УМФ Тихонов (965259), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Приложение П1). 2. 'Уравнение диффузии. Если среда неравномерно заполнена газом, то имеет место диффузия его из мест с более высокой концентрацией в места с меньшей концентрацией. Это же явление имеет место и в растворах, если концентрация растворенного вещества в объеме непостоянна. Рассмотрим процесс диффузии в полой трубке или в трубке, заполненной пористой средой, предполагая, что во всякий момент времени концентрация газа (раствора) по сечению трубки одинакова.
Тогда процесс диффузии может быть описан функцией и (х, 1), представляющей концентрацию в сечении х в момент времени а Согласно закону Нери ста масса газа, протекающая через сечение х за промежуток времени (с, 1+ са1), равна й;1 = —.0 — (х, 1) ЯМ = И'Яг1г, ди дх И' = — Р—, (1б) дх' где Р коэффициент диффузии, 5 площадь сечения трубки, И' (х, 1) -- плотность диффузионного потока, равная массе газа, протекающего за единицу времени через единицу площади. По определению концентрации, количество газа в объеме И равно 1) =иУ; отсюда получаем., что изменение массы газа на участке трубки (хы хз) при изменении концентрации на Ьи равно вс ЬЯ = / с(х) Ьи Ядх, х! 13 А.
Н. Тихонов, А. А. Самарский 194 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П где с(х) коэффициент пористости~с. Составим уравнение баланса массы газа на участке (хс, хг) за промежуток времени (П, сг): сг дп ди с)" [л ээ — (*.. е — и аэ — ь.. е1 дх дх = о' / с (с) [и (с, 1г) — и (с, 1с)) с4~. хс Отсюда (ср. с и. 1) получим уравнение (17) являющееся уравнением диффузии. Оно вполне аналогично уравнению теплопроводности. При выводе этого уравнения мы считали, что в трубке нет источников вещества и диффузия через стенки трубки отсутствует. Учет этих явлений приводит к уравнениям, сходным с уравнениями (14) и (15) (см. гл. У1, з 2, и. 3). Если коэффициент диффузии постоянен, то уравнение диффузии принимает вид г ис=а и„, где а = Пссс.
Если коэффициент пористости с = 1, а коэффициент диффузии постоянен, то уравнение диффузии имеет вид ис = 1си„. 3. Распространение тепла в пространстве. Процесс распространения тепла в пространстве может быть охарактеризован температурой и(х, р, г, 1), являюгдейся функцией х, р, г и Е Если температура непостоянна, то возникают тепловые потоки, направленные от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой. Пусть йт некоторая площадка в точке Р(~, Лс, с",) с нормалью и.
Количество тепла, протекающее через йг в единицу времени, согласно закону Фурье равно ди ~п с1а = (%' п)йг = — й — с1о., дп П Коэффициентом пористости называется отношение объема пор х полному объему 1се, равному в нашем случае о с1х. 19б УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П и преобразовать уравнение баланса к виду ~~ ср 1и (Р, Йг) — и (Р, сс)) сП'р = с, сг = — / ~~~с11нЪКс11'р с1с+ / ~~~с (Р, 1) сЛ РЖ. с, с, (Будем предполагать Р СР, 1) непрерывной функцией своих аргументов.) Применяя теорему о среднем и теорему о конечных приращениях для функций многих переменных, получаем ди ср — с."С1. Ъ' = — с11нЪнс Сзг.
1с+ Р сз1 Ъ; с=ы с=сз Ре РС и= ге Р=.Рз где 1з, 14, 1з .промесжуточныеточкинаинтервале с.с1, а Рс, Рг, Рз- . точки в объеме 1с. Фиксируем некоторую точку М (т, у, и) внутри И и будем стягивать И в эту точку, а Ы устремлять к нулю. После сокращения на сзср и указанного предельного перехода получим ди ср — (л, у, г, 1) = — с11н ссс (и, у, я, 1) + Р (и, у, я, 1). Заменяя 'йн" по формуле йн' = — Й ягас1 и, получим дифференциальное уравнение теплопроводности срис = с11н(Й ягас1 и) + Р, или Если среда однородна, то это уравнение обычно записывают в виде г, Р ис = а, (и„+ инн + и-.) + —, ср где аг = Й,сер коэффициент температуропроводности, или с' Р'1 ис — — а сзи+1 ~1 = — (, ср( ' д д д где сз = + + оператор Лапласа.
диг дуг дг' 4. Постановка краевых задач. Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. ПРОСтКйШИК ЗАДАЧИ 197 Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа состоит лишь в задании значений функции и(т, 1) в начальный момент Ге. Граничные условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границах.
Рассматривают три основных типа граничных условий. 1. На конце стержня х = О задана температура и(0, 1) = р(г), где р(г) функция, заданная в некотором промежутке 1е ( 1 ( Т, ( Т. —.момент времени, до которого изучается процесс). 2. На конце и = 1 задано значение производной ди — (Е, г) = и (С).
дх К этому условию мы приходим, если задана величина теплового потока г,) Д, 1), протекающего через торцевое сечение стержня, Я(1, 1) = -к — (1, 1), ди откуда — (1, г) = и (г), где и (г) известная функпия, выражающаяся дх через заданный поток () (1, 1) формулой Ц (7, 1) к 3. На конце я = 1 задано линейное соотношение между производной и функцией — Д, г) = -Л [и(1, 1) — 0(г)). Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, температура которой д известна. Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, вытекающего через сечение и = й с) = л(и — д) и получаем математическую формулировку третьего граничного усло- вия в виде — (1, 1) = — Л (и (1, 1) — й (1)], ди дт 198 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П1 где Л = 6/й коэффициент теплообмена, о (1) некоторая заданная функция. Пля конца х = 0 стержня (О, 1) третье граничное условие имеет вид — (О, 1) = Л)и(0, 1) — 011)). дх Граничные условия при х = 0 и х = 1 могут быть разных типов, так что число различных задач велико. Первая краевая задача для ограниченного стержня состоит в следующем. Найти решение и = и (х., 1) уравнения теплопроводности и~ = ази,, при 0 < х <1, 0 <1< Т, удовлетворяюшее условиям и(х,О)=у(х), 0<х<1, (О, 1) =д (Г), и(1, 1) = рз11), О <1< т, где р(х), рз 11) и рз ® заданные функиша.
Аналогично ставятся и другие краевые задачи с различными комбинациями краевых условий при х = 0 и х = 1. Возможны краевые условия более сложного типа, чем те, которые были рассмотрены выше. Пусть на конце х = 0 стержня помещена сосредоточенная тепло- емкость С1 (например, тело с большой теплопроводностью, вследствие чего температуру по всему объему этого тела можно считать постоянной) и происходит теплообмен со внешней средой по закону Ньютона. Тогда краевое условие при х = 0 (выражающее уравнение теплового баланса) будет иметь вид ди ди Сз — = и — — Ь (и — ио), дс дх где ио -температура внешней среды. Это условие содержит производную ди/дг (или д~и/дх~, если учесть уравнение и, = а и.л).
Если среда неоднородна и коэффициенты уравнения являются разрывными функциями, то промежуток (О, 1), в котором ищется решение задачи, разбивается точками разрыва коэффициентов на несколько частей, внутри которых функция и удовлетворяет уравнению теплопроводности, а на границах условиям сопряжения. В простейшем случае эти условия заключаются в непрерывности температуры и непрерывности теплового потока: и(х,— 0,1) =и(х;,+0,1),. ди ди й (х, — 0) — (х, — О, 1) = к (х, + 0) — (х, + О, 1), дх ' ' ' дх ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ где х, точки разрыва коэффициентов.
Кроме названных здесь задач часто встречаются их предельные случаи. Рассмотрим процесс теплопроводности в очень длинном стержне. В течение небольшого промежутка времени влияние температурного режима, заданного на границе, в центральной части стержня сказывается весьма слабо, и температура на этом участке определяется в основном лишь начальным распределением температуры. В этом случае точный учет длины стержня не имеет значения, так как изменение длины стержня не окажет существенного влияния на температуру интересуюшего нас участка; в задачах подобного типа обычно считают, что стержень имеет бесконечную длину.
Таким образом, ставится задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой. Найти решение уравнения теплопрсвсдности в области — со < < т < со и 1 > ее, удовлетворянлцее условию и (х, гс) = у (х) ( — со < х < + со), где ~р(х) заданная функции. Аналогично, если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальными условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
