УМФ Тихонов (965259), страница 41
Текст из файла (страница 41)
257 1. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ВОЛНЫ соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине: (второй закон Фурье). 3. Глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности. Относительное изменение температурной амплитуды равно = ехр — т Т2 т2 — )/ а1 Т1 (третий закон Фурье). Так, например, сравнение суточных и годовых колебаний, для которых Тз = 365 Т1, показывает, что т2 = ъ'365и1 19,1л1, т. е. что глубина проникновения годовых колебаний при одинаковой амплитуде на поверхности была бы в 19,1 раза больше глубины проникновения суточных колебаний.
В качестве примера приведем результаты наблюдений над годовыми температурными колебаниями на станции Гош в Приамурье Н: Глубина (м) 1 2 3 4 Амплитуды (' С) 11,5 6,8 4,2 2,6 Эти данные показывают, что амплитуда годовых колебаний на глубине 4 м уменьшается до 13,3% своего значения на поверхности, равного 19,5'. На основании этих данных можно определить коэффициент температуропроводности почвы. Используя формулы А(х) / о2 1п Х~ А )1 2аз о/х- 2 21п (А(и),1А) находим, что коэффициент температуропроводности почвы равен а -4 10 ' см2/с.
11 С умгни М. Ио Качурин С. По Толстихнн Н. Ио Т уме ль В. Ф. Обшее мерзлотоведение. Мл Л., 1940. Гл. Ч. 17 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский Эта формула показывает, что чем меньше период, тем меньше глубина проникновения температуры. Для температурных колебаний с периодами Т1 и Тз глубины т1 и хз, на которых происходит одинаковое относительное изменение температуры, связаны соотношением 288 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 Время запаздывания максимальной температуры на глубине 4 м достигает 4 месяцев. Следует, однако, иметь в виду, что изложенная здесь теория относится к распространению тепла в сухой почве или горных породах. Наличие влаги усложняет температурные явления в почве, и при замерзании происходит выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.
Температуропроводность является одной из характеристик тела, важных для изучения его физических свойств, а также для различных технических расчетов. На изучении распространения температурных волн в стержнях основан один из лабораторных методов определения температуропроводности 1. Пусть на конце достаточно длинного стержня поддерживается периодическая температура д (1).
Представив зту функцию в виде ряда Фурье ае г 2кп 2кп р(1) = — -~- ~ ~'(а„соя 1+ Ь„я1п 1( = 2 э=1 = — "' + г А„.„~ '" з — д'„)~, ч=1 А = у'аг + Ьг Ьп = агс18 —, т Ьп 2кп ' а„' где Т период, и рассмотрев температурные волны, соответствующие каждому слагаемому, получим, что температура и (х, 1) для любого х будет периодической функцией времени и ее п-я гармоника равна 2яп 2яп и„(х, 1) = а„(х) соя 1 + Ь„(х) яш Т ' Т = А„ехр — х соя х — 1 -> де или Эта формула показывает, что если произвести измерение температуры в каких-нибудь двух точках хз и хг за полный период, то, находя коэффициенты ап (хз), Ь„(хг), а„(хг), Ь (хг) при помощи Л Специальный физический нрактнкум. Мя Л., 1945.
Т. 1, задача 35. П. ВЛИЯНИЕ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 259 гармонического анализа, можно определить коэффициент температуропроводности стержня а . Периодические колебания температуры в стержне можно вызвать, например, следующим образом. Поместим один из концов стержня в электрическую печь и будем через одинаковые промежутки времени включать и выключать ток. В результате такого периодического нагревания в стержне через некоторое время установятся периодические колебания температуры.
Измеряя с помощью термопар температуры и (лы 1) и и(лз, 1) в каких-либодвух точках лз и ля за полный период изменения граничногорежима и подвергая из и из описанной выше обработке, можно определить аз коэффициент температуропроводности материала, из которого сделан стержень. Естественно, что для применимости изложенной выше теории стержень должен быть тепло- изолирован с боков, а также необходим контроль температуры на другом конце стержня, чтобы иметь возможность пользоваться теорией температурных волн в полубесконечном стержне. Для возможности использования теории температурных волн в полубесконечном стержне надо убедиться в том, что температура на свободном конце стержня постоянна.
Это контролируется с помощью дополнительной термопары. 11. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры Для суждения о внутреннем температурном состоянии Земли мы имеем немногие данные, получаемые из наблк>деций на ее поверхности.
Основные сведения о термическом поле земной коры заключаются в следующем. Суточные и годовые колебания температуры происходят в сравнительно тонком поверхностном слое (порядка 10 — 20 м для годовых колебаний). Ниже этого слоя температура с течением времени меняется очень медленно. Наблюдения в шахтах и скважинах, относящиеся к верхним 2-3 км земной коры, показывают, .что температура с глубиной повышается в среднем на 3' С на каждые 100 м.
Первые попытки дать теоретическое обьяснение наблюдаемого геотермического градиента, относящиеся к концу прошлого столетия, встретили непреодолимые трудности'1. Эти попытки исходили из представления об охлаждении Земли, раскаленной в прошлом. Начальная температура, характеризующая этот процесс остывания, должна иметь порядок Те = 1200' С (температура плавления горных пород)., а поверхностная температура имеет порядок 0' С и не могла значительно (больше 100') отклоняться от этой величины за весь период существования жизни на Земле.
Простейшая количественная теория О К ар слоу Х. С. Теория теплопроводностн. Мч Л., 1947. Гл. П1. 17* 260 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 остывания Земли приводит к решению уравнения теплопроводности ди де и д1 дяя в полупространстве 0 < з < со при следующих начальных и гранич- ных условиях: и (я, 0) = Тд, и (О, 8) = О. Решение этой задачи было рассмотрено в э 3 настоящей главы и дается формулой и(з, 1) = Тэ — / е 4х. л l о Градиент этой функции при з = 0 равен Тэ — '. Тэ е 4 си ь=в зУя ъ'аз1 з=о з/я ъ'а'-1 Подставляя сюда известные значения геотермического градиента ди/дз~,— э = 7 = 3 10 4 К/см, Тэ = 1200'С, а также значение а = 0,006 см /с, соответствующее среднему экспериментально определяемому коэффициенту температуропроводности гранитов и базальтов, получим для продолжительности процесса остывания значения 0,85. 10'з с 27 000 000 лет.
Такое представление о возрасте Земли никак не согласовывалось с геологическими данными. Приближенный характер рассматриваемой теории (пренебрежение кривизной Земли, непостоянство коэффициента температуропроводности, приближенность значения То) не может, конечно, .изменить порядка найденного значения для возраста Земли, который по современным данным оценивается приблизительно в 2 10з лет.
Физическая схема температурного режима Земли подверглась существенному пересмотру после открытия явления радиоактивного распада. Радиоактивные элементы, рассеянные в земной коре., при распаде вызывают ее нагревание, так что уравнение теплопроводности должно иметь вид где А объемная плотность тепловых источников. 11а основании многочисленных измерений радиоактивности горных пород и их тепловыделения принято значение А - 1,3. 10 ьз калДсмз . с). Это значение учитывает тепло, выделяемое ураном, торием и калием вместе с их продуктами распада. П. ВЛИЯНИЕ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 261 Предположим, что плотность радиоактивных источников внутри земного шара постоянна и равна значению А, определенному для верхних слоев земной коры. В этом случае количество тепла, выделяющегося во всем земном шаре за сдинипу времени, будет равно Ц ',НзА 3 Сделаем второе предположение о том, что Земля радиоактивным те- плом не нагревается.
В этом случае поток тепла через единицу поверх- ности ди д — й— > где к и ди/дз ~,-с суть коэффициент теплопроводности и геотермический градиент у поверхности Земли. Отсюда для ди/дз при и = 0 находим значение ди АН дз :=а — > =6,8 10 з К/см, = 3.10-4 К~ Откажемся от гипотезы постоянства распределения радиоактивных элементов и предположим,что радиоактивные элементы расположены в слое мощности Н у поверхности Земли. Пренебрегая кривизной Земли, получим для определения стационарной температуры уравнение в" ( А — — для 0 < з < Н, й 0 дляз>Н с условиями и(0) = О, = О. дз где Н = 6,3 10з км радиус Земли и и = 0,004 среднее значение коэффициента теплопроводности осадочных пород.
Таким образом, геотермический градиент, вычисленный в предположении, что распределение радиоактивных элементов постоянно и что Земля не нагревается благодаря радиоактивному распаду, на два порядка превышает наблюдаемое значение геотермического коэффи- циента 262 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1П Очевидно, что решение поставленной задачи равно А с' — (Нг — — ~, 0<г<Н, и(г) = А Нг й 2 ' г>Н, так как эта функция непрерывна вместе с первой производной при г = Н и удовлетворяет условиям задачи. Определяя значение градиента этой функции при г = О, равное дсл АН дг „ — о к ")' о Н= — =10о см=10км.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
