УМФ Тихонов (965259), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Произведя над переменными у линейное преобразование П У2 = ~2ти7Ь2 1=1 получим для квадратической формы новое выражение П П П ЕЕ -о ~.и11дьц~2 где и1Я = ~~.~~ибо2ь1111. 1=1 1=1 2=1 1=1 Таким образом, коэффициенты главной части уравнения изменяются аналогично коэффициентам квадратической формы при линейном преобразовании. Как известно., выбором соответствующего линейного преобразования можно привести матрицу (ие.) квадратической формы к диагональному виду, в котором (и~1,! = 1 либо )а~;( = О; ие =О (1~у, 1, 1=1,22...,п).
Согласно закону инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов ие1 в каноническом виде квадратичной формы инвариантно относительно линейного преобразования. Назовем уравнение (12) в точке Ме уравнением эллиптического типа, если все п коэффициентов ие, одного знака; гиперболического типа (или нормального гиперболического типа), если и — 1 коэффициентов ап имеют одинаковый знак, а один коэффициент противоположен им по знаку; ультрагиперболического типа, если среди ае, имеется гв коэффициентов одного знака и и — т коэффициентов противоположного знака (т, п — п2 > 1); параболического типа, если хотя бы один из коэффициентов и,", равен нулю.
Выбирая новые независимые переменные С, так, чтобы в точке Ме оС1 О О21 = = 1111, дт2 где аэв --коэффициенты преобразования, приводящего квадратиче- 24 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1 скую форму (13) к каноническому виду (например, полагая оэьи,), получаем, что в точке Мо уравнение в зависимости от типа приводится к одной из следующих канонических форм: и„, + иязяз +... + ия„я„+ Ф = 0 (эллиптический тип), п и...
= ~~~ и..., + Ф (гиперболический тип), а=2 и п Е *'= и, = ~~~ и +Ф (т>1,п — т>1) (ультрагиперболичсский тип), ыз г=~п-~-1 и — л~ (~и, ) + Ф = 0 (т > О) (параболический тип). г=1 Мы нс останавливаемся при этом на более подробном делении уравнений параболического типа на уравнения эллиптически-параболические, гиперболически-параболические и т. д. Таким образом, если уравнение (12) в некоторой точке М принадлежит к определенному типу, то его можно привести к соответствующей канонической форме в этой точке.
Рассмотрим подробнее вопрос о том, можно ли привести уравнение к канонической форме в некоторой окрестности точки М, если во всех точках этой окрестности уравнение принадлежит к одному и тому же типу. 11ля привеления уравнения в некоторой области к каноническому нам пришлось бы функции ~; (яы хз, ..., т„) (1 = 1, 2, ..., и) подчинить дифференциальным соотношениям ан = 0 для й ф й Число этих условий, равное и (п — 1)/2, превосходит и- — число определяемых функций с при п > 3. Для и = 3 недиагональные элементы матрицы (а,,~), вообще говоря, можно было бы обратить в нуль, но при этом диагональные элементы могут оказаться различными. Следовательно, при п > 3 уравнение нельзя привести к каноническому виду в окрестности точки М. При и = 2 можно обратить в нуль единственный нсдиагональный коэффициент и удовлетворить условию равенства двух диагональных коэффициентов, что и было сделано в и.
1. Если коэффициенты уравнения (12) постоянны, то, приведя (12) к канонической форме в одной точке М, мы получим уравнение, приведенное к канонической форме во всей области определения уравнения. 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. В случае двух независимых переменных линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид аыи,, + 2аьзия„+ аяяияя + 6гая + Ьзи„+ си+ ((я, р) = О. (14) Ь 1) КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 25 Ему соответствует характеристическое уравнение с постоянными ко- эффициентами.
Поэтому характеристики будут прямыми линиями; аы + азз — аззагз аы — азз — пыаээ 2 2 Ь' = л+Ьы у= и+~э. ам а~э С помощью соответствуюгпего преобразования переменных уравнение (14) приводится к одной из простейших форм; нег + ичч+ Ьгмг + Ьзич+ си+ ) = О (эллиптический тип), (15) иеч + Ьзие + Ьзич + си+ 7 = О или псе — ичч + Ь,ие + Ьзич + си+ 7 = О (гиперболический тип), (16) (параболический тип). (17) игг+ Ьгиг+ Ьзич+ си+ 7' = О 11ля дальнейшего упрощения введем вместо и новую функцию ьс лг-гич где Л и р не определенныо пока постоянные.
Тогда =еМе ( +Л ), — езееяч (е .! Ип) п~1 ел(-~-Рч (с<~ 4 2Лсг 4 Лзс) иг — езгеиа (сг + Лв, + рег + Лре) лаеич( +2 + сд + еэч + (Ьг + 2Л) ег + (Ьз + 2р) сч + +(Л +р~+Ь|Л+Ьзр+с)с+7~ =О. Параметры Л и р выбираем так, чтобы два коэффициента, например при первых производных, .обратились в нуль (Л = — Ьг/2; д = — Ьз/2). В результате получим егг + и„, + Те + ~~ = О, где .у постоянная,выражающаясячерез с, Ь~ и Ьз, ~~ = уе 1зее'"~. Производя аналогичные операции и для случаев (16) и (17), приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными ко- Подставляя выражения для производных в уравнение (15) и сокращая затем на е~е г"", получаем 26 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1 эффициентами: (эллиптический тип), (гиперболический тип), (параболический тип).
о41 + оцц + Уо+ ул = О огц + Уо + Уг = О ( оге — оцц + уо + (~ = О) оец+ Огоц+ Ул = О или Как было отмечено в и. 2, уравнение с постоянными коэффициентами в случае нескольких незанисимых переменных п а а ~ абих.., + ~ ~б,ах, + си+ 1" = О г=г г=г г=г при помощи линейного преобразования переменных приводится к каноническому виду одновременно для всех точек области его определения. Вводя вместо и новую функцию о: Лгг гЕЛггг ~--.Ц.Л и выбирая нужным способом Лм мы можем дальше упростить урав- нение, что приводит нас к каноническим формам, сходным со случаем п = 2.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1 1 б) ихя = — гик Ц-ои 4-)Лиг', а) агг + икр+ оиг + (1ир + ци = О; 1 в) ихг — — ирр — — оиг + бир + та; г) игр — — оиг + бир. 1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения ихх -Ь уирр — — О и привести его к каноническому виду в области гиперболичности. 2. Привести к каноническому виду уравнения: а) ихх ц-хуирр — — О; б) уи,г — хирр ц-иг ц- уир — — О:, в) ее*их, -'г 2ехтк игр -г егя ирр — — О; г) ию, -Ь (1 ц- у) ирр — — О; д) Хихх ц-2,/Ху игр -Ь уирр — иг = О; е) (х, — у) гггг ц- (ху — у — х -~- у) ихр — — О; ж) у игх — е ирр ц- иг = О:, г гх з) е1п уигг — е ирр ц- Зггг — би = О; г гг и) игх + 2игр + 4ирр + 2иг -~- Зир — — О. 3.
Привести к каноническому виду и максимально упростить уравнение аиая -'Г Запер -Гаирр -Ь Ьиг-'Г Сир -си = О; а, б, С ПОСтОяННЫЕ. 4. Введя функцию о = ив ~+ля и выбирая соответствующим образом параметры Л и 1г, упростить следующие уравнения с постоянными коэф- фициентами: ГЛАВА П УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИх1ЕСКОГО ТИПА Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, .связанных с процессами колебаний.
Простейшее уравнение гиперболического типа ояя — пяя — — 0 обычно называют уравнением колебаний струны. В настоящей главе, как и в последующих, мы ограничимся рассмотрением класса линейных уравнений. $1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач 1.
Уравнение малых поперечных колебаний струны. Каждую точку струны длины 1 можно охарактеризовать значением ее абсциссы т. Описание процесса колебания струны может быть проведено при помощи задания положения точек струны в различные моменты времени. Для определения положения струны в момент времени 1 достаточно задать компоненты вектора смещения 1 из (я, 1), вз (х, 1), из (и, 1) ) точки я в момент 1. Мы рассмотрим наиболее простую задачу о колебаниях струны.
Будем предполагать, что смещения струны лежат в одной плоскости я, и и что вектор смещения и перпендикулярен в любой момент к оси и; тогда процесс колебания можно описать одной функ- с цией и (я, г), характеризующей вертикальное перемещение струны. Будем рассматривать струну и1 гз как гибкую упругую нить.
Математическое выражение понятия Рис. 1 гибкости заключается в том, что напряжения, возникая>щие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю (рис. 1). Это условие выражает собой то., что струна не сопротивляется изгибу. 28 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Величина натяжения, возникаюпгего в струне вследствие упругости, может быть вычислена по закону Гука П. Будем рассматривать малые колебания струны и пренебрегать квадратом и, по сравнению с единицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
