УМФ Тихонов (965259), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Функцию о часто называют функцией Р и м а н а. Эта формула является тождеством, верным для ли>бых достаточно гладких функций и и о. Пусть и- -решение поставленной выше задачи с начальными условиями, а функция о зависит от точки М как от параметра и удовлетворяет следующим требованиям: А4 [о) = о»» — ооо — (ао)» — (Ьо4+со = О внутри сзМРЯ (9) з 5) РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 139 Таким образом, формула (8) для функции и, удовлетворяющей уравнению (7), принимает следующий окончательный вид: (ип)р+ (ип)(2 и(М) = 2 + 1 + — / [а (иг (1)1 + иэ (1С) — и (ог дг1+ пя (1С) + ии (а а))1 — Ь(1С)]+ + — I/ п(М, .М')((М')Нам (Еам =~КТО) (10) 2,/, т г2 Эта формула решает поставленную задачу, так как выражения, стоящие под знаком интеграла вдоль РО, содержат функции, известные на дуге С.
В самом деле, функция е была определена выше, а функции и]с = у(х)., вычисляются при помощи начальных данных. Формула (10) показывает, что если начальные данные известны на дуге Р1,), то они полностью определяют функцию в характеристическом (а РМГ~, если функция 1(л, р) известна в этой области 0, Формула (10), .полученная в предположении существования решения, определяет его через начальные данные и правую часть уравнения (7) и тем самым, по существу, доказывает единственность решения (ср. с формулой Даламбера, гл.
11, 2 2, с. 56). Можно показать, что функция и, определяемая формулой (10), удовлетворяет условиям задачи (7) --. (7'). Однако мы на этом доказательстве не останавливаемся. 3. Физическаи интерпретация функции Римана. Выясним физический смысл функции п (М, М'). Для этого найдем решение неоднородного уравнения Е [и] = — 211 (1 = 211) 0 Если характеристикапересекает кривую С в двух точках Р и М1 (см.
рис. 26)., то значение и (М1) не может задаваться произвольно, а определяется по формуле (10) с начальными данными на дуге Р01 и значениями 7" (я, у) в ЬРМ10м 140 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П с нулевыми начальными условиями на кривой С. Обращаясь к фор- муле (10), видим, что искомое решение имеет вид и(М) = ~~ 'о(М, М') Л (М') бам. (Г1) / Л (М') "аан = 1. (12) Формула (11) в этом случае принимает вип и, (М) = ~~о(М, М'),~6 (М')Йам . Пользуясь теоремой о среднем значении, можно написать иг (М) = о (М, М1*) ~~,(з (М') тазг~ — — о(М, М~), где М* -- некоторая точка области Яз. Стягивая е-окрестность Е в точку М1 (е -э О), находим и(М) = 1пп и, (М) = о(М, Мз). (14) Функция (ы как мы видели на ряде примеров, обычно является плотностью силы, а переменная у у временем.
Выражение / з1 (М)Лаку — ц з1 К т/)(Кду (15) представляет собой импульс силы. 0 Отсюда ввиду формулы (11) заключаем, что о(М, М1) является функцией влияния единичного импульса, приложенного в точке Мз. Функция о(М, М1) = о(т, у; С, и) была определена как функция параметров М (о, у), удовлетворяющая по координатам С, и точки М1 уравнению Рис. 27 Мо о>[о) =0 (Гб) с дополнительными условиями (9'). Предположим, что 11 (М) локальная функция точки Мы равная нулю всюду, .кроме малой окрестности о' точки Мы и удовлетворяющая условию нормировки Ь 5) РКШКНИК ЛИНЕЙНЫХ ГИПКРБОЛИЧКСКИХ УРАВНКНИЙ 141 Рассмотрим функцию сл = и (М, ЛХл), являющуюся функцией параметров Мл (С, с1) и удовлетворяющую по координатам и, д точки ЛХ уравнению Е~ о~ [и) = О с дополнительными условиями (рис.
27) (17) Ь вЂ” а и на характеристике МЯл, 2 зсс2 Ь+а и на характеристике МлРл, 2 злс2 (18) и(ЛХл, Мл) = 1. Из этих условий находим /Ь вЂ” а ехр / слз на МЯл, ~./ 2зГ2 ~ о л Х Ь+а ехр Х1 да на М,Р„ ./ 2ъс2 ло (19) и(М, Мд) = и (Мл, Мл) = 1. Уравнение (17) и условия (18) полностью определяют функцию и в четырехугольнике МР, МЯл, ограниченном отрезками характеристик МРл, Мсолл и МзРл, МзСХл. Применяя формулу (6) к четырехугольнику МР, Мз сссл, получаем Рл м с7л лсл (с Е (и) — и Л4 (и)) сК с61 = ~ (Н с19 — К слс) + / + / + / = О МдсМ,Ссл СЗ, М, Р, (Хс(Е, л1) переменная точка интегрирования в МРлМлХХл). Пользуясь формулами (4) и (5) для К и Н и условиями (9') на характеристиках для функции п, нетрудно вычислить первые два интеграла правой 142 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П части: Рс (НсЬ1 — Кс1~) = — [оса)м+ [ио)р„ [Нйс1 — Кс1Я) = — (ио)м+(ио)о,, [НсЬс — Кс)Ц = м, / [ — [ои)С сЬ1 — [ио)чс1с) + / о [(2иссЩ+ 2ич асС) + [аиссд — Ьис1Д = Рс ссди а+ 6 с1 (ио) + / 2 [ — — и) ~о сЬ = (ио)зс, — [ио)рс ~,дз 2ч2 ) Рс рс с1~ = — сЬ1 =— сЬ 'с [Нй1 — Кс1~) = [ио)мс — (ио)з, ~с1с = сЬ1 = — ) .
Ус2) м, Суммируя все эти четыре равенства, получаем 2 [ил) м = 2 (ио) мы или и(М, Мс) = о(М, Мс), так как (20) [и)м, = (о)зс = 1. Таким образом, мы видим, что о (М, Мг) функцию влияния единичного импульса, сосредоточенного в точке Мс можно определить как решение уравнения .С1я, ~ [о (М., Мг)) = О, М = М [л, у), Мг = Мс (~, у) с дополнительными условиями (18). Ф подобно тому, как это было сделано при выводе формулы [10). Аналогично, пользуясь равенствами (4'), (5') и условиями (19) для функции и [М, Мг) на характеристиках, находим и, з 5) РКШКНИК ЛИНЕЙНЫХ ГИПКРБОЛИЧКСКИХ УРАНИИ!ИЙ 143 4.
'Уравнения с постоянными коэффициентами. В качестве первого примера применения формулы (10) рассмотрим зацачу с начальными данными для уравнения колебаний струны: и,, = и*' + У~ (х, 1) р = а1, Л = —,) и (х, 0) = д(х), ия (х, 0) = ф1 (х) ~О = — ) . а) В формуле (10) дуга Р(~ является отрезком оси у = О. Оператор Е(и) = и,, — икя является самосопряжснным, поскольку А4 (и) = Е [и) = и, — и„„. Так как а = 0 и Ь = О, то функция и на характеристиках МР и М() равна единице.
Отсюда следует, что и(М, М') = 1 для любой точки М' внутри треугольника РМЧ. Р(х — я, о) Рис. 28 Учитывая затем, что в нашем случае до=О на Р1;), получаем и(М) = + — / ичас~+ — ~~ ((с, г))г)сдц. Рмя Замечая, что Р = Р(х — у, 0), Я = Я(х+ у, 0), где х и р координаты точки М = М (х, у) (рис.
28), и пользуясь начальными 144 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П условиями, будем иметь и (х, у) = оэ(х — у) + ~р(х + у) 2 я аЬ вЂ” О 2,/ 2,/,/ о — ~у — ~) Возвращаясь к переменным х и 1, получаем формулу Паламбера у (х — аа) + ~р (х + а1) и(х, 4) = 2 + х-~-а Π— х) х-~-а1 + — / ф(с)с1~+ — / ( у(с, т)дсат, о х — аΠ— х) и„— и„„+ аих + Ьао + си = О, — оо < х < оо, у > 0 (21) (а, Ь, с постоянные числа), и ~о-о = ~р(х), (22) (23) Подстановка О' — и,,ах+пи (24) позволяет привести уравнение (21) к более простому виду: Пхх — У„„+сзЬГ=О, сз= — (4с — а +Ь), — оо<х<оо, у>0, 2 2 (25) с дополнительными условиями О' ~я=о = уа (х) е~х~~ = р1 (х), — оо < х < оэ, (22') С'я ~у-о = ф(х) — — ф(х) с'х = ф1(х), — оо < х < со, (23') 2 если только выбрать параметры Л и р соответствующим образом, полагая а Л=-, д= — —. 2' 2 (26) с которой мы уже встречались в 3 2, и.
9 (формула (30)). В качестве второго примера рассмотрим задачу с начальными условиями для уравнения с постоянными коэффициентами з 5) РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 145 (27) о„— о„„+ сзо = О, о = 1 на характеристике МР, о = 1 на характеристике Мсэ (см. рис. 28). (28) Будем искать о в виде о = о(з), (29) где *=си — сг — а — и' '=а — е' — а — е'.
оа На характеристиках МР и МЧ переменная з обращается в нуль, так что о (0) = 1. Далее левая часть уравнения (27) преобразуется следующим образом; о, — о„„ + сзо = оо (з) (я~ — г~) + о'(з) (гаа — ввв) + с1о = О. дифференцируя выражение для яя дважды, по х и р, получим яа =,т,— с, = — Ь вЂ” 0), яв„+з, = 1, 2 зявв+ я = — 1. Отсюда и из формулы (30) находим Уравнение для о принимает вид о + — о+с~о=О н в при условии и (0) = 1. Решением этого уравнения является функция Бесселя нулевого порядка (см.
Дополнение П, ч. 1, з 1) о (я) =,7о (зугз з), или о(т, р; 60) = 7е ( сз ((т — с)Я вЂ” (и — 0)з)) (31) 10 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Определение функции о' (и, р) по начальным данным и уравнению (25) сводится к построению функции Римана о (и, у: (, и). Функция о должна удовлетворять условиям 140 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П 1('(М) = + — / (6 Гу дг — У уц (1~) ((10 = 0). (32) и Вычислим предварительно интеграл по отрезку РС~ (ц = О): 62 о-Ьу (.у,— (,(о(= ) (о,(,Я((* — ((' — о'() у,((,о(— у((, о(око о((... о(*-((*:о') о д~. оо (( -((*-о*( Пользуясь начальными условиями (22'), (23'), находим 0 (х, Ы = ((оз (х р) +((о ( + р) + о-Ьу о- ) о (око(* — 6' — о')о (((о(о (33) *о" Ь ( % /( — ((' — о') о —,;„о ) о, (6 о(, (оо) (* — ((' — о' х у откуда в силу (24), (22') и (23') получаем формулу « вЂ” Ь (р(х — у)е 2 У+~6(х+р)е 2 " и(х, у)— 2 т-Ьу — — ( (-о.(ого(( -6 -о )— Ь 2 й, 2, 2 2,/ 12 ,у л(,К,'(*-6:о ), — оо( о )' '"'* "о(((о(о ( — 6' — о' 2-ЬУ о-', '(' ) (.'(оо(о'(* — (у — о ) "'* Боюо(, (35) лающую решение поставленной задачи.
Воспользуемся теперь для нахождения Г( (х, у) формулой (10), которая в нашем случае принимает вид ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ П Рассмотрим частный случай а = О, 6 = 0 (тогда сг = с), т. е. уравнение ихх — и„„ + си = О. Из формулы (35) сразу получаем и(х, р) = 12(х — д)+д(х+д) 1 7 2 +-1'ь(х,'~*-е*- )жж+ 2,/ ' "х (2 7* — о' — Р*) у — ' р ) ашас о6) ( — о' — у' х у Полагая здесь с = 0 и р = а1, приходим к формуле Даламбера х-~-ах и (х, 1) — + I Р (С) а14, (37) 2а у х — аХ дающей решение уравнения колебаний струны 1 и„— — им =0 ая при начальных условиях и(х, 0) = 12(х), ис (:г, 0) = ф (.т), ф (х) = аф(х) = аия (у, 0). ЗАДАЧИК ГЛАВЕ П 1. Решить задачу 1 из з 4, предполагая, что в начальный момент концентрация влаги постоянна вдоль всей трубы и на вход подается поток сухого воздуха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
