УМФ Тихонов (965259), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Выполняя интегрирование в каждом из слагаемых суммы и объединяя члены, соответствующие подстановкам х = х, — 0 и х = х;+ О, получаем сумму слагаемых вида А, = (Х,„йХ„'-Х„ЕХ,'п)...,-(Х йХ„'-Х„йх' )...,,. При этом подстановки при х = 0 и х = 1 в силу граничных условий обращаются в нуль. Для вычисления А, воспользуемся условиями сопряжения Х, (х, — 0) = Х, (х;+ 0), йХ,' (х, + О) — йХ,'. (, — 0) = — МгЛ, Х, (х,) / Переписывая А, в виде А; = Х (х;) [кх„' (х; — 0) — кх„' (х, + 0))— — Хп (х;) [йх' (х; — 0) — йх' (х, + 0)) и пользуясь формулой (13'), находим Аг — Хгп (тг) МгЛп Хп, (хг) — Хп (хг) МгЛт Хт (хг) = Мг Хт (хг) Хп (хг) (Лп Лт).
Теперь равенство (17) можно записать в виде аг гг.. — г.г 1 и г.гх,г )гг*г и* г г пгх, г*.гх.г*.г) = г. е г — — 1 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П 160 Если Л,„ф Л„, то отсюда сразу жс следует условие ортогональности с нагрузкой (16). Норма собственных функций Х„(х) определяется по формуле гг ()Хп(): / Х~~ (к) р (х) Их + Х~~ М~ Х~~ (кг) ° (18) о ~=1 Очевидно, что при разложении некоторой функции 1 (х) в ряд: коэффициенты разложения будут определяться по формуле Ю 1 (х) Х„(х) р (х) г1х + ~М, у (х,,) Х„(х,) о '9Х„9з Задача с начальными условиями, поставленная в п.
1, решается по обычной схеме метода разделения переменных. Аналогично рассматривается задача о колебании стержня (или балки) при наличии сосредоточенных масс. Задача о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенными массами, находит широкое применение в физике и технике. Еще Пуассон решал задачу о продольном движении груза, подвешенного к упругой нити. А. Н.
Крылов показал ~~, что к этой задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода «дрожащих» клапанов и т. д. Для теории многих измерительных приборов важно изучение крутильных колебаний нити, к концу которой подвешена масса (например, зеркальце). Особую актуальность задача подобного типа приобрела в связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Пля решения этой задачи необходимо вычисление собственных частот крыла (балки переменного сечения), нагруженного массами (моторы).
Кроме того, рассматриваемая задача встречается при расчете собственных колебаний антенн, нагруженных сосредоточенными емкостями и самоиндукциями (в связи с этим см. Приложение У1, посвященное аналогии между механическими и электромагнитными колебаниями). Мы нс останавливаемся здесь на приближенных методах нахождения собственных значений и функций задачи, аналогичных приближенным методам нахождения соответствующих величин для неоднородной струны. Л Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. Л., 1933.
Гл. ЧП. П1. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 161 и для амплитуды стоячих волн получается уравнение с граничными условиями Х„(0) = О, Х„'Ц) = — Л„Х„11). Р Отсюда находим зп1ъ'Л х гйп ~/Л„1 где Л„ определяется из уравнения с13 ЗУЛв1 = — ЗУЛ„. М Р Условие ортогональности функций 1 Х„(х) ) принимает вид (20) Хо (х) Х,„(х) Р с1х + М Х„(1) Х,„11) = О. о Вычислим квадрат нормы А1и = / Хз (х) Р дх + М Хз 11). о Используя уравнение (20), получаем 1р Хо = — + — + Л„1. 2 2 2р Задача с начальными данными решается обычным методом.
4. Поправки для собственных значений. Вычислим поправки для собственных частот в случае больших и малых нагрузок М. Для простоты рассмотрим тот случай, когда груз подвешен к концу струны. Возможны два предельных случая. 1. М = О. Конец х = 1 свободен. Собственные значения определяются из формулы ~ц 2п+1 я п 2 1 11 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский 3. Струна с грузом на конде. Значительный практический интерес представляет задача о колебаниях однородной струны, один конец которой (х = 0) закреплен, а ко второму концу (х = 1) подвешен груз массы М.
В этом случае условие при х = 1 принимает вид Мим = — йи, (1, 1) 162 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П 2. М = оо. Конец и = 1 жестко закреплен: и(1, 1) = О. Собственные значения определяются из формулы Я2) ™ Нас будет интересовать случай малых М (М вЂ” > 0) и больших М (М вЂ” ~ со). (О 1' М вЂ” ~ О. Найдем поправку к собственному значению Л„, пола- гая т/Л„= Ч лУ„~+ем, (21) где е некоторое число. Подставляя (21) в уравнение (20) и пренебрегая Мз и более высокими степенями М, получаем Л (22) Р / т. е.
собственные частоты нагруженной струны при М вЂ” > 0 возрастают, приближаясь к собственным частотам струны со свободным концом. 2' М вЂ” ~ оо. Выбирая 1/М в качестве параметра малости, поло- жим = )/~Р + е —. Уравнение (20) дает 1Ч. Уравнения газодинамики и теория ударных волн 1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии. Уравнения акустики (см. ~ 1) были получены в предположении малости скоростей движения газа и малых изменений давления, что позволило линеаризовать уравнения гидродинамики. При этом мы пренебрегаем членами., содержащими 1/Мз и более высокие степени 1/М.
Таким образом, в т. е. при увеличении нагрузки собственные частоты убывают, равномерно приближаясь к собственным частотам струны с закрепленными концами. 1У. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 163 В задачах, возникающих при изучении полета ракет и скоростных самолетов, в теории баллистики, взрывных волн и т. и., приходится иметь дело с гидродинамическими процессами, характеризующимися большими скоростями и градиентами давлений.
В этом случае линейное приближение акустики непригодно и необходимо пользоваться нелинейными уравнениями гидродинамики. Поскольку с такого рода движениями на практике приходится встречаться для газов, то принято о гидродинамике больших скоростей говорить как о газовой динамике, или газодинамике. Уравнения газодинамики в случае одномерного движения газа (в направлении оси х) имеют вид др д — + — (ро) = 0 д1 д* до до др Р +Ро д1 до дж (уравнение непрерывности), (1) (уравнение движения), (2) (уравнение состояния). (3) р= 11р Т) Таким образом, уравнения газодинамики представляют собой уравнения движения идеальной сжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил.
Перейдем теперь к выводу закона сохранения энергии. Энергия единицы объема равна ро + ре, (4) (5) Производя дифференцирование в первом слагаемом и пользуясь уравнениями (1) и (2), получаем д /роз'1 о' др до о' д д /ог 1 др — (= — — +р — = — — — 0 ) —, — ~ — / — о —. (6) д1[,2( 2 д1 д1 2 дх дт 1,2~) дл Для преобразования производной д (ре) /д1 обратимся к первому нача- лу термодинамики, выражающему закон сохранения энергии: Ж~ = сЫ+ рг1т., (7) 11* где первый член есть кинетическая энергия, второй - внутренняя энергия. Здесь е, очевидно, обозначает внутреннюю энергию единицы массы. Для идеального газа с = со Т, где с,, теплоемкостьпри постоянном объеме, Т температура.
Вычислим изменение энергии в единицу времени: 164 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П где Й2 количество тепла, получаемое (или отдаваемое) системой извне, р г1т - - работа, затрачиваемая при изменении объема на величину Йт (г = 1/р удельный объем). Если процесс адиабатический (теплообмена со средой нет), то г)ц =0 1 р пе = — Рд — = — ИР.
Р Р Пользуясь этим равенством, будем иметь д (ре) = е Йр+ р г1е = е Йр + — дР = и др, р Р (8) (9) д дР— (ре) = ю —, д1 д1 (10) где дш др Рп — = ю —. (12) дл дл Учитывая равенства (2), (5), (6), (10), (12), получаем закон сохранения энергии в дифференциальной форме: — +Ре = — — Рг — +и~ Для выяснения физического смысла этого равенства проинтегрируем его по некоторому объему (яы тз): Слева стоит изменение энергии в единицу времени на интервале (яы хз), справа поток энергии, вытекающей в единицу времени из рассматриваемого объема.
Если эффектом тсплопроводности нельзя пренебречь, то уравнение сохранения энергии принимает вид — + ре = — — рг — + и~ — х — ., (14) где и - - коэффициент теплопроводности. ю=с+"- (11) Р тепловая функция, или теплосодержание Единицы массы. Производная дю/дя в силу соотношений (9) и (11) удовлетворяет уравнению 1У. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 165 2. 'Ударные волны. Условия динамической совместности. В случае больших скоростей возможны такие движения, при которых на некоторых поверхностях, перемещающихся в пространстве, возникают разрывы непрерывности в распределении гидродинамических величин (давления, скорости, плотности и др.).
Эти разрывы принято называть ударными волнами. На поверхности разрыва (фронте уда.р ной волны) должны выполняться условия непрерывности потока вещества, энергии и количества движения (условия Г юг он но). Перейдем к выводу этих условий. Преобразуем уравнение (2) к более удобному для наших целей виду. Умножая (1) на п и складывая с (2), получаем д д — ( ) = — — (р+-') дс дт (2') Перепишем теперь уравнения непрерывности, движения и сохранения энергии в виде др д — = — — (рп), д1 дх д(,.) д д1 дт (р+р ) (2') — — +ре = — — рп — +ш (13) Рассмотрим на плоскости (т, 1) линию т = а (1), являющуюся «следом» поверхности разрыва на плоскости (я, 1). Пусть АС некоторая дуга линии разрыва т = а (г), где А и С точки с координатами яы и тз = тз + Ьт, 1з = П + Ы соответственно. Погтгроим прямоугольник АВСР со сторонами, параллельными координатным осям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
