УМФ Тихонов (965259), страница 17
Текст из файла (страница 17)
п=з С этой целью мы используем известные Ы свойства рядов Фурье. Если периодическая с периодом 21 функция Е(х) имеет и непрерывных производных, а (Й + 1)-я производная ее кусочно-непрерывна, то числовой ряд ~ ив ()ап! + ~Ьп~), п=з (38) ~®(0) =(00(1) =0 (й=0,2,4, ...,2п). (39) Непрерывность нечетных производных имеет место без дополнительных требований. Итак, для сходимости рядов лР ~р ~ (й 0 1 2) п=1 Н Смп например: Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. Н.
Мп 1974; Б уда к Б. Мп Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. Мп 1967. где ап и оп коэффициенты Фурье, сходится. Если речь идет о разлонп женин в ряд по гйп — х функции 7 (х) заданной только в промежутке (О, 1), то надо, чтобы предшествующие требования были выполнены для функции Е (х), получающейся при нечетном продолжении 1 (х).
В частности, для непрерывности Е (х) необходимо, чтобы 7 (0) = О, так как в противном случае при нечетном продолжении получится разрыв в точке х = 0; аналогично этому в точке х = 1 должно быть 7 (1) = О, так как продолженная функция непрерывна и периодична с периодом 21.
Непрерывность первой производной при х = О, х = получается автоматически при нечетном продолжении. Вообще для непрерывности четных производных продолженной функции надо потребовать, чтобы 100 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Для сходимости рядов Епь~ф„~ (А.= — 1,0,1) э=1 на начальную скорость ух (т) необходимо наложить следующие требования.
2'. Функция ух (и) непрерывно-дифференцируема, имеет кусочно- непрерывную вторую производную н, кроме того, ф (0) = ф ® = О. (41) Таким образом, нами доказано, что любое колебание и (х, 2) при начальных функциях д(т) и ф(т), удовлетворяющих требованиям 1' и 2', представляется в виде суперпозиции стоячих волн. Условия 1' и 2' являются достаточными условиями, связанными с примененными здесь способами доказательства. Аналогичная задача была нами решена в 3 2, и. 5 методом распространяющихся волн. Ее решение имеет вид х-'~-ш Ф(т- 1)+Ф(т+ас) 1 Г 2 2а / где Ф н Ф являются нечетными относительно 0 и 1 продолжениями на- чальных функций зх (я) и Ф (я), заданных на отрезке (О, 1).
Функции Ф и Ф, как было показано, периодичны с периодом 21 и хюэтому могут быть представлены рядами Ф (х) = ~ Зь| з1п — х, э=1 яп Ф (х) = 2 х Фп зй! — яд где уэ н Фп коэффициенты Фурье функций эх(я) и Ф(я). Подставляя эти ряды в формулу (42) и пользуясь теоремой о синусе и косинусе суммы и разности, получаем выражение яп яп т яп и (х, 4) = ~ (Зх„соэ — а1+ Ф» сйп — а1) сйп — я, 143) япа совпадающее с представлением, даваемым методом разделения переменных. Следовательно, формула (43) имеет место прн тех же предположениях, что н формула (42) (см.
3 3, и. Ц, которая была получена при условии, что функция Ф (я) непрерывно-дифференцируема дважды, а функции Ф (х)-- один раз. достаточно потребовать, чтобы начальное отклонение сэ(т) удовлетворяло следующим требованиям. 1'. Производные функции ~р(х) до 2-го порядка включительно непрерывны, третья производная кусочно-непрерывна и, кроме того, МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ Переходя к функциям е1 (х) и у1 (х), мы помимо условий дифференцируемости должны потребовать выполнения условий р (О) = у (1) = О, ф (О) = ф (1) = О, .Э и (О) = дп (П = О.
(44) 4. Неоднородные уравнения. Рассмотрим неоднородное уравнение колебаний изз — — а ияя+1(Х,1), а = —., 0(Х(1, Р с начальными условиями (45) и(х, 0) = 1р (х), ( и1 (х, 0) = ф (х),) и однородными граничными условиями и(0,1) =О, 1) О. и (1, 1) = О, (46) (47) Будем искать решение задачи в виде разложения в ряд Фурье по х хи и(х, 1) = ~~~ и„(1) з|п — х, п=1 (48) рассматривая при этом 1 как параметр. Для нахождения и (х, 1) надо определить функцию ип (1), Представим функцию 1 (х, 1) и началь- ные условия в виде рядов Фурье: у(х,1) = ~~~ у„(1)в1п — х, У„(1) = -' у (~, 1) в1п ™ ~ Йс„ о ™ Ч Юз1п — "4 К:. о у1 (8) вш — С 11С.
о Х11 1Р(т) = ~ ~1оп в1п — х, 2 Ззп (49) п=з 1Р(х) = ~ ф„з1п ах, 2 З'п 1 Таким образом, условия 1' и 2', являющиеся достаточными для обоснования метода разделения переменных, зависят от метода доказательства и содержат дополнительные условия по сравнению с условиями, обеспечивающими существование решения. При обосновании возможности представления решения как результата суперпозиции стоячих волн мы привели первый метод доказательства сходимости рядов, поскольку он не связан со специальной формулой (42), применимой только к простейшему уравнению колебаний., и без труда может быть перенесен на ряд других задач, хотя этот метод предъявляет несколько повышенные требования к начальным функциям.
102 УРАВНЕНИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Подставляя предполагаемую форму решения (48) в исходное уравнение (45): ~.;. '— ". (-. ('— ") ' .. х -.-„(с ~ си с ) = с. 1 и=1 видим, что оно будет удовлетворено, если все коэффициенты разложе- ния равны нулю, т. е.
й„(1) + ( — ) а и„(1) = 7'„(Г). (50) Для определения и„(С) мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Начальные условия дают откуда следует (51) Эти дополнительные условия полностью определяют решение уравнения (50). Функцию и„(1) можно представить в виде и„(1) = и~ с (1) + 71с ~ (1), где и~ 7 (1) = / я1п — а(1 — т) 1„(т) 71т 7ГП 7гпа,/ 1 о (52) решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условияМИ17, И 77П, ЯГС и~ с (1) = ср„соя — а1+ ус„я1п — а1 к па (53) ~с В этом можно убециться непосрецственно. Формула (52) может быть получена методом вариации постоянных. См.
также текст, набранный мелким шрифтом в конце настоящего пункта. и(х, О) = ср(х) = ~~ и„(0)ягп — х и=1 ис (т, О) = 7Р(т) = ~6„(0) сйв — т в=1 и„(0) = ср„, .) ив (О) = Уссс. ) Е 7ГП СР 81П вЂ” Х, и П=1 7ГП ~Уси ЯГП вЂ” Х, и=-1 1 з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1ОЗ решение однородного уравнения с заданными начальными условиями. Таким образом, искомое решение запишется в виде с Г кп 11П и (х, г) = ~ ( яп — а (1 — т) яп — х.
~„(т) йт+ кпа у 0=1 о ки яп г кп -~- с ссо„соз — а1 -~- Ус„зш — а1) Яп — х. (54) Вторая сумма представляет решение задачи о свободных колебаниях струны при заданных начальных условиях и была нами исследована ранее достаточно подробно. Обратимся к изучению первой суммы, представляющей вынужденные колебания струны под действием внешней силы при нулевых начальных условиях. Пользуясь выражением (49) для )'„(г), находим иб~ (х, 1) = с с Т (2 1 ггп 1ГП, 1Г'и. / — ~ ксп — а(1 — т)яп — хяп — с ~((, т)йсйт = япа 7 Р О О п=1 с / / С (х, ~, й — т) ~ ф т) й~ йт, (55) о о где 2 1 кп ко, сгп С (х, с, 1 — т) = — ~ — яп — а (о — т) яп — х з1п — с. .га ~п п=1 (56) (о ~ (~ ( ~о+ Ь(, то ( т < то+ Ьт Функция р г' (С, т) представляет плотность действующей силы; сила, приложенная к участку (Со, Со + сзС), равна Со гак Г(т) = р / ~ф т)йС, причем то-С- Ь 'о+пт Со гас 1= / г'(т)йт = р / / с" (с, т)й5йт 'о со "0 Выясним физический смысл полученного решения.
Пусть функция у (С,т) отлична от нуля в достаточно малой окрестности точки Мо гьо, то): 104 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П есть импульс этой силы за время схт. Если применить теорему о сред- нем значении к выражению и (х, г) = / ~ С (х, 5, 1 — т) 1 (с, т) ссс Йт = о о та.Сит са-тсзс С (х, ~, 1 — т) 1 (~, т) с1~ сЬ., 'а Ео будем иметь та '-ьт Сатсхс и(х с) = С(х 6 г — т) / /,(ф т) с1г йт, (57) 'а Га где го ~~г~~1о+с-Г6 'га (т(то+Ьт, Переходя в формуле (57) к пределу при Ь~ — г О и Ьт — > О, получим функцию с с и(х, 2) = / / С(х, С, 2 — т) 1(С, т) ссС дт, о о с с 2а сс (59) совпадающей с формулой (55), полученной выше.
Функция влияния сосредоточенного имРис. 23 пульса для бесконечной прямой была рассмотрена в предыдущем параграфе. Напомним, 1 1 что она является кусочно-постоянной функцией, равной — — внутри 2а р верхнего характеристического угла для точки (С, т) и нули> вне этого угла. Функция влияния сосредоточенного импульса для закрепленной струны (О, 1) может быть получена из функции влияния для бесконечной струны путем нечетного продолжения относительно точек х = 0 и х=й 1 и(х г) = С(х: со, 1 — то) —, (58) р которую можно трактовать как влияние мгновенного сосредоточенного импульса мощности 1.
Если известна функция 1сср С (х, С, 2 — т), представляющая действие единичного сосредоточенного импульса, то непосредственно ясно, что действие непрерывно распределенной силы 1(х, 2) должно прсцставляться формулой МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 105 13) ста1с — т1 2 гп 1 / сгп Ав = — ~ С(а, (, 1 — т)яп — мага = — 11 яп — сгс(о = (/ '' ' ( а( / о с — е (С вЂ” т1 1 нп сгп соз — [6 — а(1 — т)) — соз — [с -~-а(1 — т))~ = аяп 2 нп яп яп — С яп — а (1 — т). асгп Отсюда, получаем формулу 2 1 хп ггп сгп С(в, С, 1 — т) = — ~ — зш — а(1 — т) зш — т яп — С, (60) на и 1 и=1 которая совпадает с формулой (56), найденной методом разделения переменных. Для значений 1, при которых начинает сказываться влияние закрепленных краев, построение функции влияния при помощи характеристик громоздко; представление же в форме ряда Фурье сохраняет силу и в этом случае. Мы ограничимся приведенной здесь формальной схемой решения, не выясняя условий применимости полученной формулы.
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение с посгоянными коэффи- циентами б(и) = с ~ -'гр и~ П -'г... -Ьри си~~~ +р и = У(1) и начальными условиями и(0(0)=0 (с=0,1,...,'и — 1). Его решение дается формулой (2') с и(С) = ~У(С вЂ” т)1(т)сстс (3') где у (Г) — решение однородного уравнения ЬЩ=О Рассмотрим момент времени 1, достаточно близкий к т, когда влияние отражения от концов я = 0 и в = 1 еще не сказывается.
Для этого момента функция влияния изображается графиком, приведенным на рис. 23. Разложим эту функцию (полагая 1 = р) в ряд Фурье по яп яп — я; коэффициенты Фурье будут равны 1 з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 107 если положить У(1) = О для ! < О. 'Хаким образом, функцию У(!) естественно назвать функцией влияния мгновенного импульса. В самом деле, рассматривая формулу (3') и применяя теорему среднего значения, получаем и, (!) = П(1 — т,*-) / уе (т) с!т = У(! — т,') (О ~< т," < е < 1). о Переходя к пределу при с — з О, видим, что существует предел 1пв и- (С) = !1пз У (С вЂ” т ) = о' (!), т — зе е — ~0 что и доказывает наше утверждение. Перейдем к представлению решения неоднородного уравнения через У(1) функцию влияния мгновенного импульса. Разбив промежуток (О, С) точками т, на равные части гхт = —., т' представим функцию у (1) в виде ж Х (!) = ~ У,(!), з=! где О при!(т,и!)тты ( 7(!) при т,(!(т;+и Тогда т и(1) = ~ и, (!), з=1 где и, (1) суть решения уравнения Ь (и,) = 1, с нулевыми начальными данными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
