УМФ Тихонов (965259), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пользуясь этим условием, подсчитаем удлинение, испытываемое участком струны (хы хг). Длина дуги этого участка равна Таким образом, в пределах принятой нами точности удлинения участков струны в процессе колебания не происходит; отсюда в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т в каждой точке не меняется со временем. Покажем также, что натяжение не зависит и от х, т. е.
Т(х) = То = сопзЕ Найдем проекции натяжения на оси х и и (обозначим их Т, и Т,): Т, (х) = Т(х) айпи = Т(х) сна = Т(х) и„ где а угол касательной к кривой и(х, 1) с осью х. На участок (хы хг) действуют силы натяжения, внешние силы и силы инерции. Сумма проекций всех снл на ось х должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания). Так как силы инерции и внешние силы, по предположению, направлены вдоль оси и, то Т, (хг) — Т, (хг) = О, или Т (хг) = Т (хг). (1) Отсюда в силу произвольности хг и хг следует, что натяжение не зависит от х, т. е.
для всех значений х и 1 (2) Т( ) =Т. После сделанных предварительных замечаний перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний струны. Воспользуемся вторым законом Ньютона. Составляющая количества движения участка струны (хы хг) по оси и равна иг (с, 1) р (с) 0с, П Стрелков С. П. Механика. М., 1975. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ где р линейная плотность струны. Приравняем изменение количества движения за промежуток времени сзс = 1г — 1с хг р(с) ]ис (с 1з) — ис (с, 1с)] сзс импульсу действующих сил, складывающихся из натяжения То ия]„., — То и*]г=г, в точках хг и хс и внешней силы, которую будем считать непрерывно распределенной с плотностью (нагрузкой) г'(х, С), рассчитанной на единицу длины.
В результате получим уравнение поперечных колебаний элемента струны в интегральной форме ]ис (6 Сг) — ис (6 Й)] р (О сК = гс эг сг = / Те си, (хг, т) — и, (хы т)] сст+ / ~ г'(с, т) ссс ест. (3) сс гс Для перехода к дифференциальному уравнению предположим существование и непрерывность вторых производных от и(х, ~) О. Тогда формула (3) после двукратного применения теоремы о среднем примет вид исс (~*, 2') р((') сзсСзх = (То ~и„Ы", 2'*)]+ г (С", С***) ) сзссзх, где с*, с'*,. с**' е (хы хг), .а 2*, 2**, 2**' б (сс, 2г). Сократив на сзс сзх и перейдя к пределу при хг -э хс, 2г — э 2с, получим дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны Топ~~ = рисс — г'(х, 2).
(4) В случае постоянной плотности р = сопэб этому уравнению обычно придают вид им = а аг, + С (х, 1) а = (5) ~ Делал предположение о двукратной дифференцируемости функций, мы фактически уславливаемся о том, что будем рассматривать лишь функции, обладающие этим свойством. Таким образом, подобного типа предположение связано с ограничением круга изучаемых физических явлений и не содержит в себе утверждения, что не существует функций, удовлетворяющих интегральному уравнению колебаний и не имеющих вторых производных. Такие функции существуют и представляют значительный практический интерес. Подробнее см. об этом З 2, и.
9. 30 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П где Л (х, л) = — г'(х, л) 1 Р (б) или игг — и„„= 0 (р = а1), описывающее свободные колебания струны. Это уравнение является простейшим примером уравнения гиперболического типа. Если в точке хо (хс < хо < хг) приложена сосредоточенная сила ло (1) (рис. 2), то уравнение (3) запишется так; гг гг сг Р (я) [слс (»., 1г) — слс ((, йс)) слс — / ( с (с, т) ла йт = гс Сс сг сг ~ То[и (хг, т) — и (хг, т)) с1т + / Д (т) с1т.
с, Поскольку скорости точек струны ограничены, то при хс — ~ хо и хг — > — ~ хо интегралы в левой части этого равенства стремятся к нулю и равенство (3) принимает вид То [иг (хо + О, т) — иг (хо — О, т)) с1т = — / уо (т) с1т. (7) Пользуясь теоремой о среднем, сокращая обе части равенства на лзл и переходя к пределу при 1г — с 1г, полу- чаем го+о и, (х, с) = — — ло (с). *о — о Т о Отсюда видно, что в точке приложения о сосредото юнной силы первые производные претерпевают разрыв и дифференРис. 2 циальное уравнение теряет смысл. В этой точке должны выполняться два условия сопряжения: и (хо+ О, 1) = и(хо — О, 1) 1 и, (хо + О, 1) — иг (хо — О, 1) = — — Уо (1), о (8) есть плотность силы, отнесенная к единице массы.
При отсутствии внешней силы получим однородное уравнение г им=а и, ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 31 первое из которых выражает непрерывность струны, второе определяет величину излома струны в точке хо, зависящую от уе (8) и натяжения То. 2. 'Уравнение продольных колебаний стержней и струн. Уравнения продольных колебаний дпя струны, стержня и пружины записываются одинаково.
Рассмотрим стержень, расположенный на отрезке (О, )) оси х. Процесс продольных колебаний может быть описан одной функцией и (х, 1), представляющей в момент 1 смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу х О. При продольных колебаниях это смещение происходит вдоль стержня. При выводе уравнения будем предполагать, что натяжения, возникающие в процессе колебания, следуют закону Гука. Подсчитаем относительное удлинение элемента (х, х + Ьх) в момент й Координаты концов этого элемента в момент ~ имеют значения х+ и (х, 1), х+ Ьх+ и(х+ Ьх, 1)., а относительное удлинение равно [гзх + и (х + тзх, г) — и (х, з)) — Ьх Ьх Перейдя к пределу при Ьх — э О, получим., что относительное удлинение в точке х определяется функцией и, (х, г).
В силу закона Гука натяжение Т (х, г) равно Т(х, г) = й(х) и, (х, г), где и (х) модуль Юнга в точке х (й (х) > О). П Выбранная здесь геометрическая переменная х называется переменной Лагранжа. В переменных Лагранжа каждая физическая точка стержня в течение всего процесса характеризуется одной и тай же геометрической координатой х. Физическая точка, занимавшая в начальный момент (в состоянии равновесия) положение х, в любой последующий момент З находится в точке с координатой Х = х + и (х, З).
Если мы фиксируем некоторую геометрическую точку А с координатой Х., то в различные моменты времени в этой точке будут находиться различные физические точки (с разными лагранжевыми координатами х). Часто вользуются также переменными Эйлера Х., З, где Х геометрическая координата. Если П(Х, З) смещение точки с эйяеровой координатой Х, то лагранжева координата х = Х вЂ” 0" (Х, г). Пример использования координат Эйлера приведен в и. 6. 32 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРЬОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П Пользуясь теоремой об изменении количества движения, получаем интегральное уравнение колебаний кс [ис [6 1з) — ис Ы, 1с)]рй) «~ = [' [1[из) и, [тз, т) — Й[тс)сс, [тс, т)[с1т+ / ~ Е[с, т) с1ссст, [10) сс где Е [т, 1) плотность внешней силы, рассчитанная на единицу длины. Предположим существование и непрерывность вторых производных функции и [т, 1). Применяя теорему о среднем и совершая предельный переход ~с при сзт = тз — тс — с О и сзс = 1з — 1с — ~ О, приходим к дифференциальному уравнению продольных колебаний стержня~с [й[к) и.[. = рисс — Е[в, С).
Если стержень однороден [к [т) = сопят, р = сопз1), то это уравнение записывают следующим образом: [12) исс=аиз +1[к,1) а= где [13) есть плотность силы, отнесенная к единице массы. 3. Энергия колебаний струны. Найдем выражение для энергии поперечных колебаний струны Е = К + ГС, где Л кинетическая и П потенциальная энергия. Элемент струны с1т, движущийся со скоростью и = ис, обладает кинетической энергией , 2 1 2 2 2 — ти = — р[т)с)к[ис) [т = рдх).
с В дальнейшем мы будем опускать подробности, связанные с предельными переходами, которые были разобраны при выводе уравнения поперечных колебаний струны. 1 Условие малости колебаний в данном случае связано только с границей применимости закона Гука. В общем случае Т = й [т, ик) гск, и мы приходим к квазилинейному уравнению [й [т, .ик) ик)к = рии — Е [и, С). ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 33 Кинетическая энергия всей струны равна К = — ~ р (х) [ис (х, г)) дх. 2 2,( о Потенциальная энергия поперечных колебаний струны, имеющей при С = со форму и (х: го) = ио (х), равна работе, которую надо совершить, чтобы струна перешла из положения равновесия в положение ио (х). Пусть функция и (х, С) дает профиль струны в момент С, причем и(х, О) = О, и(х, со) = ио(х).
Элемент (1х под действием равнодействующей сил натяжения ди ди Т вЂ” — Т вЂ” = Ти ссх дх „,, дх за время а(1 проходит путь ис (х, 1)(1г. Работа, производимая всей струной за время с(г, равна < 1 с /г. „,и а= г...,~ — (г....„,а ~)и= о 1о о ~ ~и ~ О ( ! 2 — — — / То(ии) (1х+Тои,ис (1Е 2 сЮ,/ о Интегрируя по с от О до со, получаем 1 1 со о — — То(и )~(1х + ~Тон„-ис (1( = 2 о о со = — — ~ То(и* (х, со)) (1х+ ( То и ис (М. 2,( о о о Нетрудно выяснить смысл последнего слагаемого правой части этого равенства. Действительно, То и,,(х-о есть величина натяжения на конце струны х = О; ис (О, 1) (сг перемещение этого конца, а интеграл То и, ис(*=ой( о представляет работу, которую надо затратить на перемещение конца х = О.
Аналогичный смысл имеет слагаемое, соответствующее х = 1. 3 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 34 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Если концы струны закреплены, то работа на них будет равна нулю (при этом и [О, 1) = О, из [О, 1) = 0).
Следовательно, при перемещении закрепленной на концах струны из положения равновесия и = 0 в положение ио[х) работа нс зависит от способа перевода струны в это положение и равна / То [ио [х)] йх, о потенциальной энергии струны в момент 1 = 1о с обратным знаком. Таким образом, полная энергия струны равна Е = — ~[То(и,)'+ р(х) (ио)з]йх. 2 й о Совершенно аналогично может быть получено выражение для потенциальной энергии продольных колебаний стержня. Впрочем, его можно получить также, исходя из формулы для потенциальной энергии упругого стержня где 1о начальная длина стержня, 1 конечная длина. Отсюда непосредственно следует П = — Й[и,) йх.
2 / о 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах. Прохождение электрического тока по проводу с распределенными параметрами характеризуется силой тока 1 и напряжением о, которые являются функциями положения точки х и времени Е Применяя закон Ома к участку длиной йх, можно написать, что падение напряжения на элементе провода йх равняется сумме электродвижущих сил: — о, йх = зЕ йх + вТ йх, (18) где Л и Ь сопротивление и коэффициент самоиндукции, рассчитанные на единицу длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
