УМФ Тихонов (965259), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Уравнение со степенной нелинейностью (33) имеет автомодельное решение, удовлетворяющее граничному режиму (44): и(х, 1) = ио(Т вЂ” 1)" 1(я), я =,, „. (45) П1. МЕТОД ПОДОБИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 275 Подставляя (45) в (33), для функции / (з) получаем задачу с1 / с1/'1 1+пт д/ г — — п/=О, з>0, сй (с осг( 2 сЬ (46) / (0) = 1, / (+ оо) = О. (47) и (и, О) = ио То / (48) Свойства решения задачи (46) - (47) (как, впрочем, и самого автомодельного решения (45)) существенно зависят от соотношения между величинами п и а.
Так, если и < — 1/ст, то функция /(я) имеет конечный носитель длины зо = го (и, а) < + оо. Вблизи точки з = зо (в левой ее окрестности) справедливо разложение (1+ тса) У (з) = — ало~ (зо — з) 2 х 1— ! 1 (1 — па) 1 (зо - з) + " 2аз (1 + тса) зо(а + 1) (49) В случае п > — 1/а решение задачи (46) — (47) строго положительно при любых конечных з > 0 и является бесконечно дифференцируемой функцией (как следует из (49), при и < — 1/а производные функции / (з) могут иметь разрыв в точке я = яо). При больших з выполняется разложение /(я) = Сзс~-" +..., (50) где С = С (и, а) > 0 некоторая постоянная.
Величина С, так же как и значение зо = зо (и, а) в случае и < — 1/а, определяется в результате численного решения задачи (46) (47). Наиболее простым является случай и = — 1/а. Здесь решение задачи (46) (47) выписывается в явном виде: с з 2/а 1 — — ) при О(з(зо, зо (5Ц 0 приз>яо, Существование и единственность решения задачи (46) (47) устанавливается путем сведения уравнения (46) с помощью указанной выше замены (39) (см. рассуждения, относящиеся к задаче (37) (38)) к уравнению первого порядка и последующего анализа поля его интегральных кривых.
Из (45) вытекает, что это автомодельнос решение удовлетворяет краевой задаче с граничным режимом (44) и начальным условием 276 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 где зо длина носителя финитной функции (51) вычисляется по формуле (и+ 2) Теперь мы перейдем к самому важному моменту — — анализу пространственно-временной структуры автомодельного решения (45) при различных значениях и. Пусть сначала и = — 1/и. Тогда, как следует из (51), функция (45) представляет собой весьма необычную тепловую волну с остановившимся фронтом ~: и,(Т вЂ” 1) э 1 — — у), 0<к<ЯМ хо (с + 2),) 'з О, х>яо= 2 йово~ и(х, 1) = (52) П Впервые это рошенно было построено в работе: Самарский А.
А., С о б о л ь И. М. Примеры численного расчета температурных волн // ЖВМ н МФ. 1903. Т. 3, М4. С. 703 719. Здесь тепловые возмугдения далее глубины т = то вообгде нс проникают, несмотря на неограниченный рост температуры на границе л = 0 и во всех внутренних точках отрезка (О, то). Решение (52) наглядно проявляет свойство локализации («ннерции») тепла, которое в данном случае характеризуется тем, что в пространстве образуется область с отличной от нуля температурой, нс меняющая своих размеров в течение конечного времени.
Внутри области локализации 0 < л < ло температура и количество поступающей туда энергии неограниченно возрастают при 1 — > Т . Величина то называется глубиной локализации. В общем случае локализованным называют такое решение, которое неограниченно возрастает в течение конечного времени в ограниченной части пространства (это определение является наиболее универсальным, оно, в частности, не содержит требования конечной скорости распространения возмущений; см. об этом в гл. У1, 3 1). Граничный режим, отвечающий показателю п = — 1/и в (44), называется В-режимом.
Он разделяет семейство степенных режимов с обострением на два класса: в первом из них и > — 1/и (это так называемые ЕВ-режимы), во втором .-- и < — 1/и (НВ-режимы). При и > -1/и автомодельное решение растет до бесконечности только в одной точке; т = О, и при всех т > 0 оно ограничено сверху равномерно по й В соответствии с введенным выше определением такие решения также называются локализованными. Укажем одну важную особенность граничного ЬВ-режимв. Обозначим через т,о (1) эффективную 277 1Ч.
ЗАДАЧА О ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ глубину 1полуширину) проникновения тепловой волны, которая в ка- ждый фиксированный момент времени определяется из равенства и (х,е 11), 1) = — и 10, 1) = — 1Т вЂ” 1) ". 1 1 2 ' 2 Тогда, обозначив через з* единственный корень уравнения 2' 1 из 145) получим т,е(1) = з" йойиой(Т вЂ” 1) т, 0 <1 < Т. Поскольку при и, > — 1/и показатель 11+ пп)/2 положителен, глубина проникновения волны, несмотря на бесконечный рост температуры на границе, сокращается при 1 — э Т вплоть до нуля.
Тем самым поступающая в среду энергия сосредоточивается во все сокращающейся части пространства. Отметим, что никакие другие из ранее рассматривавшихся автомодельных решений таким свойством не обладали. В случае и < -1/и тепловая волна является уже не локализованной, а бегущей волной: как следует из 145), ее фронт движется по нулевому фону температуры со все увеличивающейся скоростью 11+ цт < О) по закону тф(1) =хо "ойао~'(Т вЂ” 1) тк, 0(1(Т, и к моменту обострения 1 = Т уходит на бесконечное расстояние.
В результате при 1 -э Т температура неограниченно возрастает во всем пространстве. В этом смысле решение 145) при и < — 1/о принципиально не отличается от автомодельных решений 136) и 141). И там и здесь температура век)ду неограниченно растет, только в одном случае за конечное, а в двух других --. за бесконечные времена П. 1з7. Задача о фазовом переходе При изменениии температуры тела может происходить изменение его физического состояния, в частности при переходе температуры через точку плавления переход из жидкой фазы в твердую 1или обратный переход).
На поверхности фазового перехода все время сохраняется постоянная температура. При движении поверхности ~~ Более подробную информацию о результатах исследования эффекта локализации тепла в произвольных нелинейных средах см. в работе: Г ал актиоцов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Самарский А.
А. Локализация тепла в нелинейных средах 0 Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17, .№10. С. 1826 1841. См. также приведенный там список литературы. 278 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ П1 где Йз и Йг коэффициенты теплопроводности первой и второй фазы, а Л -- скрытая теплота плавления. Переходя к пределу при Ы вЂ” э О, мы и получим дополнительное условие на границе раздела в следующем виде: диз диг сК Это условие имеет место как для процесса затвердевания (когда гзС > > 0 и д(/аг > 0), так и для процесса плавления (когда Ь~ < 0 и г1Ц1'Пг < 0); направление процесса определяется знаком левой части.
Рассмотрим процесс замерзания воды, при котором температура фазового перехода равна нулю. Будем рассматривать массу воды х > > О, ограниченную с одной стороны плоскостью т = О. В начальный момент г = 0 вода обладает постоянной температурой с > О. Если на поверхности х = 0 все время поддерживается постоянная температура сг < О, то граница промерзания т = с будет со временем проникать в глубь жидкости. Задача о распределении температуры при наличии фазового перехода и о скорости движения границы раздела фаз (например, внутри замерзающей воды) сводится к решению уравнений , д иг =а, -дляО<я<~, дт гдиз =ая для~<я<со дт диг дг диг д1 1 Франк Ф., Мизес Р.
Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Л.; М., 1937. Гл. ХП1. фазового перехода происходит выделение скрытой теплоты затвердевания (плавления). Сформулируем те дополнительные условия, .которые должны выполняться на поверхности затвердевания П, Рассмотрим плоскую задачу, когда поверхностью раздела является плоскость х = ~11). С момента времени 1 ло момента времени Г+ ЬГ граница х = ~ переместится от точки ( = х1 до точки ~ = = яг = хз ф Ь~. При этом затвердевает масса рЬ( (или расплавляется, если гзс < 0) и выделяется соответствующее количество тепла Лрь~.
Для выполнения теплового баланса это количество тепла должно равняться разности количеств тепла, прошедших через границы г„= = яг и ~ = хг, т. е. должно выполняться условие 11л. ЗАДАЧА О ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ с дополнительными условиями ил = сл при и = О, 1( из=с при 1=0/ (2) и условиями на границе замерзания ил=из=О при я=с, (3) дил диз <К (4) ил =Ал+ВлФ, из =Аз+ВзФ где Аы Вл, Аз и Вз пока не определенные постоянные, а Ф интеграл ошибок Ф(т) = — е ~ д~.
тлгк л е Удовлетворяя условиям (2) и (3), получим Ал — сл, Аз+Вз =с из условия (2) и А,+В,Ф =О, Аз+ВзФ =О из условия (3). Последние условия должны иметь место для любых значений й Это возможно лишь при выполнении соотношения (5) где о некоторая постоянная. Соотношение (5) определяет закон движения границы замерзания. где Йл, азл и Йз, аз ~--.коэффициенты теплопроводностии температуропроводности соответственно твердой и жидкой фаз. Задачу (1) (4) часто называют задачей Стефана, задачей о фазовом переходе, или задачей о промерзании.
Решение задачи будем искать в виде ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ 1П 280 Пля постоянных Аы Вы Аг и Вг получаются выражения Аг — — сы (6) 4 йг сг е аг 1 — Ф (7) агФ Решение этого трансцендентного уравнения и дает значение со Наличие хотя бы одного решения при сг < О, с > О следует уже из того г~, что при изменении а от 0 до + со левая часть уравнения изменяется от — со до +со, а правая--от 0 до — оо. В случае если с равно температуре плавления (с = 0), выражения (6) и (7) для определения коэффициентов принимают более простой вид: Аг = Вг = О, (6') сг Аг = сы Вг =— '( —:,) Йг сг е "1,,гп = — Лра —.
аг Ф (7') Положив а/2аг = 1г, можем переписать уравнение (7') в таком виде: — в г ,уй Ф(Д) Ц Асимптотическое представление функции 1 — Ф (г) при г — г оо см. на с. 758. Чтобы определить постоянную сб надо воспользоваться соотношением (4); 281 1Ч. ЗАПАЧА О ФАЗОВОМ ПЕРЕХОПЕ где постоянная 11 определяется выражением Л, Й1 С1 лить значение сс Решение задачи о промерзании может быть также получено при помощи метода подобия, приведенного в Приложении П1 к этой главе. Задача о промерзании является в некотором смысле предельным случаем нелинойных краевых задач, рассмотренных в Приложении Ш. В самом деле, коэффициенты теплопроводности и топлоемкости в задаче о промерзании являются кусочно- постоянными функциями, и, кроме того, при и = О теплоемкость имеет бесконечно большое значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
