
Если граничные условия при х = 0 и х =1 Н Мы не останавливаемся на случае, когда граничные условия заданы на отрезке 0 < С ~< Со. т. е. сводятся к требованиям непрерывности и и и . Производные по 1 могут также входить в граничные условия. Если конец пружины испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости его движения (к концу пружины прикреплена пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси пружины), то граничное условие принимает вид ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ с начальными условиями и(х, 0) = сз(х), ( ис(х, 0) = ф (х) ) (61) при — сс < х < оо.
Эту задачу часто называют задачей Коши. Если же мы изучаем явление вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы приходим к постановке задачи на полуограниченой прямой 0 < х < со, когда помимо уравнения даны дополнительные условия и(0, г) =р(1), 1>0, и(х )= (.4 „„, ис (х, 0) = чс(х), ~ (62) Характер явления для моментов времени, достаточно удаленных от начального момента г = О, вполне определяется граничными значениями, так как влияние начальных условий благодаря трению, присущему всякой реальной системе, с течением времени ослабеваетО. Задачи этого типа встречаются особенно часто в случаях, когда система возбуждается периодическим граничным режимом, действующим длительное время.
Такие задачи «без начальных условий» (на установившийся режим) формулируются следующим образом. Найти решение изучаемого уравнения для 0 < х < 1 и г > — сю при граничных условиях (63) ~ Уравнение колебаний с учетом трения, пропорционального скорости, имеет вил 2 им = а иея — аис (о > 0). Подробнее о постановке задач без начальных условий при о = 0 см. З 3, и. 7.
имеют различные типы, то такие краевые задачи называют смешанными, .не проводя более подробной их классификации. Обратимся теперь к рассмотрению предельных случаев поставленной задачи. Влияние граничных условий в точке Ив, достаточно удаленной от границы,на которой они заданы, сказывается через достаточно большой промежуток времени. Если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, когда влияние границ еще несущественно, то вместо полной задачи можно рассматривать предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области. Найти решение уравнения исс — — ам,в+((х,8) для — оо<х<сю, 1>0 48 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П функции, удовлетворяющие д1з ди (64) при О < и < л, 1 > О и дополнительным условиям и, (О., л) = рл (л), и,(Л, л) = дз(л); (65) и; (т, О) = ~р' (т), ди, (л, О) = ллл'(и). Очевидно, что имеет место суперпозиция решений, т. е. функция н и~ л (и, 1) = ~ ил (л, ц) л=л (66) удовлетворяет аналогичному уравнению с правой частью (67) и дополнительным условиям, правые части которых суть функции я р (1) = ~1л' (1) (й = 1,2), ~=1 в р"' (') = ~ ю'(*), ~.=1 ~лЛел ( ) ~флл(т) ю=л (68) Аналогично ставится задача без начальных условий для полуограниченной прямой. В дальнейшем мы будем рассматривать помимо основных краевых задач также предельные задачи: 1) задачи в бесконечной области, когда одна или обе границы находятся в бесконечности; 2) задачи без начальных условий (на установившийся режим), когда рассматривается решение, определенное в течение бесконечного промежутка времени.
8. Редукции общей задачи. При решении сложной задачи естественно стремиться свести ее решение к решению более простых задач. С этой целью представим решение общей краевой задачи в виде суммы решений ряда частных краевых задач. Пусть ил (я, 1) (л = 1, 2, ..., и) уравнениям ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ии — а ива + г (х~ 1) (0<х<1, 4>0); и (О, 4) = рг (1),. и (1 4) — р2 (4) и(х, 0) = <р(х), ие(х, 0) = гб (х) (69) может быть представлено в виде суммы и(х,г)=иг(х.,г)+иг(х,г)+из(х,г)+и4(х,г), (70) и4 решения следующих частных краевых задач: г д'а, =аг ' (4=1 2 3), (0 <х<1, 1>0), г д и4 =а +)(х,г) где иы иг, из, дг дгг и4 д12 иг(0,1) = О, иг(0,1) = рг(г), аз(0,4) = О, а4(0,2) = О, и,(У,К) = О, иг(1,1) = О, из(1,4) = 442Я, и4(й,г) = О, иг(х,О) = вг(х), .иг(х,О) = О, из(х,О) = О, и4(х,О) = О, иы(х,О) = 4В(х), иг,(х,О) = О, аз,(х,О) = О, ио(х,О) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
