УМФ Тихонов (965259), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Процесс распространения тепла в этом случае определяется формулой (19): и (х, г) = / С (х, с, 1) ~рэ (с) ис. о (21) Совершим теперь предельный переход при е -э О. Принимая во внимание непрерывность С при 1 > 0 и равенство (20) и применяя теорему среднего значения при фиксированных значениях х, 1, будем иметь и, (х, 1) = / С (х, с', 1) д, (с') дс' = = С (х, с*, 1) / дэ (с') г1~' = С (х, ~', 1) —, (21') ср где с' --некоторая средняя точка интервала, (с — с, с + е). В силу не- прЕрывнОСти функции С (Х, ~, 1) пО (' при Г > 0 пОлучаЕм Ю 9 2 т ~ з-',з, яи кп, 11ши.-(х,1) = — С(х, ~,1) = —.
— ~е ( г) зш — х з1п — (. =- — ~о ' ' ср ' ср п.=1 (22) Отсюда следует, что С (х, 4, г) представляет температуру в точке х в момент 1, вызванную действием мгновенного точечного источника з 2) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 215 мощности 1,1 = ср, помещенного в момент времени 1 = 0 в точке С промежутка (О, 1).
Отметим следующее свойство функции С(х, с, г): функция С(х, С,1) > 0 при любых х, С и 1 > О. Действительно, рассмотрим начальную функцию у, (х), обладающук> перечисленными свойствами, и соответствукяцее ей решение (21'). Из неотрицательности начального и граничных условий в силу принципа максимального значения следует,что и,(х,1) >О для вссх 0 < х < 1 и 1 > О. Отсюда, воспользовавшисьформулой (21'), имеем и, (х, .1) = С (х, С*,1) — > 0 (при 1 > 0). Д ср (2 1 л ) Переходя к пределу при г — з О, из (21') получаем неравенство С(х,.с,1)>0 при 0<х,с<1 и 1>0, которое и надо было доказать. Этот результат имеет простой физический смысл.
Однако установить его непосредственно из формулы (19) было бы затруднительно, поскольку С (х, с, 1) представляется знакопеременным рядом. 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями. Изложенная выше теория относится к решениям уравнения теплопроводности, непрерывным в замкнутой области 0 < х < 1, 0 < 1 < Т. Эти условия непрерывности являются весьма ограничительными. В самом деле, рассмотрим простейшую задачу об остывании равномерно нагретого стержня при нулевой температуре на краях.
Дополнительные условия имеют вид и(х, 0) = ио, и(0, 1) = и(1, 1) = О. Если ив ~ О, то решение этой задачи должно быть разрывным в точках (О, 0) и (1, 0). Этот пример показывает, что поставленные выше условия непрерывности начального значения и условия сопряжения его с граничными условиями исключают из рассмотрения практически важные случаи. Однако формула (19) дает решение краевой задачи и в этом случае. В приложениях часто пользуются формулами, выходящими за границы условий их применимости, зачастую вообще не ставя вопрос об условии применимости формул. Последовательное обоснование всех формул было бы весьма громоздким и отвлекало бы внимание исследователя от количественных и качественых сторон явления, характерных для физической сущности процесса. Однако мы считаем нужным, по крайней мере на простейших примерах, дать обоснование математического аппарата, достаточное для решения основных задач.
216 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 Рассмотрим краевые задачи с кусочно-непрерывными начальными функциями, не предполагая, что начальная функция сопряжена с граничными условиями. Этот класс дополнительных условий является достаточно общим для потребностей практики и достаточно простым для изложения теории. Наша цель доказать, что та же формула (19) дает решение поставленной задачи.
Проведем ее исследование в несколько этапов. Сначала докажем следующую теорему: Решение уравнения тпеплопроводности и~=пи„(0<х<1, 1>0), (4) непрерывное в замкнутой облатпи (О < х < 1, 0 < 1 < Т) и удовлетворяющее условиям и (О, 1) = и (1, .1) = О, 1 > О, и(х, 0) = оз(х), 0 < х <1, (2) где уз(х) произвольная непрерывная функиия, обращающаяся в нуль при х = О, х = 1, определено однозначно и представляется формулой и(., 1) = / С(х, 61) рЫ) С. (19) и(х,1) = 11ш и,(х,1) = 1пп / С(х,С,1) ~р„(Д) аС = / С(х,С,1) Эз(~) дС о Эта теорема была доказана выше в предположении дополнительного условия о кусочно-непрерывной дифференцируемости функции оз (х). Освободимся от этого условия. Рассмотрим последовательность непрерывных кусочно-дифференцируемых функций ~р„(х) (у„(0) = = у„(1) = 0), равномерно сходящуюся к ьз(х).
(В качестве у„(х) можно выбрать, например, функции, представимые ломаными линиями, совпадающими с ~р(х) в точках 1й)п., и = О, 1, 2, ..., п.) Функции и„(х., 1), определяемые формулой (19) через оз„(х), удовлетворяют всем условиям теоремы, так как у„(х) удовлетворяют условию кусочной дифференцируемости. Эти функции равномерно сходятся и определяют в пределе непрерывную функцию и (х, 1). В самом деле, для любого е можно указать такое п (е), что ~оз,ч (х) — оз„, (х)~ < е (О < х < 1), если пы пз > п,(е), так как эти функции по условию сходятся равномерно. Отсюда в силу принципа максимальных значений следует также, что ~ип(х1) — ип(хе)~ <е (О < х <1, 0 <1< Т), если пы пз > п(е), что и доказывает равномерную сходимость последовательности функций и„(х, 1) к некоторой непрерывной функции и (х, 1).
Если мы, фиксировав точку (х, 1), перейдем к пределу под знаком интеграла, то получим, .что функция з 2) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 217 непрерывна в замкнутой области 0 < х < (, 0 < 1 < Т и удовлетворяет начальному условию (2). В силу примечания на с. 212 нетрудно убедиться, что она также удовлетворяет уравнению (4) при 2 > О. Доказательство теоремы закончено.
Формула (19) дает единственное непрерывное решение рассматриваемой задачи. Обратимся к доказательству теоромы единственности для случая кусочно-непрерывной начальной функции р(х)., не предполагая, что эта функция сопряжена с граничными условиями. функция, нспрврыона» в области 1 > О, удав»створ»юта» уравнению зпеплопроводности 3 ис=а иил в области 0 < х < 1, 1 > О, ну»созыв граничнььм услови»м и (О, 1) = и (1, 1) = 0 (4) (5) и начальному ус.ловию и(х, 0) = зо(х), (2) определена однозначно, если: 1) она непрерывно в точках непрерывности функции р(х); 2) озраничена в замкнутой обласпш 0 ( х ( 1, 0 < 1 < зо, вде 1е-- произвольнос положительное число.
Предположим, что такая функция существует. Очевидно, что в силу предшествующей теоремы она может быть представлена в области 1 > Р формулой и(х,з)= /С(х,б,.с — 1)~рт(б)бб (1>1>0) (19) е при любом 1, где Р вспомогательное значение, 0 ( Р ( 1, Зоз (х) = и (х,з) Совершим предельный переход в этой формуле при 1 — э О, сохраняя х и 1 неизменными. Покажем, что возможен переход под знаком интеграла 1) 1пп и(х., 1) = )о(х), в- о где Зо(х) заданная начальная суммируемая функция.
П Доказываемая ниже теорома является частным случаом теоремы Лебега о возможности перехода к пределу под знаком интеграла, если последовательность функций Го, (х) почти всюду сходится к предельной суммируемой функции г" (х) и если эта последовательность ограничена суммируемой функцией.
Это доказательство приводится, чтобы избежать пользования теоротико-множоственными понятиями. Если воспользоваться теоретико- множественными понятиями, то совершенно аналогично можно доказать теорему о том, что решение уравнения теплопроводности и(х, 1), удовлетворяющее нулевым граничным условиям, однозначно определено: Ц если и (х, 1) ( г" (х), где Г (х) -- некоторая суммируемая функция, и 2) если почти всюду 218 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
1П и, следовательно, функция и [х, 1) представима в виде интеграла: и [х, Б) = / С [х, С, Б)»з [С) в» [»з [С) = и [С, 0)), [19) о однозначно ее определяющего. Пусть хы хз, ..., х„точки разрыва функции»з [х). Полагая хо = = 0 и х тз =1 [рис. 38) и беря замкнутые отрезки уь = 1х: ха + 6 < х < (ь хь з — 6) [1 = О, 1, ..., и), где д некоторое фиксированное достаточно малое число, нетрудно убедиться, что подынтегральная функция из [19') хо+6 хз ~ — Б хз — з+Б хз — Б х„+Б хзтз — Б хзчз+Б хюм — Б х, аз=1 хе= О хь Рис. 38 равномерно сходится к нодынтегральной функции из [19) на всяком отрезке 1к [к=0,1,2,...,п). Наотрезкак Хь=»х: хь — 6<х<хк+6) [к= =1,2,3,...,п), 1о=)х: хо<х<хо+6) и Угез=~в: х„тз — 6<к< < хотз ) подынтегральные выражения в [19) и [19') ограничены некоторым числом Х при любом Р [О < Р ( Ро) в силу предположенной ограниченности функции и [х, Б) и в силу непрерывности С [х, С, Б) при 0 ( С ( 1, Б ) О.
Представим разность интегралов [19) и [19') в виде суммы 2п + 3 интегралов, взЯтых по 1ь [й = О, 1, ..., и) и 1Б [»» = О, 1, ..., .п -~- 1). Возьмем 6( е 1 2л-»-3 4АБ Тогда [С[к 6 Б — Б)»зр Ы) — С[х 6 Б)»'Ю~ 61 ( 2п+ 3 Можно выбрать Б настолько малым., что [С [х, 6 Б — ))» 1 [Π— С [х, 6 Б)» [О [ < 1 < для 1<6 на 1ь [1=01,...,в), 1 2п+3 так что < для 1<6 [9=0,.1,....,л). 2л -»- 3 ~ г) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 219 Отсюда следует неравенство (О (х 6 е — 1) 'рг Ю вЂ” О (х 6 1) з» Ю~ ~К о <е для Е(1, доказывающее законность перехода к пределу прн 1-э О под знаком инте- грала.
Таким образом, если существует функция и (х, 1), удовлетворяющая условиям теоремы, то она представима в виде (19), что и доказывает един- ственность такой функции. (19) представляет ограничен- Докажем теперь, что формула ное решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям (2) для любой кусочно-непрерывной функции ~р(х), непрерывное во всех точках непрерывности ~р (х). Эту теорему мы докажем в два приема.
Докажем, что она верна, если Зз (х) линейная функция: ~р(х) = сх. (2') С(1--) г Рнс. 39 Рассмотрим последовательность вспомогательных непрерывных функ- ций (рис. 39) 11 сх для О ( х (1 1 — — ), и) 11 о(1 — х)для1 1 — — ) <х<1, о=(п — 1)с. и) 'Р» (х) = и» (х, О) = р» (т). Так как зз„ (х) < зз„.ьг (х) (О < х < 1)., то в силу принципа максимальных значений и„(х, Ц) < и„ез (х, 1). Функция Ув (х) = сх является непрерывным решением уравнения те- плопроводности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
