УМФ Тихонов (965259), страница 37
Текст из файла (страница 37)
10. Решить задачу 9 в предположении, что левый конец цилиндра закрыт полупроницаемой перегородкой. 11. Решить задачу об остывании однородного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура и(х, 0) = = Зз (х), а иа концах происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Рассмотреть частный случай сз (х) = ио. 12. Решить задачу 11, предполагая, что температура окружающей среды равна 17о 13.
Решить задачу 11, считая, что на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой: а) равна нулю; б) постоянна и равна иг. 14. Найти установившуюся температуру стержня, пренебрегая тепло- обменом на боковой поверхности и считая, что один конец стержня тепло- изолирован, а ко второму концу подводится поток тепла, гармонически меняющийся во времени. 10. Решить задачу 14, считая, что один конец стержня имеет нулевую температуру, а томпература второго конца гармонически меняется во времени.
16. Стержень (О., Ц составлен из двух однородных кусков одинакового попоречного сечения, соприкасающихся в точке х = хо и обггадаюпгих характеристиками аг, йз и аз, йз соответственно. Найти установившуюся температуру в таком стержне (тепловые волны), если один конец стержня (х = 0) поддерживается при нулевой температуре, а температура второго меняется синусоидально во времени. 17. Лаваш конец составного стержня из задачи 1б поддерживается при температуре, равной нулю, а правый †.при температуре и (1, 4) = иг, начальная же температура стержня равна нулю.
Найти температуру и (х, 4) стержня в регулярном режиме (первгяй член разложения). 18. Найти температуру и (х, 1) стержня, начальная температура которого равна нулю, а граничные условия имеют вид и(0,4) =Ае ~~, иП,1) =В, где А, В и о > 0 --постоянные. $ 3. Задачи на бесконечной прямой 1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функпин источника для неограниченной области. Рассмотрим на бесконечной прямой задачу с начальными данными (задачу Коши). ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 229 Найти ограниченную функцию и(т, 1), определенную в области — со < т < оо, 1) О, удовлетворяюи1ую уравнению теилопроводно- сти и~ = ази„, — оо < я < оо, 1 ) О, (1) и начальноглу условию и (я, О) = зл (и), — оо <:с < оо. (2) !пп и(т, 1) = д(тв).
Как мы видели в 3 1, и. 7, решение уравнения теплопроводности однозначно определяется своими начальными условиями, если оно ограничено. Поэтому в формулировку теорем вводится условие ограниченности. Дадим сначала формальную схему решения поставленной задачи, основанную на разделении переменных.
Будем искать ограниченное нетривиальное решение уравнения (Ц,представимое в виде произведения и (ац 1) = Х (и) Т (1). Подставляя выражение (3) в (1), получаем (3) Хн Т' 2 — = — = — Л, Х Т где Лз параметр разделения. Отсюда следует Т~+а Л Т=О, (4) Хо+Л Х=О. (5) Решая уравнения (4) и (5), найдем частные решения уравнения (1) вида ил (ац 1) = А (Л) е лечат'л (6) удовлетворяющие условию ограниченности. Здесь Л--любое веще- ственное число: — оо < Л < со; поэтому в (6) возьмем знак «плюс» и образуем функцию и (г ц) — / А(Л) е — и л е-'ълг дЛ (7) Если у (и) ---непрерывная функция, то выполнение начального усло- вия будем понимать в том смысле, что функция и (и, 1) непрерывна при 1=0, т.е. 230 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1П Если производные, входящие в уравнение (1), можно вычислять путем дифференцирования под знаком интеграла (7), то функция (7), очевидно, будет удовлетворять уравнению (1) как суперпозиция частных решений этого уравнения.
Требуя выполнения начального условия при 1 = О, будем иметь (х) = / 1(А) .'"'ЦА. (8) Воспользуемся теперь формулой обратного преобразования интеграла Фурье А (Л) = — ~ р(р) е ' с а~ (9) Подставляя (9) в (7) и меняя порядок интегрирования, получим 1 Р и(х,1) = — / 2я / (10) Внутренний интеграл в (10) равен 0 00 2 1 / а з 1 Ы-Π— 'л ~~-л( -0,1А 2к,/ 2лУ з1 Подставляя (11) в (10), приходим к интегральному представлению ис- комого решения и(х, 1) = / С(х, С, 1) ~р(С)й~, (12) где 1 ы-гг С(х,с,1)= е 2 лУкоз1 (13) И Будах Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М., 1967. Функцию С(х, с, 1), определяемую формулой (13), часто называют фундаментальным решением уравнения теплопровод- н о с т и. ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 231 Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция (* — О с(., (, р — ь) =, " "-"' (н)') рр (р — ~) представляет температуру в точке х в момент времени 2, если в начальный момент времени 2 = ее в точке е выделяется количество тепла („) = ср.
Функция С (х, Ср 2 — 2е) удовлетворяет уравнению теплопроводности по переменным (х, 4) ~), что можно проверить непосредственным дифференцированием. Количество тепла, находящееся на оси х в момент 2 > 2е, равно р) с(*,(,р — р)р*=— так как 2 е — в ~(о /я < х — е ((х о = а)о = р рз' (р - р,)' р рв ( - р,) ) Таким образом, количество тепла на нашей прямой не меняется с течением времени. Функция С (х, Е, 2 — 2е) зависит от времени только через аргумент (р' = а- (( — 2е) р так что эту функцию можно записать ~) В самом деле, С вЂ” е ( 2() — )о) 2 зрря 2 (аз (2 се)) 22 2зр)Я ( 2 (а2(2 — (е)) рз 4(~2(2 — (е)) сз) 2 2 2 1 (* — О (*-», 1,— "«-.), 2 з)РЯ ( 2(аз (2 — (е)122 4 (аз (2 — се)] )22 т. е.
232 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1 в виде 1 1 ( — ыз С= — е 4д 2з/х ъ~д (13") На рис. 40 изображен график функции С в зависимости от и для различных значений й. Почти вся площадь, ограниченная этой кривой, находится над промежутком (( — е, ь+е),. где е-- сколь угодно малое число, если только 0 = а (1 — 1о)-- достаточно малое число.
Величина этой площади, умноженная на ср, -г,о -цз -цо -о,е -о,г о од о,е до цз Рис. 40 равна количеству тепла, подведенному в начальный момент. Таким образом, для малых значений 1 — 1о ) 0 почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки (. Из сказанного выше следует, что в момент ге все количество тепла помещается в точке (. Рассматривая изменение температуры в фиксированной точке и = = С + й с течением времени при 6 = О, т. е. при т = С, получим 1 1 2ь х ~/О Таким образом, температура в этой точке, где выделяется тепло, для малых д неограниченно велика.
ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 233 Если т ф (, т. е. 6 ф О, то функция С представляется в виде произвсдения двух множителей 2 сек,уд 00 3 Р 1 <-О и(т, 1) = / е з з«р®е!С, лl~ (12') называемая интегралом Пуассона, для любой ограниченной функции ~у ®~ < М представляет при ! ) О ограниченное решение уравнения теплопроводности, непрерывно примыкающее при е = О к у (т) во всех точках непрерывности этой функции. Докажем предварительно лемму (обобщенный принцип суперпозиции). Пуспп функция Н(т, 1, а) по переменным (т, 1) удовлепеворяет линейному дифференциильному уравнению е (о)=О Второй сомножитель меньше единицы: при больших д он приблизительно равен 1, при малых д он близок к О.
Отсюда следует, что С,~в — С,— е длЯ больших д, С,вес << С,— е длЯ малых д. Чем меньше 6, т. е. чем ближе т к С, тем больше второй множитель. Графики функций С е и С те при Ьз < 1ц приведены на рис. 41. Нетрудно видеть, что !пп С ~е = О. в — ~о Раскрывая неопределенность, находим в- о2 „Я,,ед 2иея в-о 2 4дз ' Формула (13') показывает, что во всякой точке х температура, создаваемая мгновенным точечным источником, действующим в начальный момент 1 = О, отлична от нуля для сколь угодно малых моментов времени. Подобный факт можно было бы интерпретировать как результат бесконечно быстрого распространения тепла (бесконечная скорость). Однако это противоречит молекулярно- кинетическим представлениям о природе тепла.
Такое противоречие получается в связи с тем, что выше при выводе уравнения теплопроводности мы пользовались феноменологическими Рис. 41 представлениями о растекании тепла, не учитывающими инерционность процесса движения молекул. Теперь выясним условия применимости формулы (12). Докажем, что формула 234 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
П1 при любом фиксированном значении параметра сь Тогда интпеграл и(х, 1) = / 17(х, 1,о) у(сх) до также являетися решением того же уравнения Т (и) = О, если производные, входящие в линейный дифференциальный оператор Б(С), можно вычислять при помои1и дифференцирования под знаком интеграла. Доказательство леммы крайне просто. Линейный дифференциальный оператор Т (17) представляет сумму производных функции 17 с некоторыми коэффициентами, зависящими от х и й Дифференцирование функции и, по предположению, можно производить под знаком интеграла. Коэффициенты также можно внести под знак интеграла.
Отсюда следует, что Б(и) = / Б(17(х, 1, о)) 1о(о) до = О, т. е. что функция и(х, 1) удовлетворяет уравнению Б(и) = О. Напомним достаточные условия дифференцируемости под знаком интеграла, зависящего от параметра. Функция Г(х) = ( 1" (х, о) да при конечных пределах а и Ь дифференцируема под знаком интеграла, д7" если — (х, о) является непрерывной функцией переменных х и а в дх области их измененияз1. Нетрудно видеть также,что функция ь Рг (х) = / ((х, а) у(о) да при конечных пределах а и Ь дифференцируема под знаком интеграла при тех же условиях относительно функции 7 (х, а) и произвольной, ограниченной (и даже абсолкьтно интегрируемой) функции у (о).
Если пределы интегрирования бесконечны, то в этом случае требуется равномерная сходимость интеграла, полученного в результате дифференцирования подынтегральной функции по параметру э1. Эти же замечания относятся к кратным интегралам, зависящим от параметров. О См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
