УМФ Тихонов (965259), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ау 4=О д1 4=о (6) Таким образом, задача сводится к решению уравнения (1) с граничными условиями (4), .(5) и с начальными условиями (6). Будем решать задачу методом раздслсния переменных, полагая у = У (х) т (1). (7) у =О, х=е дгу г д12 ау = О. х=е 154 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П Подставляя предлагаемую форму решения в 11), имеем Тл 11) У НО 1х) о' Т 11) 1' 1х) Для функции У 1х) получаем задачу о собственных значениях УРО ЛУ О 18) с1'У = О.
19) э=1 У1х) = А (сЬ ъ'Лх — соя ъ'Лх) + В (вЬ ъУЛх — гйп ъ'Лх) . Условия У" 11) = 0 и Ул'11) = 0 дают А (сЬ ъ'Л1+ сов ГЛ ~ )+ В (вЬ ъ'Л1+ вш ъгЛ 1 ~ = О, А (яЬ ъУЛ1 — вш ъГЛ 1) + В (сЬ ъ'Л1+ соя ъ'Л1) = О. Эта однородная система имеет нетривиальные решения А и В, если определитель системы равен нулю. Приравнивая этот определитель нулю, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений; вЬ~ ъУЛ1 — гйп ъ'Л1 = сЬз ъГЛ1+ 2сЬ ъгЛ1сов ъУЛ1+ сояэ ъГЛ1. Так как сй х — яЬ х = 1, то это уравнение можно записать в виде 2 2, сЬд. совр = — 1 (р = ъэ'Л1) . 110) Корни уравнения 110) без труда вычисляются, например, графически П: рз — 1,875, Рэ 4,694, рз — 7,854, Дн - — 12п — Ц пРи и > 3.
2 Ц О вычислении корней уравнения (10) смс Рэ лей Дж. В. С. Теория звука. М., 1955. Т. 1, гл. ЧП1. с1У с1зУ , =о ох я=о Общее решение уравнения 18) представляется в виде 1' (х) = А сЬ |/Л х -~- В в! з ъв~ Л х + С соя ъ' Л х + В вш ъГЛ х. Из условий У (0) = О, У' 10) = 0 находим С = — А, В = — В. Отсюда следует, что П1. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 155 Последняя формула дает значение д„с точностью до трех десятичных знаков, начиная с и = 3, и с точностью до шестого знака для п ) 7. Рассмотрим теперь частоты колебаний камертона.
Уравнению Та+а Л„Т = 0 удовлетворяют тригонометрические функции Т„(г) = а„соз2яип1+ Ьпвш2яи„1 с частотой а у'Л ~гЛ„~~~ и„)АУ 2я 2х ~( рЯ 2яП ~/ рЯ Частоты и„собственных колебаний относятся как квадраты д„. Так как — 6 267, — з 17 548 то второй собственный тон выше основного тона более чем на две с половиной октавы, т. е.
выше шестой гармоники струны при равном основном тоне, третье жс собственное колебание выше основного тона более чем на четыре октавы. Например, если камертон имеет основную частоту в 440 колебаний в секунду (принятый стандарт для а'-- ноты«ля» первой октавы), то следующая собственная частота камертона будет равна 2757,5 колебания в секунду (между сии = 2637,3 и уии = 2794,0 между нотами «ми» и «фа» четвертой октавы равномерно темперированной гаммы), третья же собственная частота в 7721,1 колебания в секунду уже выходит за пределы шкалы собственно музыкальных звуков.
При возбуждении колебаний камертона ударом присутствует не только первая, но и высшие гармоники, чем и объясняется металлический звук в начальный момент. Однако с течением времени высшие гармоники быстро затухают и камертон издает чистый звук основного тона. П1. Колебания нагруженной струны 1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о колебаниях закрепленной на концах струны (О, 1), в нескольких точках которой х = х, (ю' = 1, 2, ..., и) помещены сосредоточенные массы Мо Условия в точке х; можно получить двумя способами.
Если в точке х, (г = 1, 2,..., и) приложена сосредоточенная сила Е, (г), то должны выполняться соотношения и (х, — О, 1) = и (х, -~- О, 1), (2) ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П 156 В данном случае под г', следует понимать силу инерции. Подставляя в формулу (2) г) = — Млилл (х„л), получим я,л-в М, илл (х„1) = ки, я,— о (3) Возможен и другой вывод условия (3). Распределим массу Мл на участке (х, — е, хл + е) с постоянной плотностью б, и воспользуемся уравнением колебаний для неоднородной струны д лл ди'1 (р ч- б ) ин = — ~й — ), хл — е < х < х, + е, (4) дх дх удовлетворяюилее граничным условиям лл (О, Ю) = О., ( и(1, 1) = О,) (6) условиям сопряжения в тпочках х = х, и(хл — О, 1) = и(хл + О,.
1), я,л-о (л = 1, 2,..., и) Мл ЛЛЛЛ (Х~ 1) = КЛЛя (7) х,— о и начальным условиям и (х, 0) = лр (х), ( ил(т., 0) = ул(х),) (8) еде ол (х) и цл (х) заданные функции. 2. Собственные колебания нагруженной струны. Остановимся прежде всего на исследовании собственных частот и профилей где р — — плотность струны. Пусть и. (х, 1) — — решение этого уравнения.
Интегрируя уравнение (4) по х в пределах от х, — е до х, + е и совершая предельный переход при е — э О, получим условие (3) для функции и (х, 1) = 1пп и. (ле, г). На обосновании предельного перехода = — ло мы не останавливаемся. Сформулируем полностью нашу задачу. Найти решение уравнения колебаний П1. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 157 стоячих волн для нагруженной струны. Пля этого мы должны найти решение поставленной задачи, представимое в виде произведения и (и, 1) = Х (т) Т (1) . Подставляя это выражение в уравнение (5) и пользуясь граничными условиями, получим после разделения переменных Т" +ЛТ= О (10) и — ( й — ) +ЛРХ = (йХ')'+ЛРХ =О, д l дХЛ дт дт Х (0) = О, Х (1) = О. Условия сопряжения дают Х(т; — 0) = Х(т, ч-0), х, -~-О М;Х(т,)Т" = кХ' Т.
Принимая во внимание уравнение (10), перепишем последнее соотно- шение в виде х,-~-е йХ' = — ЛМ, Х (*,). я,— О Таким образом, для функции Х (и) мы получаем следующую задачу на собственные значения: — (йХ') +ЛрХ = О, й(т) > О, р(т) > О, (11) д Нт (12) Х (0) = О, Х (1) = О, Х (и; — 0) = Х (и; + 0) (1 = 1, 2, ..., Ж), кХ'(т,;+0) — кХ'(яп — 0) + ЛМ,Х(т;) = 0.~ (13) Отличительной особенностью рассматриваемой краевой задачи является то, что параметр Л входит не только в уравнение, но и в дополнительные условия.
Мы не будем здесь останавливаться на доказательствах существования бесчисленного множества собственных значений и собственных функций, положительности собственных значений, теоремы разложи- мости. Эта краевая задача, так же как и задачи обычного типа, рассмотренные нами в гл. П, з 3, сводится к некоторому интегральному 158 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П уравнению, которое в данном случае является нагруженным интегральным уравнением и эквивалентно интегральному уравнению в интегралах Стилтьеса. Остановимся более подробно на выводе условия ортогональности собственных функций Хз(х), Хя(х), ..., которое в данном случае отлично от условия (92) из 9 3 и называется условием ортогональности с нагрузкой. Как было показано в гл.
П, 'з 3, собственные функции для краевой задачи — й — ' +ЛрХ=О, Х(О) =О, Х(1) =0 ортогональны с весом р на интервале (О, 1): (14) Х„,, (х) Хв (х) р(х) с1х = 0 (ссс ~ и). о Распределяя каждую массу М; с постоянной плотностью 5з на некотором интервале хз — е < х < х, + с, где е ) 0 — малое число, мы придем к задаче о собственных колебаниях неоднородной струны с плотностью р. (х).
Пусть Л,„и Хе„(х) --. собственные значения и собственные функции этой задачи, для которых должны выполняться условия ортогональности (15) Х. (х) Х,„(х) р, (х) с1х = 0 (т ф и). о Выделяя в равенстве (15) интегралы по участкам (х; — е, х, + е) и совершая предельный переход при е -о О, мы получим соотношение су Х„,(х) Ха (х) р(х) с1х+ ~ ~М,Х (хс) Х„(х,) = 0 (т ~ и)., (16) о о= 1 называемое условием ортогональности с нагрузкой~~. Мы снова оставляем в стороне вопрос о возможности такого перс- хода. П Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Мл Л., 1951. Т.
1, гл. У1. П1. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 159 Условие ортогональности (16) может быть получено и чисто формальным путем из уравнения и условий (П) — (13). Пусть Х,„(х) и Хп(х) собственные функции задачи (11) (13), соответствующие собственным значениям Лп, и Лп, удовлетворяющие уравнениям д / дх,„л — ( й '" ) + Лп,рхт = О, г1 / г1Х„Л Умножим первое уравнение на Х„(х), второе на Х (х) и вычтем из первого результата второй. Интегрируя полученнное равенство последовательно по участкам (О, хг ); (хы хз); ...; (хмг 1) и складывая, будем иметь (Лт — Лп) / Х,п (х) Хп (х) р (х) г1х— о л — / — [Хггглхгг — Хггйхт ) г1х = О, (17) :=о, причем мы полагаем хе = О, хпег = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
