УМФ Тихонов (965259), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Найти функцию и (з;, 1), определяюшую процосс колебания струны (О, 1), закрепленной на концах и возбуждаемой (рис. 24) оттягиванием ее в точке х = с на величину 5, т. е. п(с, О) = 5 (см. Приложение Ц. Начальная скорость равна нулю. 2. Закропленная на концах струна в точке х = с оттянута силой Ро. Найти колебания струны, если в начальный момент сила перестает действовать, а начальная скорость равна нулю.
3. Найти функцию и (х, 1), определяющую процесс колебания струны (О, 1), закрепленной на концах и возбуждаемой импульсом К, распределен- х — с ным на отрезке (с — 5., с-Ь5): а) равномерно, б) по закону носов х (см. Приложение 1), если начальное отклонение равно нулю. 4. Найти функцию и (х, 1), определяющую процесс колебания струны (О, 1), закрепленной на концах и возбуждаемой импульсом К, приложенным в точке х = с (см. Приложение 1). Начальное отклонение равно нулю.
5. Доказать аддитивность энергии отдельных гармоник для процесса колебаний при граничных х= о г=с х=! условиях и = О, из — — О. Рассмотреть Рис. 24 также случай граничного условия 3-го рода иг ф Ьп = О (все ряды предполагать равномерно сходязцимися). Вычислить энергию отдельных гармоник в задачах 1 4. 6.
Пружина, закрепленная одним концом в точке х = О, растянута грузом массы М, подвешенным в точке х = 1. Найти колебания пружины, если в момент 4 = О груз падает н в дальнейшем на конец х = 1 не действуют никакие силы. 7. Один конец стержня закреплен., а на второй действует сила Ро.
Найти колебания стержня, если в начальный момент сила перестает действовать. 8. Исследовать процесс колебания пружины, один конец которой закреплен, а ко второму концу в начальный момент подвешивается груз массы М. Начальные условия нулевые. 9. К однородной струне с закрепленными концами х = О и х = 1 в точке х = с прикреплена масса М. Найти отклонение струны и(х, 1), если: С т е к л о в В. А.
Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня 0 Сообш. Харак. мат. о-ва. Сер. 2. 1896. Т. 5, йй 1, 2; Стеклов В. А. Основныо задачи математической физики. Т. 1. Петроград, 1922; Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений 0 УМН. 1960. Т. 15, выл. 2. С. 97 154. ~ з) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 127 а) в начальный момент в точке х = с струна оттянута на величину Ь от положения равновесия и отпущена без начальной скорости; б) начальное отклонение и начальная скорость равны нулю (см. Приложение ПЦ.
10. Исследовать процесс холебания пружины со свободными концами при равномерном начальном растяжении (представить модель этой задачи). 11. Исследовать процесс холебания пружины с упруго закрепленными концами при одинаковых коэффициентах жесткости, если начальные условия прОизвольны.
Решение исследовать при малых 6 («мягкое» закрепление) и при больших 6 («жесткое» закрепление) и вычислить соответствуюшио поправки к собственным значениям для струны со свободными и закрепленными концами. 12. Найти отклонение и (х, 1) струны с жостко закрепленными концами, если колебания происходят в среде, сопротивление которой пропорпионально скорости, а начальные условия произвольны. 13.
Изолированный электрический провод длины 1 с характеристиками ь, Н, С и С = 0 заряжен до некоторого потенциала ио. В начальный момент один конец провода зэ.земляется, а второй остается все время изолированным. Найти распределение напряжения в проводе.
14. Струна с закрепленными концами колеблется под действием гармонической силы, распределенной с плотностью 1 (х, 1) = Ф(х) э(воЛ. Найти отклонение и (х, 1) струны при произвольных начальных условиях. Исследовать возможность резонанса и найти решение в случае резонанса. 16.
Решить задачу 14,предполагая,что колобания происходят в среде, сопротивление в которой пропорционально скорости. Найти установившиеся колебания,. составляющие главную часть решения при 1 — > оо. 16. Упругий стержень длины 1 расположен вертикально и жестко прикреплен верхним концом к свободно падающему лифту, который, достигнув скорости ио, мгновенно останавливается. Найти колебания стержня, предполагая его нижний конец свободным. 17. Решить уравнение ин = а ихт — 6 и+ А 2 2 при нулевых начальных условиях и граничных условиях и (О, 1) = О, и (1, 1) = В,. где 6, А и В-- постоянные. 18. Решить дифференциальное уравнение им = а ихх -1- А з1з х 2 при нулевых начальных условиях и граничных условиях и (О, 1) = В, и (1, 1) = С, где А, В и С постоянные.
19. К однородной струне с закрепленными концами х = 0 и х = 1 в точке х = с (О < с < 1) приложена гармоническая сила РН) = Роз(п~1., действующая начиная с момента 1 = О. Найти отклонение струны и(х, 1), предполагая начальные условия нулевыми. 128 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П 20. Решить задачу о колебаниях неоднородного стержня длины 1 с жестко закрепленными концами, составленного нз двух однородных стержней, соединенных в точке х = с (О < с < 1), если начальное отклонение имеет вид 6 — х при 0 < х < с, с Ь (1 — х) прв с < х < 1, 1 — с и(х,. О) = а начальные скорости равны нулю. 21. Найти установившиеся колебания пружины, один конец которой закреплен, а на второй действует сила Р (г) = Аявшгг-'г Вяпшга 22.
Найти установившиеся колебания неоднородного стержня, составленного нз двух однородных стержней, соединенных в точке х = с, если один конец стержня закреплен, а второй движется по закону и(1, 1) = Аявшк $4. Задача с данными на характеристиках иг(0, я) + ия (О, х) = и,(х, 0) + и„ (г, 0) (аг = 1) при произвольном значении я Отсюда следует, что при х = 0 и 1 = 0 нельзя независимым образом задать все эти функции; произвольными являются только три условия, что и указывает на невозможность симметричной постановки дополнительных условий.
Дополнительные условия могут задаваться либо на прямых линиях х = О, 1 = 0 (с задачами подобного рода, мы имели дело до сих пор), либо на некоторых кривых в фазовой плоскости. Например, граничные значения можно задавать на некоторой кривой Сг (х = 1г(1)), 1. Постановка задачи. Рассмотрим ряд задач, являющихся развитием первой краевой задачи для уравнения колебаний струны. Для простоты будем изучать явления вблизи одного края, считая другой край удаленным в бесконечность, т.
е. в качестве исходной задачи возьмем задачу для полубесконечной прямой. Уравнение колебаний струны игг = а и,, симметрично относиг тельно переменных х и 1, если положить аг = 1, т. е. изменить масштаб времени, введя переменную 1 = ар. Однако дополнительные условия вносят асимметрию в математическое толкование х и й в начальных условиях (при 1 = 0) задаются две функции и (х., 0) и из (х, 0), в то время как в граничных условиях (при х = 0) задается только одна функция и (О, .1). Как было отмечено в З 2, и. 9, между функциями и их нормальными производными при 1 = 0 и х = 0 существует соотношение з 4) ЗАЛАЧА С ЛАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 129 однако для разрешимости такой задачи кривая Сг должна быть достаточно гладкой и удовлетворять еще некоторым дополнительным условиям. Рассмотрим процесс колебаний газа в трубе с подвижной границей (подвижным поршнем).
Ясно, что скорость перемещения границы, движущейся по закону т = (г (1), нельзя счи- в = Л(г) тать произвольной: она не должна превосходить скорость звука с г'= гг а (Д (1) < а). Геометрическим следствием этого является то, г = Уг(х) что кривая Сг (я = 1г(1)) долж- Сг на быть отделена характеристи- к кой от линии 1 = О, несущей начальные значения (рис. 25). Если хотя бы в одной точке линия Сг лежала ниже характери- х= — гг стики т, = а1, то значение функции и (яб 1) вполне определялось бы начальными условиями Рис. 25 и не могло бы задаваться произвольно. Физический смысл этого связан с тем, что при движении газа со скоростями, превосходящими скорость звука, уравнение акустики теряет силу и надо пользоваться нелинейными уравнениями газовой динамики ).
Начальные условия можно задавать не только на оси 1 = О, но и на некотоРой линии Сг (1 = уг(л)), котоРаЯ должна УдовлетвоРЯть требованию ~Д (т)~ < 1/а (при этом Сг лежит в области влияния начальных данных). Задачи подобного типа легко решаются с помощью интегрального уравнения колебаний (см. 2 2,п. 7). Не ставя своей целью дать полный перечень всех возможных краевых задач, рассмотрим более подробно задачу определения решения по данным на характеристиках. Эту краевую задачу часто называют задачей Гуров. Задача с данными на характеристиках представляет большой интерес с точки зрения физических приложений. Она встречается, например, при изучении процессов сорбции и дссорбции газов (см. Приложение Ъ'), процессов сушки (см. задачу 1 в конце параграфа) и многих других задач. 2.
Метод последовательных приближений для задачи Гурса. Рассмотрим простейшую задачу с данными на характеристиках ихв — г (~ у) и (т, 0) = угг (к), и(Ог у) = гггг (р). г) См. Приложение 11г, с. 163. 9 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 130 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П Дополнительные условия даны на прямых х = 0 и у = О, являющихся характеристиками уравнения (1). Будем предполагать, что функции срс (х) и сгг (у) дифференцируемы и удовлетворяют условию сопряжения срс (0) = осг (0).
Интегрируя последовательно по х и у уравнение (1), получим ио (х, У) = ио(0, У) + / 1(С, У)ссС, о я с и (х, у) = и (х, 0) + и (О, у) — и (О, 0) + / с(ц / 1"(~, ц) аСС, о о или у я и (х, у) = срс (х) + срг (у) — сгс (0) + / / 1(с, ц) с(с с(ц. (2) о о и,„о — — а (х, у) и, + Ь (х, у) и„+ с (х, у) и + 1 (х, у) (3) при дополнительных условиях на характеристиках х = О, у = 0 и (х, 0) = огс (х), и (О, у) = сгг (у), (3') где загс (х) и ссгг (у) удовлетворяют требованиям дифференцируемости и сопряжения. Коэффициенты а, Ь и с будем предполагать непрерывными функциями х и у. Формула (3) показывает, что функция и (х, у) удовлетворяет интегродифференциальному уравнению а (х, д) = / /(а(с, ц) ис+ Ь(с, ц) из+ с(с, ц) и) с1~с1ц+ о о + рс(х) + рг(у) — р,(О) + / / У (Е, ц) У, 1ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
