УМФ Тихонов (965259), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Линамические аналогии. М., 1947. движения газа оказывается существенным трение газа о стенки сосуда. По аналогии с электрическим сопротивлением, которое определяется как отношение напряжения к току, можно ввести и акустическое сопротивление, определяемое отношением давления к току в среде, который пропорционален скорости смещения частиц газа, ЛА = р/ип.
В тех случаях, когда рассматривается движение газа в пористой среде, приходится вводить величину, аналогичную утечке в электрических цепях. Эта величина, обозначаемая через Р, называется пористостью и опрсделяется частью объема материала, которая оказывается заполненной воздухом. Механическим аналогом телеграфного уравнения является уравнение продольных колебаний стержня, которое подобно уравнениям (2) может быть записано в виде ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П 188 Развитые выше соображения позволяют в ряде акустических задач получить некоторые сведения о характере явлений до решения задачи.
Так, задача о движении воздуха в порах для простых гармонических волн приводит к уравнениям — ивр и + ги = — 8гас1р, уРы сгр+1 1г — гыр„,) р = О, раз где и ---объемная скорость воздуха через поры, Р--- давление, .р--- плотность, р эффективная плотность воздуха в порах, которая мо- жет быть больше р, так как в порах вместе с воздухом могут колебать- ся и частицы вещества, Р пористость, а и ы скорость и частота звука, г сопротивление потоку, которое характеризует падение да- вления в материале. Положив г = ггл, р,„= А4, уР!(раа) = С4, мы получим наши уравнения в виде ди Ал — + Лли = — 8габр, д1 СлАл з + СлПл — = сзР. дР дР д1з д1 Эти уравнения вполне подобны уравнениям распространения электрических колебаний в линии.
Поэтому мы по аналогии с волновым сопротивлением линии Л+ 1ыА С+ ипС можем сразу написать выражение для сопротивления, называемого ха- рактеристическим импсдансом пористого материала: Р,„— 4Г)Ы Я = ач р 7 считая при этом С = О. Выражение характеристического импеданса указывает на затухание волн, распространяющихся в пористом материале. Установленная аналогия между электрическими и акустическими явлениями позволяет заменить изучение ряда акустических задач рассмотрением эквивалентных электрических схем. Метод подобия в последнее время нашел большое применение в моделирующих счетно-решающих устройствах, в которых для решения уравнения, соответствующего какому-либо физическому процессу, строится эквивалентная электрическая схема. Л Смо Фурдуев В.
В. Электроакустика. Мл Л., 1948. ГЛАВА Ш УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИк1ЕСКОГО ТИПА Уравнения с частными производными 2-го порядка параболического типа наиболее часто встречаются при изучении процессов теплопроводности и диффузии. Простейшее уравнение параболического типа (у=а 1) и, — из=О обычно называют уравнением теплопроводности. $1. Простейшие задачи, приводящие к уравненним параболического типа. Постановка краевых задач 1.
Линейная задача о распространении тепла. Рассмотрим однородный стержень длины 1, теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Если концы стержня поддерживать при постоянных температурах из и из, то, как хорошо известно, вдоль стерж- и, ня устанавливается линейное распределение температуры (рис. 36) иг — из и (и) = и1 + т. (1) о При этом от более нагретого к менее нагретому концу стержня бу- Рис. 36 дет перетекать тепло. Количество тепла, протекающее через сечение стержня площади о' за единицу времени, дается экспериментальной формулой (2) где й коэффициент тсплопроводности, зависящий от материала стержня.
190 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 Величина теплового потока считается положительной, если тепло течет в сторону возрастания и. Рассмотрим процесс распространения тепла в стержне. Этот процесс может быть описан функцией и (я, 1), представляющей температуру в сечении х в момент времени П Найдем уравнение, которому должна удовлетворять функция и (к, 1). Пля этого сформулируем физические закономерности, определяющие процессы, связанные с распространением тепла.
1. Закон Фурье. Если температура теланеравномерна, то в нем возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой. Количество тепла, протекающее через сечение х за промежуток времени (1, 1+ г11), равно (3) где ди 9 = — к(т)— дт плотность теплового потока, равная количеству тепла, проходящего за единицу времени через площадь в 1 см . Этот закон представляет обобщение формулы (2). Ему можно также придать интегральную форму: ди 1;) = — д / к — (х, г) йг, ди (5) Ц = ст ьзи = срИ Ьи, (6) где с удельная теплоемкость, пз масса тела, р его плотность, объем. Если изменение температуры имеет различную величину на разных участках стержня или если стержень неоднороден, то 1,) = / срджа(х) Йх.
я1 (7) 3. Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло (например, при прохождении тока, вследствие химических реакций и т. д.). Выделение тепла может быть охарактеризовано объемной плот- где 1я' — количество тепла, протекающее за промежуток времени (йм зз) через сечение и. Если стержень неоднороден, то к является функцией х. 2. Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на Ьи, равно ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 191 Я = Я / / г' (1, х) с1х й, (9) б яг где Ц количество тепла, выделяющегося на участке стержня (хы хг) за промежуток времени (1г, 1г).
Уравнение теплопроводности получается при подсчете баланса тепла на некотором отрезке (хы хг) за некоторый промежуток времени (йы гг). Применяя закон сохранения энергии и пользуясь формулами (5), (7) и (9), можно написать равенство ьг зг гг 1 ди ди ~~ — о,.) -" — о,.);~//гг .).зз, = и ср(иЫ гг) — 'и((, гг)]д~, (10) которое н продставляет уравнение теплопроводности в интегральной форме. Чтобы получить уравнение теплопроводности в дифференциальной форме, предположим, что функция и(х, 1) имеет непрерывные производные ия и иг го Пользуясь теоремой о среднем, получаем равенство ! до ди й — (х, т) — й — (х, т) Ы+ Р(х4, 14) гзхгзг = дх , дх ср(и(6 1г) — и(С, гг)) ~ Ьх, ,,яз ~~ Если, например, тепло выделяется в результате прохождения электрического тока силы 1 по стержню, сопротивление которого на единицу длины равно В, то г = 1 В78.
~ Требуя днфференцируемостн функции и (х, г), мы, вообще говоря., можсм пОтерять ряд вОзмОжных рЕшений, удовлетверяющих интегральному уравнению, но не удовлетворяюцгих дифференциальному уравнению. Однако в случае уравнений теплопроводности, требуя днфференцируемостн решения, мы фактически не теряем возможных решений, так как можно доказать, что если функция удовлетворяет уравнению (10), то она обязательно должна быть днфференцнруемой. постыл тепловых источников г'(х, 1) в точке х в момент 1~~. В результате действия этих источников на участке стержня (х, х+ дх) за промежуток времени (1, 1+ й) выделится количество тепла сй~ = БГ (х, 1) сЬ с11,.
(8) или, в интегральной форме, гг зг 192 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 которое при помощи теоремы о конечных приращениях можно пре- образовать к виду д(д ди — ~й — (х,1)~ сяхсзс+ Р(хс,1с) сзхЫ = ~~ср — (х,.1) ссхЫ, д (дх дс с=сз с=се () где Сз, 1с, 1в и хз, х4, хе промежуточные точки интервалов (Сс, гг) и (хс; хг). Отсюда после сокращения на произведение сзхЫ находим д сс диьс д — (й — ) +г'(х, С) =ср— дх (,'д ( *=*.
в=вс дй сйсэ с.=сз с=с„ я=из Все эти рассуждения относятся к произвольным промежуткам (хы хг) и (1с, Сг). Переходя к пределу при хы хг — е х и Сс, Сг — с С, получим уравнение д сс ди1 да — ( й — ) + й' (х, 1) = ср —, д 1дх) ' д1' (14) называемое уравнением теплопроводности. Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Если стержень однороден, то й, с, р можно считать постоянными и уравнение (14) обычно записывают в виде ис = а и„+ с' (х, 1), И., )="х'", ср где а постоянная, называемая коэффициентом температу- ропроводности. Если источники отсутствуют, т. е, Е(х, 1) = О, то уравнение теплопроводности принимает простой вид г ис —— а ися (14') Поскольку в нашем приближении но учитывается распределонио температуры по сечению, то действие поверхностных источников эквивалентно действию объемных источников тепла.
2. Плотность тепловых источников может зависеть от темпера- туры. В случае теплообмена с окружающей средой, подчиняющегося закону Ньютона, количество тепла, теряемого стержнем~с, рас- считанное на единицу длины и времени, равно го = Ь(и — о), где д(х, с) температура окружасощей среды, 6 коэффициент теплообмена. Таким образом, плотность тепловых источников в точке х в момент 1 равна Е = Рс (х, 1) — 6 (и — В), ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 193 где Ез (х, 1) плотность других источников тепла.
Если стержень однороден,то уравнение теплопроводности с боковым теплообменом имеет следующий вид: ис — — а и, — аи+~(х,1), (15) 6 Е~(х,1) где а = —; у (т, г) = а В (х, 1) + известная функция. ср ср 3. Коэффициенты х и с, как правило, .являются медленно меняющимися функциями температуры. Поэтому сделанное выше предположение о постоянстве этих коэффициентов возможно лишь при условии рассмотрения небольших интервалов изменения температуры.
Изучение температурных процессов в болыпом интервале изменения температур приводит к квазилинейному уравнению теплопроводности, которое для неоднородной среды запишется в виде д Г ди~ ди — ~А'(и, х) — ) + Р (х, «) = С (и, х) р(и, х)— д* (, ' д,) ' ' ' д1 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
